計(jì)算全息圖的基本理論與制作＊

覃 芳

（上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

隨著數(shù)字計(jì)算機(jī)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，人們廣泛地使用計(jì)算機(jī)去模擬、運(yùn)算、處理各種光學(xué)過(guò)程。在計(jì)算機(jī)科學(xué)和光學(xué)相互促進(jìn)和結(jié)合的發(fā)展進(jìn)程中，1965年德國(guó)光學(xué)專家羅曼（Lohmann A W）使用計(jì)算機(jī)和計(jì)算機(jī)控制的繪圖儀做出了世界上第一個(gè)計(jì)算全息圖。計(jì)算全息圖不僅可以全面地記錄光波的振幅和相位，而且能夠記錄綜合復(fù)雜的，或者世間不存在物體的全息圖，因而具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)和極大的靈活性。從光學(xué)發(fā)展的歷史上看，計(jì)算全息首次將計(jì)算機(jī)引入光學(xué)處理領(lǐng)域。很多光學(xué)現(xiàn)象都可以用計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行仿真，計(jì)算全息圖成為數(shù)字信息和光學(xué)信息之間有效的聯(lián)系環(huán)節(jié)［1］。傳統(tǒng)的全息技術(shù)是用光學(xué)的辦法，用干涉記錄的方法制作全息圖。計(jì)算全息是用計(jì)算機(jī)編碼制作全息圖，把無(wú)波的數(shù)學(xué)描述輸入數(shù)字計(jì)算機(jī)處理后，直接產(chǎn)生全息圖，代替了用光學(xué)設(shè)備實(shí)地記錄，既可以完全節(jié)省光源且對(duì)光學(xué)設(shè)備的精度要求不高，又能制作實(shí)際并不存在的各種物體的全息圖，且噪聲低，重復(fù)性高，比光學(xué)全息具有明顯的簡(jiǎn)易性和靈活性［2－4］。

由于計(jì)算全息圖的這些優(yōu)點(diǎn)，再加上計(jì)算機(jī)的處理速度和存儲(chǔ)性能的不斷提高，因此繪圖技術(shù)的不斷發(fā)展以及多種編程語(yǔ)言的廣泛應(yīng)用都給計(jì)算全息的發(fā)展與應(yīng)用帶來(lái)新的突破和發(fā)展。在雜志、書刊上發(fā)表的文章也很多，廣泛地研究著計(jì)算全息的各個(gè)課題。這些不同的研究可粗略地分為三個(gè)方面：（1）計(jì)算全息圖制作的算法，主要研究新的算法以提高計(jì)算的速度。文獻(xiàn)［5］提出了一種制作計(jì)算全息干涉圖的基于牛頓迭代法的新算法，該算法高效快捷。文獻(xiàn)［6］提出了一種快速、簡(jiǎn)易的計(jì)算機(jī)制作全息圖的方法。（2）提高計(jì)算全息圖的質(zhì)量，降低其再現(xiàn)波面的誤差。文獻(xiàn)［7］利用數(shù)字圖像處理的方法對(duì)計(jì)算全息圖進(jìn)行濾波處理，消除了零級(jí)像和原始像，使數(shù)字再現(xiàn)時(shí)得到了清晰的再現(xiàn)像。文獻(xiàn)［3］采取一系列提高計(jì)算全息圖質(zhì)量的措施，有效地消除了零級(jí)像和孿生像的影響，獲得了清晰的數(shù)字再現(xiàn)像。（3）計(jì)算全息技術(shù)的應(yīng)用。文獻(xiàn)［8］中提出一種基于傅里葉變換印刷全息標(biāo)識(shí)防偽方法，通過(guò)數(shù)字印刷技術(shù)將加密的傅里葉變換全息標(biāo)識(shí)印制在證件等印刷品上作為防偽標(biāo)識(shí)，具有重要的實(shí)用意義。文獻(xiàn)［9］將計(jì)算全息技術(shù)應(yīng)用于圖像加密，提高了圖像系統(tǒng)的保密性能。文獻(xiàn)［10］開(kāi)發(fā)了一種新的基于計(jì)算全息技術(shù)的3D動(dòng)態(tài)顯示系統(tǒng)。文獻(xiàn)［11］、［12］中計(jì)算全息圖已經(jīng)成功應(yīng)用于全息視頻顯示系統(tǒng)。文獻(xiàn)［13］中介紹了計(jì)算全息圖在光學(xué)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)［14］提出了計(jì)算全息術(shù)應(yīng)用于非球面檢測(cè)的展望。文獻(xiàn)［15］將計(jì)算全息術(shù)應(yīng)用在非球面檢測(cè)中。

文中首先介紹計(jì)算全息的基本理論，然后采用李威漢的編碼方法分別制作了傅里葉二元計(jì)算全息圖和菲涅耳二元計(jì)算全息圖，并將全息圖在實(shí)際光路中再現(xiàn)，再現(xiàn)像明顯直觀。

1 計(jì)算全息的基本理論

計(jì)算全息圖制作的主要步驟：（1）對(duì)物面按抽樣定理進(jìn)行抽樣，得到其在各個(gè)離散點(diǎn)上的離散值；（2）計(jì)算全息平面上的光強(qiáng)的分布；（3）根據(jù)各種不同的編碼方法將全息平面上的光場(chǎng)分布用計(jì)算全息圖的透過(guò)率表示出來(lái)；（4）用繪圖儀、陰極射線管或者計(jì)算機(jī)控制的微密度計(jì)繪制全息圖，也可用特殊輸出直接把全息圖記錄在膠片上［3］。

1.1 記錄對(duì)象［4］

計(jì)算全息圖可分為像計(jì)算全息圖，傅里葉變換計(jì)算全息圖和菲涅耳計(jì)算全息圖3種。（1）像計(jì)算全息圖直接記錄物體的像場(chǎng)分布。像計(jì)算全息圖可再現(xiàn)物體本身，它廣泛應(yīng)用于干涉測(cè)試中。（2）傅里葉變換計(jì)算全息圖記錄物波函數(shù)的傅里葉變換譜。因此在制作此種計(jì)算全息圖時(shí)，首先用計(jì)算機(jī)算出物波函數(shù)的離散傅里葉變換譜，這通常應(yīng)用快速傅里葉變換算法。在MatLab中采用二維快速傅里葉變換函數(shù)fft2（）來(lái)計(jì)算，要注意使用移譜函數(shù)fftshift（）將頻譜的低頻部分移到中心，否則傅里葉頻譜會(huì)被分裂。傅里葉變換計(jì)算全息圖廣泛應(yīng)用于光學(xué)數(shù)據(jù)處理中的空間濾波器或其他變換運(yùn)算，這是計(jì)算全息技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的領(lǐng)域。（3）菲涅耳計(jì)算全息圖記錄物體發(fā)出的菲涅耳衍射波。在制作菲涅耳計(jì)算全息圖時(shí)，首先求出物體發(fā)出的波前在某一特定距離平面上的菲涅耳衍射圖的數(shù)字表達(dá)式。如果物體是二維的，則可用一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的積分式（1）計(jì)算波面的菲涅耳傳播；對(duì)于三維物體，則需要的計(jì)算要復(fù)雜得多，菲涅耳計(jì)算全息圖一般用于圖像的三維顯示技術(shù)中。

1.2 編碼方法

在通訊中，編碼指把輸入信息變?yōu)樾诺郎蟼鬟f信號(hào)的過(guò)程。在計(jì)算全息中，輸入信息是待記錄的光波復(fù)振幅，而中間的傳遞介質(zhì)是全息圖，其信息特征是全息圖上的透過(guò)率。將二維光場(chǎng)復(fù)振幅分布變換為全息圖的二維透過(guò)率分布的過(guò)程，稱為計(jì)算全息圖的編碼?？梢杂靡粋€(gè)數(shù)學(xué)公式來(lái)描述這個(gè)編碼過(guò)程：

式（2）中，hi（x，y）是計(jì)算全息圖的全息函數(shù)，它應(yīng)為實(shí)值非負(fù)函數(shù)；f（x，y）是輸入的空間復(fù)值函數(shù)；C是相應(yīng)于編碼的變換符號(hào)；i表示不同的編碼方法［16］。

有兩種復(fù)值函數(shù)編碼方法，第一種方法是把復(fù)值函數(shù)用兩個(gè)實(shí)值非負(fù)函數(shù)來(lái)表示，即對(duì)幅值和位相進(jìn)行編碼；第二種編碼方法即修正型離軸參考光計(jì)算全息圖通過(guò)加進(jìn)離軸參考光偏置，分別進(jìn)行調(diào)幅和調(diào)相，變成實(shí)值非負(fù)函數(shù)。這樣編碼比第一種方法要簡(jiǎn)便，沒(méi)有位相編碼的問(wèn)題，這是其優(yōu)越之處，但由于加進(jìn)了偏置分量，使得全息圖要記錄的空間帶寬積大為增加，全息圖上的抽樣點(diǎn)數(shù)必須增加，同時(shí)也增加了計(jì)算全息圖的繪圖時(shí)間［4］。

對(duì)幅值和位相編碼的典型方法有羅曼迂回相位編碼和李威漢四階迂回相位法。博奇編碼是典型的修正型離軸參考光編碼方法。

1.2.1 羅曼迂回相位編碼［17，18］

羅曼根據(jù)不規(guī)則光柵的衍射效應(yīng)提出了迂回相位編碼。當(dāng)光柵柵距變化時(shí)，某方向的衍射光波在該位置處引入相應(yīng)相位延遲，因此通過(guò)局部改變光柵柵距的辦法，可在某個(gè)衍射方向上得到所需要的相位調(diào)制。羅曼迂回相位編碼在全息圖的每個(gè)抽樣單元中，放置一個(gè)通光孔徑，通過(guò)改變通光孔徑的面積來(lái)實(shí)現(xiàn)光波場(chǎng)的振幅調(diào)制，而通過(guò)改變通光孔徑中心距抽樣單元中心的位置來(lái)實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)相位的編碼。由于利用這種方法編碼的計(jì)算全息圖的透過(guò)率只有0、1兩個(gè)值，故制作簡(jiǎn)單，抗干擾能力強(qiáng)，對(duì)記錄介質(zhì)的非線性效應(yīng)不敏感，可多次復(fù)制而不失真，因而應(yīng)用較為廣泛。

1.2.2 李威漢四階迂回相位法［4］

1970年，李威漢提出了一種新的計(jì)算全息制作法。李氏把全息圖面上的每一個(gè)抽樣單元細(xì)分為四個(gè)子單元，把復(fù)數(shù)樣點(diǎn)值編碼進(jìn)這四個(gè)子單元中。實(shí)際上，這相當(dāng)于在復(fù)平面上分解復(fù)矢量。復(fù)平面上有四個(gè)基矢：r＋＝（1，0），r－＝（－1，0），j＋＝（0，1），j－＝（0，－1），任何一個(gè)復(fù)數(shù)可表示為

而F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4全都是實(shí)的非負(fù)數(shù)。當(dāng)然實(shí)際上至多只有兩個(gè)分量為非零值。因此要描述一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅，只需要在兩個(gè)子單元中用開(kāi)孔大小或灰度等級(jí)來(lái)表示。

1.2.3 博奇編碼方法［19］

光學(xué)離軸全息圖，其通過(guò)率函數(shù)在線性記錄條件下為

式（4）中，A（x，y）和R（x，y）分別為物光波和參考光波復(fù)振幅。前兩項(xiàng)只對(duì)偏置分量有貢獻(xiàn)，使h（x，y）為實(shí)的非負(fù)函數(shù)，只有最后一項(xiàng)才包含了物體的全部信息，前兩項(xiàng)的偏置分量在制作全息圖時(shí)對(duì)帶寬增加了要求，在再現(xiàn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)多余的衍射像。應(yīng)用計(jì)算機(jī)制作全息圖時(shí)，由于計(jì)算機(jī)靈活性的特點(diǎn)，可以通過(guò)加其他偏置分量來(lái)達(dá)到使h（x，y）為實(shí)的非負(fù)函數(shù)的目的，因此，用博奇提出的加直流偏置分量代替式中的前兩項(xiàng)，利用計(jì)算機(jī)構(gòu)成新的全息函數(shù)。

2 基于MatLab的計(jì)算全息圖的制作［20－22］

計(jì)算全息圖根據(jù)其透過(guò)率變化可分為二元計(jì)算全息圖和灰階計(jì)算全息圖?；译A計(jì)算全息圖的振幅透過(guò)率函數(shù)是變化的，二元計(jì)算全息振幅透過(guò)率只有0或1兩個(gè)值。但兩者都保存了物波的全部信息，因此都能完整地再現(xiàn)原始物波。由于二元計(jì)算全息圖的制作經(jīng)濟(jì)簡(jiǎn)便，同時(shí)抗外界噪聲干擾的能力強(qiáng)，對(duì)照相底片的非線性效應(yīng)不敏感，可以多次復(fù)制而不失真，因此二元計(jì)算全息圖比灰階計(jì)算全息圖更有優(yōu)點(diǎn)。

李威漢四階迂回相位法相對(duì)于其他編碼方法簡(jiǎn)單，目前尚未見(jiàn)用其制作計(jì)算全息圖的文獻(xiàn)。因此，基于MatLab平臺(tái)采用李威漢四階迂回相位法編碼分別制作了傅里葉二元計(jì)算全息圖和菲涅耳二元計(jì)算全息圖。

2.1 待記錄復(fù)振幅波面的抽樣和量化

根據(jù)四階迂回相位法，將待記錄復(fù)振幅波面上的一個(gè)樣點(diǎn)編碼進(jìn)四個(gè)子單元（列）中，而實(shí)際上只需要在兩個(gè)子單元中用開(kāi)孔大小或灰度等級(jí)來(lái)表示。對(duì)于二元計(jì)算全息圖，應(yīng)用開(kāi)孔大小表示。開(kāi)孔的大小由量化采用的方法決定，如圖1所示：

圖1 復(fù)振幅波面樣點(diǎn)的量化Fig.1 Quantization of the complex amplitude wavefront sample

2.2 傅里葉二元計(jì)算全息圖的制作

傅里葉計(jì)算全息圖的編程流程，如圖2所示。

所用物波是一幅128×128的二維平面圖像（見(jiàn)圖3）。用MatLab中的二維快速傅里葉變換函數(shù)fft2（）計(jì)算物波傅里葉譜，并對(duì)其編碼和量化后生成計(jì)算全息圖（見(jiàn)圖4）。取平行參考光垂直入射，再進(jìn)行一次傅里葉變換，可數(shù)字再現(xiàn)原物波（見(jiàn)圖5）。

圖2 傅里葉計(jì)算全息圖編程流程圖Fig.2 Flow chart of Fourier CGH

圖3 原圖Fig.3 Original image

圖4 計(jì)算全息圖局部Fig.4 Part of CGH

圖5 數(shù)字再現(xiàn)像Fig.5 Digital reconstruction image

2.3 菲涅耳二元計(jì)算全息圖的制作

菲涅耳計(jì)算全息圖的編程流程，如圖6所示。

所用物波是128×128的二維平面圖像（詳見(jiàn)圖7）。用式（1）計(jì)算物波衍射到1m處的波面，對(duì)其編碼和量化后生成計(jì)算全息圖（見(jiàn)圖8）。取平行參考光垂直入射，計(jì)算距離為1m菲涅耳衍射，得到原物波數(shù)字再現(xiàn)像（見(jiàn)圖9）。

圖6 菲涅耳計(jì)算全息圖編程流程圖Fig.6 Flow chart of Fresnel CGH

計(jì)算全息圖和菲涅耳二元計(jì)算圖。再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)得到的再現(xiàn)像明顯、直觀。計(jì)算全息圖靈活性極高，制作簡(jiǎn)單，但它也存在不足之處。由于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量，繪圖儀和CRT顯示器等的分辨力有限，因此要制作一張空間帶寬積很大的計(jì)算全息圖是費(fèi)時(shí)和困難的。然而，電子技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展終將帶來(lái)大存儲(chǔ)容量的計(jì)算機(jī)和高分辨力的繪圖儀及顯示器。另外，越來(lái)越多的專家和學(xué)者對(duì)計(jì)算全息圖各個(gè)課題的研究都會(huì)使計(jì)算全息的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

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