談2011年高考全國理綜卷中的一道命題
——帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

陳建華 王竹青

(武漢市第一中學(xué) 湖北 武漢 430000)

帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高考的一個(gè)重要內(nèi)容，因?yàn)樵摾碚摻?jīng)常被用到現(xiàn)代科技和生產(chǎn)生活中.高考試題主要考查學(xué)生對(duì)帶電粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的受力分析及對(duì)物體運(yùn)動(dòng)情況的判斷.試題經(jīng)常以電場(chǎng)和磁場(chǎng)疊加的形式出現(xiàn)，也就是所謂的“復(fù)合場(chǎng)”.2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜凭C合能力測(cè)試Ⅱ卷第25題考查的就是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng).但該題沒有考慮清楚實(shí)際的物理情境，在電場(chǎng)的邊界模型上出現(xiàn)了問題.

帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題與解決力學(xué)題方法類似，不同之處是多了電場(chǎng)力和洛倫茲力.因此，帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題除了利用力學(xué)三大觀點(diǎn)即動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)、能量觀點(diǎn)、動(dòng)量觀點(diǎn)分析外，還要注意電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子的作用，如電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)，洛倫茲力方向始終和運(yùn)動(dòng)速度方向垂直，永不做功等.

【原題】如圖1，與水平面成θ0=45°的平面MN將空間分成Ⅰ和Ⅱ兩個(gè)區(qū)域.一質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的粒子以速度v0從平面MN上的P0點(diǎn)水平向右射入Ⅰ區(qū).粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到大小不變,方向豎直向下的電場(chǎng)作用，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到勻強(qiáng)磁場(chǎng)的作用，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里.求粒子首次從Ⅱ區(qū)離開時(shí)到出發(fā)點(diǎn)P0的距離.粒子的重力可以忽略.

解析：在電磁場(chǎng)中粒子先做類平拋運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.兩運(yùn)動(dòng)的銜接條件為粒子在P1點(diǎn)的速度大小和方向.求粒子首次從Ⅱ區(qū)離開的位置P2到出發(fā)點(diǎn)P0的距離d,必須知道在電場(chǎng)中的平拋位移和在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弦長.根據(jù)電場(chǎng)力方向和左手定則,正粒子都向N側(cè)運(yùn)動(dòng);所以d=s+L,其中s為在電場(chǎng)中的位移，L為在磁場(chǎng)中的圓的弦長.

圖1

圖2

正粒子垂直電場(chǎng)進(jìn)入做類平拋運(yùn)動(dòng)，初末位置在45°角的平面MN上，說明位移方向角是45°，以出發(fā)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右垂直電場(chǎng)方向?yàn)閤軸，沿電場(chǎng)方向?yàn)閥軸，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)運(yùn)動(dòng)分解公式得

x=v0t

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

速度與水平方向的夾角θ滿足tanθ=2tanθ0=2 ,所以

(7)

聯(lián)立式(1)～(6),化簡得

(8)

進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與邊界MN的夾角為θ-θ0，做勻速圓周運(yùn)動(dòng).根據(jù)牛頓第二定律得

(9)

作出圓軌跡，則弦長和半徑滿足關(guān)系

(10)

聯(lián)立式(9)、(10)得

所以粒子首次從Ⅱ區(qū)離開時(shí)到出發(fā)點(diǎn)P0的距離為

處理類似帶電粒子在分區(qū)域的電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，首先應(yīng)該分區(qū)域單獨(dú)研究帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng);然后找出在兩種場(chǎng)的分界線上的兩種運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系即可解決問題.其中，運(yùn)動(dòng)的合成與分解和幾何關(guān)系的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.以上的解析過程從動(dòng)力學(xué)角度分析看似沒有問題，但從能量角度看,可發(fā)現(xiàn)不少問題.

帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由電場(chǎng)力做功的性質(zhì)知電場(chǎng)力做功與運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)，僅與初末位置有關(guān).此題中有三個(gè)關(guān)鍵位置P0，P1和P2，帶電粒子由位置P0運(yùn)動(dòng)至位置P1，沿電場(chǎng)線方向距離為d1，如圖2,僅受電場(chǎng)力作用,根據(jù)動(dòng)能定理電場(chǎng)力做的功等于動(dòng)能的變化量

在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中帶電粒子僅受洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng).故由位置P1至P2，洛倫茲力僅改變帶電粒子的速度方向，不改變速度大小.

若由整體分析，在電場(chǎng)中從P0至P2沿電場(chǎng)線方向距離為d2，如圖2,電勢(shì)能的減少量ΔEP=qEd2，根據(jù)能量守恒定律，電勢(shì)能的減少量等于動(dòng)能的增加量，得

兩種不同的分析卻得出帶電粒子在同一位置P2速度大小不同.為何出現(xiàn)這一結(jié)果？這一模型究竟出現(xiàn)了什么問題？我們不妨再次深入研究.

按照這個(gè)模型，如果將題中勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向改變?yōu)榇怪庇诩埫嫦蛲猓瑤щ娏Ｗ幼詣驈?qiáng)電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)中，進(jìn)入磁場(chǎng)由牛頓第二定律得

圖3

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小不變，但帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡將發(fā)生較大的變化，如圖3所示.

很明顯這樣一個(gè)模型在現(xiàn)實(shí)中不可能存在，題中給出的邊界條件是不可能出現(xiàn)的.它忽略了靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)的事實(shí)，即電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān).

由靜電場(chǎng)的環(huán)路定理[1～4]，即靜電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分恒等于零，即

∮LE·dl=0

它和“靜電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)”的說法完全等價(jià).其微分形式為×E=0可得

n×(E2-E1)=0

此式表示界面兩側(cè)E的切向分量連續(xù)，即靜電場(chǎng)的邊界必須與電場(chǎng)線垂直，電場(chǎng)的邊界必須是等勢(shì)面或等勢(shì)線.

在實(shí)際應(yīng)用中設(shè)置電場(chǎng)邊界就是在截?cái)噙吔缣幨┘訉?dǎo)電壁或?qū)Т疟赱5]，根據(jù)導(dǎo)體的屬性，沿著導(dǎo)電壁(導(dǎo)磁壁)方向電場(chǎng)(磁場(chǎng))必然為零，所以具體實(shí)現(xiàn)時(shí)也就是在該邊界上把電場(chǎng)(磁場(chǎng))切向分量強(qiáng)制設(shè)為零.根據(jù)麥克斯韋定律，磁場(chǎng)(電場(chǎng))的法向分量也為零.

高考試題具有權(quán)威性和導(dǎo)向性，應(yīng)該符合物理的基本規(guī)律并與實(shí)際模型相結(jié)合.

參考文獻(xiàn)

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