基于巖體不連續(xù)面三維分形維巖體質量評價研究

周福軍，陳劍平，徐黎明，譚 春

（吉林大學 建設工程學院，長春 130026）

1 引 言

巖體質量分類及評價，是巖體力學最基本的研究課題。經過不同時期、不同程度的地質作用，巖體內發(fā)育著大量隨機、不規(guī)則的不連續(xù)面。由于多期復雜的地質構造作用，巖體內的不連續(xù)面隨機發(fā)育，形態(tài)各異，規(guī)模不等，不連續(xù)面的復雜性質使得巖體性質不同于完整的巖塊，并且大大惡化了巖體的工程性質，往往使得巖體質量顯著降低[1]，同時不連續(xù)面的存在也造成在進行巖體質量分類及評價時的困難。

傳統(tǒng)巖體質量評價方法也考慮巖體不連續(xù)面影響，如Deere[2]RQD 分級法，考慮不連續(xù)面分布對巖體質量的影響，但這一方法不能反映巖體不連續(xù)面的方位、填充等；復合指標分類方法，如RSR(巖體結構等級)法、RMR(巖體評分體系)法、BQ(工程巖體分級)法[1]及工程巖體分級標準法，或是考慮不連續(xù)面發(fā)育程度，或是考慮不連續(xù)面間距，或是考慮不連續(xù)面填充，但都存在不同程度的不足，很難做到全面、綜合地反映不連續(xù)面對巖體質量的影響。

研究表明，巖體不連續(xù)面的分布、間距、粗糙度、張開度等特征在一定的尺度范圍內表現(xiàn)出統(tǒng)計自相似性[3]。本文基于計算機模擬技術建立巖體隨機不連續(xù)面三維裂隙網絡模型[4]，并利用三維分形幾何理論對巖體結構進行綜合分析，全面準確地反映不連續(xù)面對巖體的影響，基于分形維數(shù)表征巖體質量信息，并對巖體質量做出評價分析。巖體不連續(xù)面的分維數(shù)，不僅反映了巖體的破碎程度，且與巖體的擾動程度、巖體強度、巖石蝕變、巖體導水性等密切相關，節(jié)理裂隙化巖體的很多特征可以通過不連續(xù)面分布的分形維數(shù)反映出來[5－6]。

分形理論由Mandelbrot[7]于20 世紀70 年代創(chuàng)立，其研究對象是自然界和社會生活中廣泛存在的無序、無規(guī)則而具有自相似性或統(tǒng)計自相似性的系統(tǒng)。與傳統(tǒng)幾何（即歐幾里德Eulidean）不同，分形理論把事物的維數(shù)視為分數(shù)，用來定量描述客觀事物的不規(guī)則程度，其基本定量參數(shù)是分形維數(shù)，簡稱分形維或分維數(shù)，表達式如下：

式中：r 為測量特征尺度；N(r)為在尺度r 下所得到的測量數(shù)；c 為比例常數(shù)；D 為分形維數(shù)。

巖體內發(fā)育有大量復雜的不連續(xù)面，若仍然利用傳統(tǒng)歐幾里德幾何很難描述不連續(xù)面的分布特性，文獻[8－10]從分形的角度用分維數(shù)來表征節(jié)理化裂隙巖體的不連續(xù)面分布特征，并在計算基礎上進行巖體質量評價。文獻[8－10]均是從揭露的巖體表面進行不連續(xù)面統(tǒng)計，建立模型，計算不連續(xù)面二維分形維的角度進行巖體特性描述，不能很好地反映巖體不連續(xù)面的空間分布，不能準確地反映不連續(xù)面分布對巖體質量的影響程度。

本文應用三維隨機不連續(xù)面網絡模擬技術對巖體結構統(tǒng)計均質區(qū)內的不連續(xù)面進行計算機模擬，力求能更準確地反映巖體結構，并應用分形理論計算三維節(jié)理巖體的分形維數(shù)。巖體不連續(xù)面的分布存在尺寸效應[11]，巖石試樣尺寸越大，不連續(xù)面分布的分形維數(shù)越小，并且當巖樣尺寸增加到一定大小時，分維數(shù)趨于穩(wěn)定，本文將這一穩(wěn)定分形維稱之為表征分維數(shù)，利用表征分維數(shù)進行巖體質量評價，并基于表征分維數(shù)這一概念進行巖體等效抗剪強度指標的分析。

2 巖體質量三維分形研究

2.1 巖體隨機不連續(xù)面的網絡模型及分形計算

2.1.1 建立隨機不連續(xù)面的三維網絡模型

采用隨機不連續(xù)面三維網絡模擬技術[4]，對巖體結構進行三維網絡模擬，該方法的主要步驟是：通過窗口測量法準確獲得不連續(xù)面的產狀、位置、出露跡線坐標、間距等詳細信息；進行巖體結構統(tǒng)計均質區(qū)劃分，對不連續(xù)面的產狀、跡長、間距等進行校正，確定其數(shù)學特征及概率密度分布特征；進行網絡模型有效性對比檢驗；通過蒙特卡洛模擬巖體內不連續(xù)面的幾何參數(shù)，利用OpenGL 開放圖形庫進行巖體三維模型顯示。

文本對天津薊縣老虎頂?shù)V區(qū)1 號礦坑5 號節(jié)理測量窗口的巖體結構進行三維網絡模擬，模擬參數(shù)見表1，模型顯示結果見圖1。

2.1.2 計算巖體不連續(xù)面分布三維“表征分維數(shù)”

基于隨機不連續(xù)面三維網絡模擬技術建立巖體三維模型，雖然其不連續(xù)面具有統(tǒng)計自相似性，但是對于同一模型不同尺寸的巖石試樣，其分形維數(shù)是不同的。造成這種現(xiàn)象的原因見圖2，當巖樣尺寸增大時，巖樣所包含的不連續(xù)面數(shù)據(jù)顯然是不一樣的，不連續(xù)面數(shù)目也隨之增多[11]。

文獻[11，12]表明，尺寸增加到一定大小時，可作為巖體結構的代表性縮小體，即巖體結構表征單元體。此表征單元體，是從不連續(xù)面分布角度討論表征特性。此時的巖樣，能夠全面反映整個巖體結構特征。

表1 1 號礦坑5 號節(jié)理窗口三維網絡模擬參數(shù) Table 1 Parameters of 3D network numerical model of window No.5 in pit No.1

圖1 1 號礦坑5 號窗口巖體不連續(xù)面三維網絡模型（1 組） Fig.1 3D network model of window No.5 in pit No.1 rock masses discontinuities (one group)

圖2 不同尺寸的3 個巖石試樣 Fig.2 Three specimens with different sizes

本文對天津薊縣老虎頂?shù)V區(qū)1 號礦坑5 號節(jié)理測量窗口的巖體結構進行三維網絡模擬，設定一個研究基點，逐步增加巖石尺寸的長度，切取不同大小的巖石試樣。分別對所切取的巖石試樣，計算其不連續(xù)面分布的分形維數(shù)。

在三維網絡模型中，不連續(xù)面在其走向方向的長度和傾向方向的長度近似相等，將不連續(xù)面模擬成圓盤[4]，圓心坐標為(x0，y0，z0)，直徑為d，傾向為θ ，傾角為φ，不連續(xù)面的空間表達見式（2）、（3）。

式中：A1、B1、C1為不連續(xù)面所在平面的法向向量，A1= sin φcosθ ， B1= sin φ sin θ， C1= cosφ。

采用改變觀測尺度的方法計算巖體不連續(xù)面網絡的分維數(shù)。將所研究的巖體等分成邊長為r 的小立方體，計算被不連續(xù)面所切割的小立方體的個數(shù)N(r)。改變小立方體的邊長r，計算相應的N(r)，在雙對數(shù)坐標系中做出lnr-ln N(r)關系曲線，其斜率正好是-D，D 即為巖體不連續(xù)面網絡的分維數(shù)。

根據(jù)1 號礦坑5 號窗口節(jié)理實測資料，進行三維網絡模擬。設定一個研究基點，逐步增加巖石尺寸的長度，切取10 個不同大小的巖石試樣。把每個巖樣分別等分成邊長為50、25、20、12.5、10 cm的小立方體，每個巖樣分別計算其分維數(shù)，不同尺寸巖體的ln r-ln N(r)關系曲線，見圖3。

從計算結果可見，巖體試樣尺寸從1 m×1 m× 1 m 逐步增加到10 m×10 m×10 m 的過程中，巖體結構分形維數(shù)越來越小，并在巖體試樣尺寸為7 m× 7 m×7 m 時，分形維數(shù)基本趨于穩(wěn)定平緩，為Df= 2.64 可作為表征1 號礦坑5 號窗口巖體結構的分形指標。

圖3 分形維數(shù)與巖樣尺寸的關系 Fig.3 Relationship between fractal dimension and specimen size

巖體試樣尺寸從小到大的過程，巖樣所包含的不連續(xù)面組數(shù)從單一逐漸過渡到多組，只有足夠大的巖體試樣才能很好地體現(xiàn)不連續(xù)面空間分布及相互交切情況，才能更為全面和真實地反映巖體綜合質量和性質。同時，巖體結構的尺寸效應表明，并非所取巖樣尺寸越大越好，當巖樣尺寸達到一定尺度時，已包含足夠巖體信息，可以作為巖體結構的一個代表性縮小體。本文把巖樣尺寸達到一定大小的巖體不連續(xù)面分形維數(shù)稱之為表征分維數(shù)。

計算巖體不連續(xù)面分布的表征分維數(shù)分為如下3 個步驟：

（1）采用隨機不連續(xù)面三維網絡模擬技術，對巖體不連續(xù)面進行三維網絡模擬；

（2）設定一個研究基點，采用邊長逐步增加的立方體，切取巖石樣品，巖石樣品尺寸大小參考巖體不連續(xù)面平均跡長，最小巖樣邊長不應大于巖體不連續(xù)面最小平均跡長；

（3）分別計算所切取不同尺寸的巖石樣品不連續(xù)面分布的分形維數(shù)，并繪制巖樣尺寸與分形維數(shù)的關系圖，曲線趨于平緩的分維數(shù)，即為所研究巖體的不連續(xù)面的表征分維數(shù)。

2.2 巖體不連續(xù)面分布分形維數(shù)與巖體質量的評價

2.2.1 巖體質量的分形評價

很多學者[8－11]，從分形的角度進行巖體質量評價，但其研究過程僅是從巖體出露表面分布的不連續(xù)面進行分形描述，從而造成所求得的不連續(xù)面分布的分形維數(shù)與巖體質量關系各不相同。原因在于其研究方法缺乏對不連續(xù)面空間信息地描述，不能很好地反映不連續(xù)面的復雜空間信息以及對巖體質量的影響程度。

本文基于不連續(xù)面三維表征分維數(shù)的計算，認為三維表征分維數(shù)更能包含巖體的尺寸效應，能夠全面反映整個巖體結構特征，相比傳統(tǒng)RQD 巖體分級法，更加準確地反映不連續(xù)面對巖體的影響，基于分形維數(shù)表征巖體質量信息，對巖體質量進行分級評價。需要指出的是，本文的分類方法仍很難做到全面反應巖體力學行為及地下水等對巖體質量的影響，仍然是進行巖體質量評價的一級分類指標。

本文通過隨機不連續(xù)面三維網絡技術對天津薊縣老虎頂?shù)V區(qū)11 個礦坑的29 個節(jié)理測量窗口進行巖體節(jié)理結構計算機模擬，對各個節(jié)理測量窗口，不同長度范圍的巖體分別進行表征分維數(shù)計算，并選擇Q 系統(tǒng)分類法[13]、文獻[14]中分類法和修正后的RMR 分類法進行巖體質量評價。計算結果見表2。

從表2 的計算結果可以看出，巖體不連續(xù)面分布的三維表征分維數(shù)介于2～3 之間，在歐幾里德幾何空間中，面的維數(shù)為2，體的維數(shù)為3。計算結果表明巖體不連續(xù)面網絡結構的分形維數(shù)大于面的分維，小于體的分維。

研究表明，巖體不連續(xù)面分布的分維數(shù)是綜合了巖體強度、形成環(huán)境和工程地質特征的函數(shù)[3]。巖體不連續(xù)面分布的分維數(shù)，不僅反映了巖體的破碎程度，且與巖體的擾動程度、巖體強度、巖石蝕變、巖體導水性等密切相關。

表2 巖體質量分類及表征分維數(shù) Table 2 Classification of rock masses quality and representative fractal dimension

巖體不連續(xù)面分布的三維表征分維數(shù)反映了巖體的工程地質特性，也反映出巖體質量的好壞，從而表明巖體不連續(xù)面分布的表征分維數(shù)可以作為衡量巖體質量的分類指標。

結合本文計算結果以及相關研究成果[8－11]，完整巖體的分維數(shù)值為2，理想狀態(tài)下完全破碎的巖體分維數(shù)值為3。巖體不連續(xù)面分布的分維數(shù)越大，巖體越破碎，對應的巖體質量越差。研究[11]表明，巖體質量的好壞與分維數(shù)之間并不是均勻的線性關系，而是一種近似的指數(shù)關系，這也與實際巖體結構性質是相符合的。圖4 繪制出了巖體不連續(xù)面分布的表征分維數(shù)與巖體質量分級的關系圖，圖中，不同類型的離散點代表與實際分類相對應所計算的巖體表征分維數(shù)，從圖中可以看出，分形維與巖體質量呈明顯的非線性關系。

圖4 巖體表征分維數(shù)質量分級圖 Fig.4 Rock masses quality based on representative fractal dimension

本文初步建立巖體不連續(xù)面分布的表征分維數(shù)巖體質量評價標準，結果如表3 所示。這里需要指出的是，基于不連續(xù)面的表征分維數(shù)仍然是進行巖體質量評價的一級分類指標。

表3 不連續(xù)面分布的表征分維數(shù)巖體質量評價 Table 3 Evaluation of rock masses quality based on representative fractal dimension

巖體質量是復雜巖體工程特性的綜合反映，影響因素繁多，曹文貴等[15]建立巖體質量分類的模糊評判方法，文中指出，巖體結構特性是影響巖體質量的重要因素，同時表征巖體的強度性質、地下水、工程因素以及賦存條件等，都是巖體質量評價的因素。已有研究表明，巖體分數(shù)維可以表征其強度特征、形成環(huán)境，因此，本文計算分數(shù)維值已考慮了巖石性質的影響。巖體不連續(xù)面的分維數(shù)可以表征巖體地導水性，在一定程度上可以反應地下水對巖體質量的影響。而地下水對巖石強度的弱化效應、巖體賦存條件、工程因素等，可以在本文研究的基礎上，引進模糊評判、灰色聚類、可拓學、支持向量機等非線性方法，綜合對巖體質量進行進一步的評判研究，這也是本文今后的研究方向。

2.2.2 三維分維數(shù)的巖體質量分類評價

本文提出基于巖體不連續(xù)面分布的三維表征分形維進行巖體質量評價，也是一種單指標分類方法。與傳統(tǒng)RQD 分類法相比，本文方法可以更加全面綜合地反映巖體不連續(xù)面特性，使用不連續(xù)面分布三維分維數(shù)可以消除傳統(tǒng)RQD 分類法的方向各異性，本文使用表征分維數(shù)考慮了巖體的尺寸效應，避免了傳統(tǒng)RQD 方法的閾值單一性。

很多學者基于巖體不連續(xù)面分布二維分維數(shù)對巖體質量進行分級研究，但大部分是根據(jù)不連續(xù)面間距分布函數(shù)的角度出發(fā)，計算求得分維數(shù)與RQD的關系，以此為基礎建立巖體分級標準。這種做法實際上并沒有消除不連續(xù)面分布的方向性；還有一部分學者[9]，建立隨機不連續(xù)面網絡模型，從二維不連續(xù)面分布的研究巖體質量分類，但這一種方法的缺點是不能很好地反映不連續(xù)面的空間分布形式和展布情況，從而造成巖體分類的不確定性結果。

本文以老虎頂?shù)V區(qū)1號礦坑5號節(jié)理測量窗口，建立隨機不連續(xù)面三維網絡模型。在建立的三維網絡模型中切取平面，計算不連續(xù)面分布二維分形維數(shù)，分如下3 種切割方式：

（1）沿著平行于窗口走向（垂直于X 軸）的方向切取平面，如圖5(a)所示；

（2）垂直于窗口邊壁（垂直于Y 軸）的方向切取平面，如圖5(b)所示；

（3）平行于高程（垂直于Z 軸）的方向切取平面，如圖5(c)所示；

對所切取的各個平面，進行不連續(xù)面分布的二維分維數(shù)計算，計算結果如見圖6 所示。

從圖6 可以看出，切割平面沿著各個坐標軸方向布置，隨著切割深度的增大，分形維數(shù)逐漸增大，且到一定程度分形維數(shù)趨于平緩。從圖中發(fā)現(xiàn)，切割深度在0～2 m 范圍以內時，二維分維數(shù)變化較大，這是因為巖體不連續(xù)面是空間展布的幾何形態(tài)，如果只從出露巖體表面的不連續(xù)面進行研究，不能很好地描述其實際形態(tài)。同時，從圖中可以看出，3種方式布設切割平面，所得到的穩(wěn)定分維數(shù)值也不盡相同。

圖5 切割平面布置圖 Fig.5 Different cutting plane locations

圖6 不同位置切割平面二維分形維數(shù) Fig.6 2D fractal dimension of different cutting planes

從圖6 不難證明，僅僅從巖體表面進行不連續(xù)面二維分形研究，其所得的分維數(shù)值大小不一，以此數(shù)值為依據(jù)進行巖體質量分級也會造成誤差。

2.2.3 三維分維數(shù)的巖體質量分類方法驗證

從表2 可以看出，3 種傳統(tǒng)方法的巖體分類與巖體不連續(xù)面分布的表征分維數(shù)之間存在較好的對應關系，只有個別對應稍有偏差。從工程應用角度分析，本文提出的方法，基本可以反映天津薊縣老虎頂?shù)V區(qū)礦坑的巖體質量，其評價預測結果準確可靠，方法更加高效且成本較低。

為了進一步驗證本文方法的合理性，將本文提出的方法應用于浙江省一條隧道巖體質量評價，該隧道位于中低山丘陵地區(qū)，工程區(qū)揭露的巖層主要為下白堊統(tǒng)館頭組凝灰?guī)r和上侏羅統(tǒng)西山頭組凝灰?guī)r。隧道工程區(qū)內北東、北東東向斷裂構造較發(fā)育，斷裂影響范圍內巖體節(jié)理發(fā)育，遠離斷裂區(qū)域，巖體完整，強度較高。

表4 圍巖巖體質量分類及表征分維數(shù)巖體分類 Table 4 Classification of tunnel rock masses quality and classification of “representative fractal dimension”

根據(jù)規(guī)范[16]、Q 系統(tǒng)分類法對隧道出露圍巖進行巖體質量分類，并采用本文提出的分類方法進行巖體質量評價，二者計算的對比結果如表4 所示。

從表可以看出，基于巖體不連續(xù)面分布表征分維數(shù)的隧道圍巖質量評價與傳統(tǒng)方法的分類結果達到較好的一致性。表4 中，只有2 個洞段的分形分類結果與公路規(guī)范結果稍有差別，但與Q 分類法結果相一致。表4 的計算結果也表明，在工程實際應用中，可以利用表征分維數(shù)巖體分類方法對工程進行指導，同時結合數(shù)碼近景攝影技術[17]，可更加方便快捷地進行巖體質量評價。

3 巖體等效抗剪強度指標分形分析

在巖體發(fā)育過程中，由于受到多種因素的影響，如巖性、不連續(xù)面、地下水、溫度等，導致在實際工程中很難獲得巖體強度。在實際確定巖體強度參數(shù)的過程中，這些因素都是相當復雜的，這里討論不連續(xù)面分布對巖體強度的影響。

早在18 世紀Rankine 就提出最大正應力理論，在一百多年的發(fā)展中，國內外眾多學者基于數(shù)學、力學基礎提出了很多強度準則，同時建立了具有實用價值的經驗強度準則，尤其是Hoek-Brown[18]強度準則。在建立強度準則的過程中，確定巖體強度參數(shù)成為一個至關重要的問題。由于巖體中隨機分布許多不連連續(xù)面，使得巖體強度參數(shù)小于完整巖石的強度參數(shù)。

傳統(tǒng)方法獲取節(jié)理裂隙巖體等效強度參數(shù)基本都是在巖石單軸抗壓強度的基礎上，結合現(xiàn)場節(jié)理描述，以聲波測試、巖體體積以及各巖石分類系統(tǒng)進行折減。規(guī)范[14]第4.5.5 條以及該條文的說明，巖體等效內摩擦角可由巖塊內摩擦角標準值按裂隙發(fā)育程度乘以折減系數(shù)確定。規(guī)范從巖體節(jié)理化折減進行巖體等效內摩擦角的確定。

張志剛等[19]、林達明[20]等，在大量收集國內外節(jié)理巖體強度參數(shù)經驗確定方法的基礎上，對完整巖石進行尺寸效應和節(jié)理化的二次折減，提出節(jié)理巖體強度參數(shù)經驗確定方法。表5 中給出基于巖體分類系統(tǒng)方法估算節(jié)理巖體強度特性所采用的參數(shù)。從表可以看出，節(jié)理巖體的強度特性與不連續(xù)面發(fā)育狀況有著密切的聯(lián)系。

不連續(xù)面分布的分形維數(shù)是一個反映巖體特征的綜合指標[21]，巖體不連續(xù)面的三維表征分維數(shù)是能綜合全面反映巖體不連續(xù)面空間分布特征的定量指標。

同時，節(jié)理裂隙化巖體等效力學參數(shù)還與巖體的尺寸效應有關[22]，已有研究[12，22]表明，不連續(xù)面的分維數(shù)可以表征巖體REV，即采用不連續(xù)面分布的表征分維數(shù)確定巖體等效力學參數(shù)更能反映不連續(xù)面發(fā)育對巖體力學參數(shù)的影響。

由Hook-Brown 準則知，在RMR 系統(tǒng)中，巖體抗壓和巖體抗拉強度可用下式表示：

可以推導出巖體的等效內摩擦角為

式中：cσ 為巖塊單軸抗壓強度；mtσ 為巖體抗壓強度；mcσ 為巖體抗拉強度；mφ 為巖體等效內摩擦角；m、s 為與巖體特性有關的材料常數(shù)。

表6 表征分維數(shù)與巖體等效內摩擦角 Table 6 Rock masses equivalent friction angles based on representative fractal dimension

基于表征分維數(shù)的巖體質量分類，建立表征分維數(shù)與等效內摩擦角的對應關系，見表6。

4 結 論

（1）巖體中不連續(xù)面的分布具有很好的分形特征，可以用分形理論研究巖體的結構特征。

（2）巖體不連續(xù)面分布的三維分形維也存在尺寸效應，隨著巖石試樣尺寸的增大而減小，當巖樣增大到一定程度時，三維分形維趨于平緩穩(wěn)定。

（3）巖體不連續(xù)面分布的三維表征分維數(shù)可以反映巖體質量的好壞，比巖體質量RQD 指標具有更豐富的內涵?；诒碚鞣志S數(shù)大小，可以更客觀全面地判斷巖體質量。

（4）巖體不連續(xù)面分布的三維表征分維數(shù)全面反映不連續(xù)面的空間特征及對巖體力學參數(shù)的影響，可以進行巖體等效內摩擦角折減計算。

需要指出的是，本文基于巖體不連續(xù)面分布的三維表征分維數(shù)建立的巖體質量評價方法，雖然可以較好地反映巖體發(fā)育特征，但此方法仍然是一級分類方法，存在一定的不足，需要逐步克服。

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