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    *圖與補(bǔ)圖孤立斷裂度的關(guān)系

    2012-01-11 08:51:46王世英王牟江山馮凱林上為張明瑜
    關(guān)鍵詞:哈密頓山西大學(xué)頂點(diǎn)

    王世英,王牟江山,馮凱,林上為,張明瑜

    (1.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006;2.中國科學(xué)院 研究生院,北京 100049;3.山西大學(xué) 計算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院,山西 太原 030006)

    *圖與補(bǔ)圖孤立斷裂度的關(guān)系

    王世英1,王牟江山2,馮凱3,林上為1,張明瑜1

    (1.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006;2.中國科學(xué)院 研究生院,北京 100049;3.山西大學(xué) 計算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院,山西 太原 030006)

    連通圖G的孤立斷裂度isc(G)=max{i(G-S)-|S|∶S∈C(G)},其中i(G-S)是G-S中的孤立點(diǎn)數(shù),C(G)是G的點(diǎn)割集.文章研究了圖與補(bǔ)圖孤立斷裂度的關(guān)系.

    網(wǎng)絡(luò);可靠性;孤立斷裂度

    0 引言

    本文僅考慮簡單圖.設(shè)圖G=(V(G),E(G)),其中V(G)和E(G)分別為圖G的頂點(diǎn)集和邊集.若|V(G)|=1,則稱G為平凡圖.設(shè)S?V(G).當(dāng)G是完全圖時,若G-S是平凡圖,稱S是G的一個點(diǎn)割;當(dāng)G是非完全連通圖時,若G-S是不連通的,則稱S是G的一個點(diǎn)割;G的連通度κ(G)為G的一個最小點(diǎn)割的頂點(diǎn)數(shù).G的點(diǎn)割集C(G)={S∶S是G的一個點(diǎn)割}.G的分支數(shù),奇分支數(shù)和孤立頂點(diǎn)數(shù)分別用ω(G),ω0(G)和i(G)表示.G的虧度def(G)是指G中未被G的一個最大匹配飽和的頂點(diǎn)數(shù).下面是匹配理論中著名的 Tutte定理[1].

    定理1(Tutte定理[1]) 一個圖G有完美匹配當(dāng)且僅當(dāng)對所有的S?V(G),有ω0(G-S)≤|S|成立.

    1958年,Berge在Tutte定理的基礎(chǔ)上給出了圖G的一個最大匹配的精確刻畫.特別的,他證明了def(G)=max{ω0(G-S)-|S|∶S?V(G)}.此后,虧度這一參數(shù)得到許多學(xué)者的關(guān)注[2-5].下面給出另一個著名的定理.

    定理2[1]設(shè)S為哈密頓圖G的一個頂點(diǎn)集合.則ω(G-S)≤|S|.

    受該定理的啟發(fā),Jung[6]引進(jìn)斷裂度這一新概念來對圖的哈密頓性進(jìn)行討論.

    定義1[6]設(shè)G為一個連通圖.圖G的斷裂度sc(G)=max{ω(G-S)-|S|∶S∈C(G)}.

    斷裂度源于分?jǐn)?shù)因子理論,近年來,它被普遍認(rèn)為是度量圖的可靠性的有效參數(shù)之一[7-11].分?jǐn)?shù)因子理論[12-13]被廣泛應(yīng)用在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計,組合拓?fù)浜蜎Q策鏈等很多領(lǐng)域.一個分?jǐn)?shù)1-因子是指一個為圖G的每條邊指派一個區(qū)間[0,1]上分?jǐn)?shù)的函數(shù)h,使得對每個頂點(diǎn)x有 ∑e∈Ex h(e)=1成立,其中Ex={e∶e=xy∈E(G)}.下面給出具有分?jǐn)?shù)1-因子圖的一個刻畫.

    定理3[12]一個圖G有分?jǐn)?shù)1-因子當(dāng)且僅當(dāng)對任何S?V(G)有i(G-S)≤|S|成立.

    受定理3的啟發(fā),王世英等在文[14]中引進(jìn)孤立斷裂度這一新概念對圖的穩(wěn)定性進(jìn)行討論.

    定義2[14]設(shè)G是一個連通圖.圖G的孤立斷裂度isc(G)=max{i(G-S)-|S|∶S∈C(G)}.

    設(shè)S*是圖G的一個點(diǎn)割,若i(G-S*)-|S*|=isc(G),則稱S*為一個孤立斷裂度集.

    一個處理器互連網(wǎng)絡(luò)或通訊網(wǎng)絡(luò)通常用一個圖G=(V,E)來表示,其中V中每個頂點(diǎn)對應(yīng)一個處理器或一個通訊器件,E中每條邊對應(yīng)一對處理器或一對通訊器件之間的一條直接通訊線路.在設(shè)計這些網(wǎng)絡(luò)時,可靠性是一個非常重要的因素[15].由于孤立頂點(diǎn)同其他頂點(diǎn)無法通訊聯(lián)系,所以我們期望故障網(wǎng)絡(luò)具有盡可能少的孤立頂點(diǎn).對G的一個點(diǎn)割S,從G中移除S的難度可以用|S|來度量,由S的移除帶來的徹底毀壞程度可用i(G-S)來度量.因此,孤立斷裂度是一個合理、合適的網(wǎng)絡(luò)可靠性參數(shù).本文對圖與補(bǔ)圖孤立斷裂度的關(guān)系進(jìn)行研究.下面我們介紹將用到一些基本概念和術(shù)語.

    V(G)的一個子集S被稱為一個獨(dú)立集若S中任意兩個頂點(diǎn)在G中都不相鄰.G的最大獨(dú)立集的頂點(diǎn)數(shù)稱為G的獨(dú)立數(shù),記為α(G).V(G)的一個子集K使得G中每條邊至少有一個端點(diǎn)在K中被稱為G的一個覆蓋.G的最小覆蓋的頂點(diǎn)數(shù)稱為G的覆蓋數(shù),記為β(G).設(shè)X是V(G)的一個非空子集.G的由X導(dǎo)出的子圖記為G[X].G[V(G)-X]簡記為G-X.若X={v},則G-{v}簡記為G-v.其它未給出的定義參見[1].

    1 圖與補(bǔ)圖孤立斷裂度的關(guān)系

    設(shè)G的頂點(diǎn)集V(G)為{v1,v2,…,vn}且不失一般性,設(shè)U={v1,v2,…,vα(G)}是G的一個最大獨(dú)立集.

    若i(G-S*)=3,|S*|=2,設(shè)S*={x1,x2},點(diǎn)x3、x4和x5為G-S*中的孤立點(diǎn).注意到{x3,x4,x5}中必有一個點(diǎn)在G[U2]中.又由于G[U2]是完全圖,而{x3,x4,x5}是孤立點(diǎn)集,故{x3,x4,x5}中恰有一個點(diǎn)在G[U2]中.因此,不妨設(shè)為x3∈U2且{x4,x5}={v1,v2}.注意到G[U2]是G中的(n-2)團(tuán),故若V(G)\(S*∪{x3,x4,x5})中還存在其它的點(diǎn)x*,則x*與x3在G-S*中必相鄰,這與x3為G-S*中的孤立點(diǎn)矛盾.因此,n=5.這時x3=v3.否則不妨設(shè)x3=v4,這時{x1,x2}={v3,v5}.不妨設(shè)x1=v3,x2=v5,由于{v1,v2,v3}是G的獨(dú)立集,故v5與v1,v2均相鄰.由于{v3,v4,v5}=U2,故G[U2]是一個完全圖.因此,d G(v5)=4,即dˉG(v5)=0,矛盾.這時{x1,x2}={v4,v5}.此時G[{v3,v4,v5}]是完全圖,G[{v1,v2,v3}]是空圖且v1與{v4,v5}中至少一點(diǎn)相鄰,v2與{v4,v5}中至少一點(diǎn)相鄰.若v1,v2都與v4相鄰,則在ˉG中v4是孤立點(diǎn),矛盾.同理,v1,v2不能都與v5相鄰.因此,不失一般性可設(shè)v1只與v4相鄰,v2只與v5相鄰,這說明G?G5.證畢.

    以下兩個引理的結(jié)果是顯然的故未給出證明.

    2 互補(bǔ)的哈密頓圖的孤立斷裂度的關(guān)系

    引理10[1]一個簡單圖是哈密頓圖當(dāng)且僅當(dāng)它的閉包是哈密頓圖.

    引理11 若G是哈密頓圖,則G的孤立斷裂度isc(G)≤0.

    證明 設(shè)S*是G的孤立斷裂度集.由定理2,有ω(G-S*)≤|S*|.因?yàn)閕(G-S*)≤ω(G-S*),所以isc(G)=i(G-S*)-|S*|≤ω(G-S*)-|S*|≤0.證畢.

    由引理10容易得到下面的引理.

    引理12 對任意給定的正整數(shù)n(≥8)和k(1≤k≤n-7),構(gòu)造n階圖H如下:V(H)={v1,v2,…,vn},E(H)=E(Kn)\(E1∪E2),其中E1={viv i+1∶i=1,2,…,n,1+i是模n加法},E2={v1vi∶i=3,…,k+2}.則

    證明 由引理11可得isc(H)+isc()≤0.由定理5有isc(H)+isc()≥-(n-3).證畢.

    定理9 設(shè)n(≥8)和r為兩個給定的正整數(shù)使得-(n-6)≤r≤-4.那么存在n階互補(bǔ)的哈密頓圖H和,使得isc(H)+isc)=r.

    證明 當(dāng)n為偶數(shù)時,由引理12知存在n階互補(bǔ)的哈密頓圖H和,使得isc(H)+isc()是{-(n-6),…,-4,-3}中任意一個數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)時,由引理12知存在n階互補(bǔ)的哈密頓圖H和ˉH,使得isc(H)+isc(ˉH)是{-(n-5),-(n-6),…,-4}中任意一個數(shù).綜上得證.

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    Relation of the Isolated Scatting Number of a Graph and Its Complement Graph

    WANG Shi-ying1,WANGMU Jiang-shan2,F(xiàn)ENG Kai3,LIN Shang-wei1,ZHANG Ming-yu1
    (1.SchoolofMathematicalScience,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China;2.GraduateUniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China;3.SchoolofComputerScienceandTechnology,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

    The isolated scattering numberisc(G)=max{i(G-S)-|S|:S∈C(G)},whereGis a connected graph,i(G-S)is the number of isolated vertices ofG-SandC(G)is the set of vertex cuts ofG.In this paper,we investigate the relation of the isolated scatting number of a graph and its complement graph.

    networks;vulnerability;isolated scattering number

    O157.5

    A

    0253-2395(2012)02-0206-05*

    2011-09-27

    國家自然科學(xué)基金(61070229);教育部博士點(diǎn)基金(博導(dǎo)類)(20111401110005)

    王世英(1961-),男,山西晉中人,博士,教授,主要研究領(lǐng)域?yàn)閳D論和DNA計算.

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