非慣性系動力學(xué)定理中無慣性力作用項的條件確定

林景波

（延邊大學(xué)理學(xué)院 物理系，吉林 延吉133002）

非慣性系動力學(xué)定理中無慣性力作用項的條件確定

林景波

（延邊大學(xué)理學(xué)院 物理系，吉林 延吉133002）

在隨動點o′平動的非慣性系中，運用理論研究法建立相對動點o′的動力學(xué)普遍定理，發(fā)現(xiàn)這些定理中均含有慣性力的作用項，使得普遍定理的運用受到限制.為解決這一問題，通過分析慣性力作用項的特征和動點o′的選取，提出了定理中無慣性力作用項的條件，使平動非慣性參照系問題的動力學(xué)方程得以簡化.

非慣性系；動點；動力學(xué)定理；慣性力

取隨動點o′平動的非慣性參照系研究問題，并建立非慣性坐標系o′－x′y′z′，如圖1所示.相對動點o′運用相關(guān)動力學(xué)理論，列出動力學(xué)普遍定理：動量定理、角動量定理、動能定理，在這3個定理的表達式中分別出現(xiàn)了慣性力、慣性力矩、慣性力的功，即表現(xiàn)出慣性力的作用；因此，當將這些定理運用于平動的非慣性系中解決力學(xué)體系問題時，遇到所列方程較為復(fù)雜，甚至無法求解的問題.經(jīng)查閱文獻［1－6］發(fā)現(xiàn)，相關(guān)研究僅限于非慣性系中動力學(xué)普遍定理的建立，而未涉及如何消除普遍定理中慣性力作用項影響的研究.鑒于此，本文在建立相對動點o′的動力學(xué)普遍定理的基礎(chǔ)上，分析定理中所含慣性力作用項的特點，提出了如何選取動點，使動力學(xué)普遍定理中不再出現(xiàn)慣性力作用項，得到所列方程能夠簡化的條件，為平動非慣性系中力學(xué)體系問題的解決提供了有效方法.

圖1 非慣性參照系o′－x′y′z′

1 動量定理中無慣性力作用項的條件確定

如圖1所示，任意質(zhì)點mi對固定坐標系oxyz的位置矢量為ri＝ro′＋r′i，則有vi＝˙ri＝˙ro′＋˙r′i＝vo′＋˙r′i，整個質(zhì)點組對固定坐標系oxyz的動量為

式中出現(xiàn)了慣性力作用項－mao′，即慣性力.

適當選取動點o′使或－mao′＝0，則（1）式中將不出現(xiàn)慣性力.據(jù)此對所需滿足的條件做如下分析：

1）當選取的動點o′與質(zhì)點組質(zhì)心c重合時，由于質(zhì)心加速度與動點加速度相等，即ac＝ao′，根據(jù)質(zhì)心運動定理式可變?yōu)檫@表明質(zhì)點組相對質(zhì)心（選取的動點o′）的動量對時間的變化率恒為零，與外力和慣性力無關(guān).

2）當質(zhì)點組是1個剛體，且選取的動點o′為加速度瞬心時，有ao′＝0，則有慣性力－mao′＝0.由此（1）式變?yōu)椋砻饕褵o慣性力作用項.

3）當選取的動點o′做勻速直線運動時，有動點ao′＝0，使得慣性力－mao′＝0.由此（1）式變?yōu)?，表明已無慣性力作用項.

2 角動量定理中無慣性力作用項的條件確定

如圖1所示，在隨o′平動的非慣性坐標系o′－x′y′z′中建立對動點o′的角動量定理［3］

式中r′c為質(zhì)點組的質(zhì)心c對o′的位置矢量，而r′c×（－m¨ro′）則為慣性力作用項，即慣性力對o′點的力矩矢量和，稱之為慣性力矩.

如果使（2）式中不出現(xiàn)慣性力矩r′c× （－m¨ro′）項，則要求r′c×（－m¨ro′）＝0.據(jù)此對所需滿足的條件做如下分析：

1）當選取的動點o′的加速度¨ro′與r′c平行時，r′c×（－m¨ro′）＝0.以均質(zhì)圓柱在粗糙平面上做純滾動為例加以說明，如圖2所示.設(shè)圓柱與平面的接觸點為A，則A點為圓柱運動的速度瞬心，當取A點為動點o′時，則A點的加速度（動點o′的加速度）指向質(zhì)心c（圓心），這使得質(zhì)心c對A點（動點o′）的位置矢量r′c平行于A點的加速度¨rA.此時選取A點為動點o′有r′c×（－m¨ro′）＝0，于是（2）式中將不出現(xiàn)慣性力矩項.

圖2 均質(zhì)圓柱在粗糙平面上做純滾動

2）當選取的動點o′與質(zhì)點組質(zhì)心c重合時，因r′c＝0，則有r′c×（－m¨ro′）＝0.

3）當選取的動點o′做勻速直線運動或質(zhì)點組為剛體且取o′為加速度瞬心時，因動點o′的加速度為零，即¨ro′＝0，則有r′c×（－m¨ro′）＝0.

3 動能定理中無慣性力作用項的條件確定

如圖1所示，在隨o′平動的非慣性坐標系o′－x′y′z′中，質(zhì)點組的任意質(zhì)點mi相對此動坐標系的動力學(xué)方程為［5］

兩邊乘以dr′i得dr′i，則可推得.對于由n個質(zhì)點所組成的質(zhì)點組，便有

式（3）表明質(zhì)點組相對o′的動能變化不僅與體系外力、內(nèi)力作功有關(guān)，而且還與慣性力作功有關(guān)，即出現(xiàn)了慣性力作用項

1）當選取的動點o′的加速度垂直于dr′c時，m以均質(zhì)圓盤在粗糙斜面上做純滾動為例加以說明，如圖3所示.設(shè)圓盤與斜面的接觸點為A，如果將其選為動點o′，由于A點（o′點）的加速度與斜面垂直，而圓盤質(zhì)心c相對于A點（o′點）的位移dr′c則與斜面平行，所以此時有或滿足了，即在（3）式中不出現(xiàn)慣性力的功.

圖3 均質(zhì)圓盤在粗糙斜面上做純滾動

2）當選取的動點o′與質(zhì)點組質(zhì)心c重合時，因此時質(zhì)心c相對動點o′無位移，即dr′c＝0，且則有

3）當選取的動點o′做勻速直線運動時，由于動點o′無加速度，即，則有

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Determining the conditions on the inertial－force－free term in kinetic theorem of non－inertial system

LIN Jing－bo
（DepartmentofPhysics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

It is found that the theorems contain inertial force terms when the general relative－to－moving－point dynamics theorems are theoretically established in non－inertial system translating with moving pointo′.The existence of the inertial force terms constrains the application of the general theorems.To solve the problem，based on the feature of inertial force term in the established general dynamics theorems，the choice of the moving pointo′is analyzed and the conditions on which there is no inertial force term in the theorems are given.

non－inertial system；moving point；kinetic theorem；inertial force

O131.3

A

1004－4353（2012）01－0047－03

2011－10－20

林景波（1965—），男，副教授，研究方向為理論物理.