“幾何圓”在解決物理問題策略中的應(yīng)用

費(fèi)云霞

(湖州市南潯中學(xué) 浙江 湖州 313009)

在高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師除了對(duì)高中物理內(nèi)容做知識(shí)點(diǎn)的羅列和總結(jié)外，更注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、思維能力，使學(xué)生在解決物理問題中掌握一定的策略，以習(xí)題中用到“圓”的思想為背景，談?wù)剬?duì)這一類問題的處理.

“ 圓”是平面幾何中的重要圖形，它有一些重要的特點(diǎn)可以幫助我們解決物理問題.在教學(xué)中, 教師應(yīng)有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用幾何圖形, 尤其是用“圓”處理問題, 從而提高學(xué)生運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問題的能力．

1 用“等時(shí)圓”解決物體下滑時(shí)間問題

在動(dòng)力學(xué)問題中，常常會(huì)碰到討論物體沿斜面下滑的時(shí)間問題，這個(gè)時(shí)間即跟斜面的傾斜程度有關(guān)，又跟斜面的長(zhǎng)度有關(guān)，當(dāng)這兩者的關(guān)系可以用畫圓來(lái)表示時(shí)，那么用圓的有關(guān)特點(diǎn)去解決問題就要方便很多．

【例1】如圖1(a)所示，某軸承廠有一條滾珠傳送帶，傳送帶與水平面間的夾角為θ，上方A處有一滾珠送料口，欲使?jié)L珠從送料口沿?zé)o摩擦的斜槽最快地送到傳送帶上，應(yīng)采取的方法是

A．沿AB所在的豎直方向安放斜槽

B．過A點(diǎn)向傳送帶做垂線，得垂足C，就沿AC方向安放斜槽

C．應(yīng)在AB和AC之間的某一適當(dāng)位置安放斜槽

D．上述三種方法，滾珠滑到傳送帶上所用的時(shí)間相同

圖1

解析:以AB為直徑作圓，該圓必過C點(diǎn)，如圖1(b)所示從A點(diǎn)隨意取一條弦滑下，弦與豎直方向夾角為α，則

(1)

(2)

(3)

由三式聯(lián)立可知，從A點(diǎn)沿不同光滑弦滑至圓周上各點(diǎn)的時(shí)間與從AB自由落體滑下的時(shí)間相等，所以此題滾珠從A到C和從A到B時(shí)間一樣，而沿AB和AC之間的某斜槽到傳送帶的時(shí)間要少一點(diǎn)所以選C．

點(diǎn)評(píng)：此類型題目的原型是物體沿不同光滑斜面下滑的時(shí)間問題，斜面傾斜的角度越大，下滑的加速度就越大.但是到傳送帶的距離會(huì)變大，所以用公式法解決需要添加輔助線，問題會(huì)比較麻煩，利用圓就可以方便地解決問題，此類模型就是我們常說的“等時(shí)圓”模型．

2 用“矢量圓”解決矢量變化問題

在相互作用力這一章里，我們經(jīng)常遇到在力系作用下，處于平衡的物體其所受諸力變化趨勢(shì)判斷問題．

【例2】如圖2(a)所示，質(zhì)量為m的小球，用一細(xì)線懸掛在點(diǎn)O處．現(xiàn)用一大小恒定的外力F(F﹤mg)慢慢將小球拉起，在小球可能的平衡位置中，問細(xì)線與豎直方向的最大的偏角是多少?

圖2

解析：本題中研究對(duì)象小球可在一系列不同位置處于靜止，靜止時(shí)小球所受重力、細(xì)線上拉力及大小恒定的外力的合力總是為零．三力關(guān)系由一系列閉合的矢量三角形來(lái)描述，這些三角形中表示重力的矢量邊是公共邊，有一條矢量邊長(zhǎng)度不變，畫出矢量三角形如圖2(b)所示.

點(diǎn)評(píng)：物理問題中如果涉及到一個(gè)矢量的大小確定，方向待定時(shí)，可以利用圓把這個(gè)力所有可能性描述出來(lái)．在小船過河時(shí)，船速小于水速, 要想航程最短, 應(yīng)如何過河的問題也要涉及到畫圓求極值．

3 用“函數(shù)圓”計(jì)算玻璃的折射率

光學(xué)中做玻璃的折射率實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果沒有量角器或角度的三角函數(shù)值無(wú)法獲得，那么用圓可以解決這個(gè)問題．

【例3】某學(xué)生在做“測(cè)量玻璃的折射率”實(shí)驗(yàn)時(shí)，作完光路圖后，以O(shè)點(diǎn)為圓心，10.00 cm長(zhǎng)為半徑畫圓，分別交線段OA、OO′連線的延長(zhǎng)線于A和C點(diǎn)，過A點(diǎn)作法線NN′的垂線AB交NN′于點(diǎn)B，過C點(diǎn)作法線NN′的垂線CD交NN′于D點(diǎn)，如圖3所示，沒有量角器無(wú)法測(cè)角度，這位學(xué)生于是用刻度尺量得AB=6.00 cm，CD=4.00 cm，則該玻璃的折射率為多少．

圖3

解析:由題意可知入射角i=∠AOB，折射角r=∠COD，則由折射率公式

可解得

n=1.5

點(diǎn)評(píng):上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法是用直角三角形的邊與邊對(duì)應(yīng)關(guān)系替代三角函數(shù)，避免了沒有數(shù)學(xué)用表和量角器時(shí)無(wú)法計(jì)算的尷尬，由測(cè)角度轉(zhuǎn)變?yōu)闇y(cè)線段長(zhǎng)度，該題的命題者意在考查學(xué)生靈活處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力．

4 用“等勢(shì)圓”解決電場(chǎng)中帶電粒子做功問題

在電場(chǎng)章節(jié)中，抽象的概念比較多，“電勢(shì)能”這一概念是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，而涉及到電場(chǎng)力做功的問題，也是高考的重點(diǎn)．

【例4】如圖4(a)所示，直角三角形的斜邊傾角為30°，底邊BC長(zhǎng)為2L，處在水平位置，斜邊AC是光滑絕緣的，在底邊中點(diǎn)O處放置一正電荷Q．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為-q的質(zhì)點(diǎn)從斜面頂端A沿斜邊滑下，滑到斜邊上的垂足D時(shí)速度為v，該質(zhì)點(diǎn)滑到非常接近斜面底端C點(diǎn)時(shí)，速度vC為多少，沿斜面向下的加速度aC為多少.

圖4

(4)

h=BDsin60°=BCsin30°sin60°

(5)

由式(4)、(5)得

mgsinθ-fcosθ=maC

(6)

(7)

由式(6)、(7)得

點(diǎn)評(píng)：在電場(chǎng)中，真空中靜止點(diǎn)電荷產(chǎn)生的等勢(shì)面是一個(gè)個(gè)的同心圓，而在等勢(shì)面上任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為零，在等勢(shì)面上移動(dòng)電荷電場(chǎng)力不做功，所以在點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中計(jì)算電場(chǎng)力做功，可以用等效法畫圓計(jì)算．

在電磁感應(yīng)中，變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，與此相關(guān)的題目有時(shí)也要用到圓的相關(guān)特點(diǎn)．對(duì)于這類具體問題，可另做具體分析.

5 用“軌跡圓”解決磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)問題

帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域, 在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)．既然軌跡是個(gè)圓的話，在解決此類問題時(shí)就有可能用到一些有關(guān)圓的特點(diǎn)．

【例5】如圖5中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線, 在平面右側(cè)的半空間存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng), 方向垂直紙面向外，O是MN上的一點(diǎn), 從O點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電荷量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子,粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向．已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇,P到O的距離為L(zhǎng). 不計(jì)重力及粒子間的相互作用．求這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔．

圖5

解析：帶正電q，速率v的粒子, 從O點(diǎn)垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，在洛倫茲力的作用下,做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．因帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度方向可在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向, 畫出帶電粒子在此磁場(chǎng)中的軌跡，整圖可能情況如圖5所示，而先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇, 這說明兩粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡是以O(shè)P為公共弦的兩相交圓, 如圖6所示.

圖6

(8)

(9)

(10)

由式(8)～(10)聯(lián)立得

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是高中物理的一個(gè)重點(diǎn), 也是一個(gè)難點(diǎn)．因此, 如何指導(dǎo)學(xué)生掌握解決此類問題的解法很重要，而畫圓是解決磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的重要方法．在用圓解決磁場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)經(jīng)常要用到一些圓的特點(diǎn)，比如圓心角與弧長(zhǎng)的關(guān)系、垂徑定理、相交圓定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、圓的對(duì)稱性等．

參考文獻(xiàn)

1 賈紀(jì)云. 圓在處理物理問題中的妙用.數(shù)理化學(xué)習(xí)，2006(Z1)

2 鄭清俊，孫富貴.用圓的定理解物理問題.物理教師，2001：(9)

物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)