投影尋蹤模型在地下水水質(zhì)評價中的應(yīng)用

張 鵬

(新疆巴州水利水電勘測設(shè)計院，新疆 庫爾勒841000)

投影尋蹤模型在地下水水質(zhì)評價中的應(yīng)用

張 鵬

(新疆巴州水利水電勘測設(shè)計院，新疆 庫爾勒841000)

通過分析常用水體質(zhì)量評價模型的缺陷，提出了基于序列二次規(guī)劃算法的投影尋蹤評價模型，并利用多項式插值的方法進行水質(zhì)分類，取得了符合客觀實際的評價結(jié)果。某水源地地下水質(zhì)量評價結(jié)果表明:利用投影尋蹤方法可以揭示高維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，所建立的評價模型不僅簡單、直觀和易于理解，而且結(jié)果合理，為水源地的保護和合理利用提供了決策依據(jù)。

序列二次規(guī)劃算法;投影尋蹤;地下水;質(zhì)量評價

目前，對由高維數(shù)據(jù)樣本構(gòu)成的水質(zhì)指標(biāo)，傳統(tǒng)上依靠基于多元分析的統(tǒng)計手段進行評價。這類方法用于分類的過程存在人為干擾，導(dǎo)致分類與評價結(jié)果的人為傾向。而且監(jiān)測得到的數(shù)據(jù)部分是偏態(tài)的和非線性的，不滿足正態(tài)假定，這樣傳統(tǒng)的統(tǒng)計手段對水質(zhì)進行劃分就比較困難。同時在數(shù)據(jù)維數(shù)較高時，水體中多個水質(zhì)指標(biāo)間的相互作用關(guān)系極為錯綜復(fù)雜，傳統(tǒng)的多元線性回歸、灰色或模糊數(shù)學(xué)模式等還未能予以有效地克服［1］。

投影尋蹤(Projection Pursuit，簡稱PP)方法是處理和分析高維數(shù)據(jù)(尤其是高維非正態(tài)數(shù)據(jù))的一類新興的統(tǒng)計方法，對監(jiān)測數(shù)據(jù)不做正態(tài)等任何假定，能充分利用高維數(shù)據(jù)中的所有信息［2，3］，但由于存在目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化困難的原因，使其在應(yīng)用上受到一定的限制。序列二次規(guī)劃算法(Sequential Quadratic Programming，簡稱 SQP)是求解這類中小規(guī)模非線性約束最優(yōu)化問題的有效方法［4－7］，近年來在過程系統(tǒng)優(yōu)化中得到了大量的應(yīng)用。

因此，本文利用基于SQP算法的投影尋蹤模型對水質(zhì)進行評價。

1 投影尋蹤評價模型的建立

投影尋蹤方法的基本思想是:利用計算機技術(shù)，把高維數(shù)據(jù)通過某種組合，投影到低維(1～3維)子空間上。然后通過優(yōu)化投影指標(biāo)函數(shù)，求出能反映原高維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或特征的投影向量，在低維空間上對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進行分析，以達到研究和分析高維數(shù)據(jù)的目的。評價模型的建立過程如下［8］:

假定有m行n列的水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)矩陣Xm×n，其中m代表監(jiān)測井?dāng)?shù)，n代表每個監(jiān)測井的監(jiān)測項目。

1.1 評價指標(biāo)值的歸一化

設(shè)研究方案集為:{x*(i，j)|i=1，2，…，n;j=1，2，…，p}

其中:x*(i，j)為第i個方案第j個評價指標(biāo)值;n，p分別為方案的數(shù)目和評價指標(biāo)的數(shù)目。為消除各評價指標(biāo)的量綱和統(tǒng)一各評價指標(biāo)的變化范圍，對越大越優(yōu)型評價指標(biāo)可采用下式進行極值歸一化處理:

對越小越優(yōu)型評價指標(biāo)可采用如下進行極值歸一化處理:

式中:xmin(j)、xmax(j)分別為方案集中第j個評價指標(biāo)的最小值和最大值。通過式(1)和式(2)得到的x(i，j)統(tǒng)一為［0，1］區(qū)間上的評價指標(biāo)。

1.2 構(gòu)造投影指標(biāo)函數(shù)

PP模型就是把 p維數(shù)據(jù){x(i，j)|j=1，2，…，p}綜合成以a=(a(1)，a(2)，…，a(p))為投影方向的一維投影值。

然后根據(jù){z(i)|i=1，2，…，n}的一維散布圖進行方案優(yōu)選，式(3)中a為單位長度向量。

在綜合投影值時，要求投影值z(i)的散布特征應(yīng)為:局部投影點盡可能密集，最好凝聚成若干個點團;而在整體上投影點團之間盡可能散開?；诖耍队爸笜?biāo)函數(shù)可構(gòu)造為:

式中:Sz為投影值z(i)的標(biāo)準(zhǔn)差，Dz為投影值z(i)的局部密度，即

式中:Ez為系統(tǒng){z(i)|i=1，2，…，n}的均值;R為局部密度的窗口半徑，它的選取既要使包含在窗口內(nèi)的投影點的平均個數(shù)不能太少，避免滑動平均偏差太大，又不能使它隨n的增大而增加太高，R可以根據(jù)試驗來確定，一般可取值為0.1Sz;距離;rij=|z(i)－z(j)|;u(R－rij)為一單位階躍函數(shù)，當(dāng)t≥0時其函數(shù)值為1，當(dāng)t＜0時其函數(shù)值為0。

1.3 優(yōu)化投影指標(biāo)函數(shù)

當(dāng)方案集給定時，投影指標(biāo)函數(shù)Q(a)只隨投影方向a的變化而變化。不同的投影方向反映不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征，最佳投影方向就是最大可能暴露高維數(shù)據(jù)某類特征結(jié)構(gòu)的投影方向。通過求解投影指標(biāo)函數(shù)最大化問題可估計最佳投影方向，即:

這是一個以{a(j)|j=1，2，…，p}為優(yōu)化變量的復(fù)雜非線性優(yōu)化問題，用常規(guī)優(yōu)化方法處理較困難。本文中采用SQP進行優(yōu)化求解。SQP算法通過求解一系列二次規(guī)劃子問題(Quadratic programming，QP)來獲得原命題的最優(yōu)解。該算法具有全局收斂性和超線性收斂速度［4，6］。由于SQP算法對初值的要求較高，不同的初值得到的結(jié)果精度不一。為了克服這一缺點，文中隨機對向量A進行100次賦初值，然后分別進行優(yōu)化求解。

1.4 分類

把由步驟3求得的最佳投影方向a*代入式(3)后即得各方案的投影值z*(i)。將z*(i)與z*(j)進行比較，二者越接近，表示樣本i與j越傾向于分為同一類。若按z*(i)值從大到小排序，則可以將樣本從優(yōu)到劣進行排序。同時，根據(jù)各經(jīng)驗等級和各經(jīng)驗等級對應(yīng)的投影值z*(i)建立投影尋蹤等級評價模型y=f(z*)，然后將待評價樣本進行歸一化處理，計算待評價樣本的投影值z*(i)，將投影值z*(i)代入投影尋蹤等級評價模型y=f(z*)，最后得出各評價樣本的所屬等級。

2 應(yīng)用實例

某市有一重要水源地，采用《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T14848－1993)作為評價的標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)合地下水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)及實際監(jiān)測指標(biāo)，選取 Cl－、SO42－、礦化度、總硬度、CODMn與F－共7項指標(biāo)作為評價因子。

根據(jù)研究區(qū)地下水水質(zhì)監(jiān)測及水化學(xué)分析成果，考慮到各監(jiān)測井的實際水質(zhì)情況并為便于計算，選取數(shù)據(jù)較為完整的10個監(jiān)測井的監(jiān)測數(shù)據(jù)(表2)共10組數(shù)據(jù)進行評價。

表1 地下水質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)(GB/T14848－1993)mg/L

表2 各井監(jiān)測項目評價指標(biāo)值 mg/L

其中，樣本個數(shù)m=10，水質(zhì)指標(biāo)個數(shù)n=7，利用上述投影尋蹤評價模型，先用式(1)對表1中的數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，然后建立評價模型。得最大投影指標(biāo)函數(shù)值為7.852，最佳的投影方向 A=(0.211 3，0.391 4，0.477 6，0.246 4，0.695 5，0.115 3，0.127 9)。

把最佳投影方向A代入式(2)后即可計算出各監(jiān)測井的投影值Z(i)，然后根據(jù)計算得到的投影值Z(i)，利用多項式插值對各井進行水質(zhì)分級，計算得到的水質(zhì)等級見表3。

表3 各監(jiān)測井的投影值與水體質(zhì)量等級

從表3可以看出，研究區(qū)的水體質(zhì)量狀況尚可，多為Ⅱ、Ⅲ類水質(zhì)，符合飲用水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)。最佳投影方向A各分量絕對值的大小實質(zhì)上反映了各水質(zhì)指標(biāo)對水體質(zhì)量等級的影響程度，A中各分量絕對值越大則對應(yīng)的水質(zhì)指標(biāo)對水質(zhì)的影響程度就越大，本區(qū)影響水體質(zhì)量的水質(zhì)指標(biāo)從大到小依次為總硬度、F－、SO42－、礦化度、Cl－、NH4+、CODMn。

3 結(jié)論

1)將多維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一維指標(biāo)值時，可能會造成部分數(shù)據(jù)之間所隱含信息的丟失，對結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，因此應(yīng)選擇合適的數(shù)據(jù)處理方法。

2)SQ算法具有全局收斂性和超線性收斂速度。能快速計算出反映高維數(shù)據(jù)特征結(jié)構(gòu)的最佳一維投影指標(biāo)方向值。是處理中、小規(guī)模優(yōu)化問題最有效的一種算法，可以作為投影尋蹤評價模型的輔助尋優(yōu)工具。

3)最優(yōu)投影值能夠在一定程度上反映水體各評價指標(biāo)影響程度的大小，同時，計算簡單可行。模型準(zhǔn)確反映了水體質(zhì)量等級與投影值之間的非線性對應(yīng)關(guān)系，等級劃分界限清晰，為地下水質(zhì)量評價研究領(lǐng)域提供了新的思路和方法。

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Application of Projection Pursuit Model to Comprehensive Evaluation of Groundwater Quality

ZHANG Peng
(Bazhou Exploration Design Institute of Hydro－power and Water Resources，Kurle 841000，China)

The paper analyzes limitations of the traditional models of water quality evaluation，promotes a projection pursuit evaluation model based on sequential quadratic programming algorithms.Classification of water quality is carried out using a polynomial interpolation method and the results are in a good agreement with the practical situations.The results show that the projection pursuit method can disclose the structure features of the high dimensional data.The evaluation model is simple and easy to understand and its result is valid and provides a decision basis for reasonable protection and utilization of well fields.

Sequential Quadratic Programming Algorithms;projection pursuit;groundwater and quality evaluation

X824

A

1004－1184(2012)03－0027－02

2012－02－03

張鵬(1979－)男，新疆庫爾勒人，工程師，主要從事水利工程規(guī)劃設(shè)計工作。