利用結(jié)論巧解“甲蟲和橡膠帶”問題

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

貴刊的《均勻拉伸的橡膠帶上任意一點(diǎn)的速度公式》[1]一文，通過高等數(shù)學(xué)的微積分知識(shí)推導(dǎo)出了在任意時(shí)刻t橡膠帶上各位置x處的對(duì)地速度，但沒有求出總時(shí)間.本文將給出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，同時(shí)把橡膠帶按直線拉伸的過程等效為按圓周擴(kuò)大的過程，利用等效法和結(jié)論對(duì)原題作解答，可避免積分過程，且直觀簡便.

1 數(shù)學(xué)結(jié)論

即

若變量x=f(t)是時(shí)間的函數(shù)，則式中的常系數(shù)τ稱為時(shí)間常量，其國際單位是s.

2 結(jié)論證明

兩邊積分為

即

可知

則

代入初始條件t=0,x=x0，得C=x∞-x0，所以

由此可見，變量x隨時(shí)間t按指數(shù)規(guī)律變化，從理論上看，需要經(jīng)歷無限長的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)f(t∞)=f(∞).但實(shí)際上，因?yàn)閑-5≈0.006 7≈0，所以可認(rèn)為當(dāng)t=5τ時(shí)，變量已趨近于穩(wěn)態(tài)值f(∞).這一變化過程稱為瞬態(tài)過程.從物理上說，上述結(jié)論可稱為瞬態(tài)過程的結(jié)論.從數(shù)學(xué)上說就是關(guān)于一階常系數(shù)線性微分方程的結(jié)論.

常見的瞬態(tài)過程是某一變量隨時(shí)間呈指數(shù)規(guī)律變化.而另類瞬態(tài)過程則是某一變量隨另一個(gè)非時(shí)間變量呈指數(shù)規(guī)律變化.

3 結(jié)論應(yīng)用

【原題】[1]一條水平的橡膠帶長為L，一端固定在墻上，另一端是自由端．令自由端以速度v0運(yùn)動(dòng)而將橡膠帶不斷地均勻拉長．同時(shí)，橡膠帶上的一只甲蟲從墻開始沿橡膠帶向自由端運(yùn)動(dòng)，甲蟲在橡膠帶上的速度始終為u，且u

圖1

解析[2]：設(shè)想橡膠帶圍成一個(gè)圓周，圓心為O點(diǎn)，橡膠帶的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合為一點(diǎn)A，如圖1．由于橡膠帶是均勻伸長的，則圓周隨時(shí)間均勻增大，但橡膠帶上任意一個(gè)定點(diǎn)始終在同一半徑上，即在圓周均勻增大的過程中，橡膠帶上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為沿同一半徑的直線運(yùn)動(dòng).

x=L+v0t

則圓周半徑為

因此角速度為

在時(shí)刻t的角位移為

變形為一階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

由此可知，時(shí)間變量t將隨角度變量θ按指數(shù)規(guī)律變化，是另類瞬態(tài)過程.利用結(jié)論得

到終點(diǎn)時(shí)，θ=2π，所以經(jīng)歷的時(shí)間為

瞬態(tài)過程的結(jié)論可用來解答很多大學(xué)物理問題，現(xiàn)舉兩例.

解析:(1)由理想氣體狀態(tài)方程有pV=nRT，氣體對(duì)活塞的彈力為

圖2

(2)由牛頓第二定律列微分方程為

其中速度

則

變形為

當(dāng)活塞停止時(shí)，vx=0.所以此時(shí)活塞的位置坐標(biāo)為

活塞初速度v0越大，停止時(shí)被壓縮氣體體積越小.當(dāng)v0→∞時(shí)，壓縮氣體體積趨于零，即穩(wěn)態(tài)值趨于x∞=0.但實(shí)際上是不可能的.

【例2】[4]質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在有阻力的空氣中無初速度地自離地面高為h的地方下落.如阻力與速度成正比，試研究其運(yùn)動(dòng).

解析：設(shè)質(zhì)點(diǎn)下落速度v=f(t)，所受空氣阻力f=kv，同時(shí)受重力G=mg，以豎直向下為正方向，由牛頓第二定律有

由此得關(guān)于v的一階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

由瞬態(tài)過程的結(jié)論可知速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式為

所以速度變化規(guī)律為

表明與速度共線的正比例線性力的沖量跟位移成正比.

圖3

對(duì)質(zhì)點(diǎn)下落過程，由動(dòng)量定理有

mgt-ks=mvt-mv0

由此得質(zhì)點(diǎn)下落的位移為

如果把空氣阻力表示為f=mkv，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

如果以質(zhì)點(diǎn)的落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向上為x軸建立坐標(biāo)系，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

綜上可見，求運(yùn)動(dòng)速度和位移避免了積分運(yùn)算，比原解簡便很多.因此利用結(jié)論解題，可化繁為簡、提高效率；還可對(duì)由積分過程所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，一舉多得．

參考文獻(xiàn)

1 項(xiàng)林川.均勻拉伸的橡膠帶上任意一點(diǎn)的速度公式.物理通報(bào)，2010(8):72

2 趙燦冬.用角速度巧析“螞蟻爬橡皮繩悖論”. 物理教師，2005,26(8)：45

3 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1982.144～145

4 周衍柏.理論力學(xué)教程(第二版).北京：高等教育出版社，1986. 39～40