巖石非線性黏彈性蠕變特性的時(shí)溫等效效應(yīng)

朱元廣，劉泉聲，張程遠(yuǎn)，時(shí) 凱

（中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071）

1 引 言

巖石流變力學(xué)研究的目的是，在全面反映巖體流變本構(gòu)屬性的基礎(chǔ)上，通過試驗(yàn)分析和數(shù)值解析計(jì)算，求得巖體內(nèi)隨時(shí)間增長發(fā)展的應(yīng)力、應(yīng)變及其作用時(shí)間歷程，為流變巖體的穩(wěn)定性做出符合工程實(shí)際的正確評價(jià)[1]。一般的，可通過短時(shí)間尺度內(nèi)獲得的流變測試數(shù)據(jù)及其數(shù)學(xué)模型來預(yù)測巖體工程的長期穩(wěn)定性，在此過程中，獲得準(zhǔn)確的流變測試數(shù)據(jù)是所有研究工作的基礎(chǔ)。然而，在試驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)巖石的流變力學(xué)特性顯現(xiàn)與試驗(yàn)的時(shí)間尺度密切相關(guān)[2－4]，即巖石在短時(shí)間內(nèi)獲得的測試數(shù)據(jù)并不一定能夠完全反映其在長時(shí)間尺度下的流變力學(xué)特性。為此，劉泉聲等[5－8]基于聚合物材料研究中的時(shí)溫疊加思想[9－12]，提出利用時(shí)溫等效效應(yīng)來研究巖石在長時(shí)間尺度下的流變力學(xué)特性。這種等效效應(yīng)在力學(xué)上表現(xiàn)為：巖石在低溫、長時(shí)間尺度條件下的流變力學(xué)特性與其在高溫、短時(shí)間尺度條件下的流變力學(xué)特性等效；在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為：溫度的上升等于時(shí)間對數(shù)的平移。因而，采用在試驗(yàn)過程中提高巖石樣品溫度的方法，可以獲得巖石在相對較低溫度下長期的流變測試數(shù)據(jù)。

然而，從材料科學(xué)研究的角度來看，巖石屬于典型的非線性材料，也就是說并不能僅通過某一荷載下的流變力學(xué)特性去外推其他任意荷載下的流變力學(xué)特性。對于巖體工程而言，如果應(yīng)力或應(yīng)變足夠小，巖石的力學(xué)行為可以通過成熟的黏彈性理論來描述。然而，這個(gè)線性范圍相對于巖石屈服或斷裂之前可獲得的整個(gè)范圍是很小的。如果考慮到巖體工程的長時(shí)間尺度的穩(wěn)定性分析，在應(yīng)力或是應(yīng)變分析中就必須要考慮到巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性特性，因此，討論巖石在非線性條件下流變特性的時(shí)溫等效效應(yīng)顯得尤為重要。

巖石非線性流變力學(xué)特性的理論研究有很多種不同的方法，大致可以分為半經(jīng)驗(yàn)方法、分子理論的處理方法、嚴(yán)格的演繹方法[13]。其中，分子理論的處理方法和嚴(yán)格演繹的方法由于在數(shù)學(xué)和試驗(yàn)上的巨大復(fù)雜性，在巖石的流變力學(xué)特性研究中采用的相對較少，而半經(jīng)驗(yàn)方法是試驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式和某種理論分析的結(jié)合基礎(chǔ)上建立的表達(dá)巖石非線性性質(zhì)的公式，兼顧了理論的嚴(yán)謹(jǐn)性和經(jīng)驗(yàn)的簡化性，得到了廣泛的使用。

本文將基于Schapery單積分型的非線性本構(gòu)方程，推導(dǎo)巖石非線性黏彈性下時(shí)溫等效效應(yīng)的數(shù)學(xué)表示。通過對不同應(yīng)力及溫度下花崗巖的蠕變試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，研究花崗巖非線性黏彈性的時(shí)溫等效效應(yīng)。

2 單軸荷載下的本構(gòu)方程

作為參照，首先闡述在單軸荷載作用下巖石線黏彈性本構(gòu)方程的一般形式。

2.1 線性方程[13]

在 0t= 時(shí)刻作用一個(gè)常應(yīng)力，應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系可以通過時(shí)間的函數(shù)來表示，即

式中： ( )J t 稱為蠕變?nèi)崃浚话汶S著時(shí)間的增長而增加。在試驗(yàn)測試中一般寫成下面等效的形式：

式中： J0為初始蠕變?nèi)崃浚?ΔJ (t ) = J (t )- J0表示蠕變?nèi)崃哭D(zhuǎn)變的部分。

類似地，在常應(yīng)變條件下松弛測試的松弛模量可以表示為

或?qū)懗傻刃问剑?/p>

式中： E ( t )為松弛模量，一般隨著時(shí)間的增長而減??；E∞為松弛模量的最終值或平衡值； ΔE (t )= E ( t )- E∞，為松弛模量的轉(zhuǎn)變部分。

當(dāng)已知 ( )J t 時(shí)，可以根據(jù)Boltzmann 疊加原理計(jì)算在任意應(yīng)力條件下的應(yīng)變響應(yīng)：

通過將 0 ( )Hσ σ τ= 帶入蠕變方程式（5）可以得到式（2）的表示形式，其中，0σ 為常數(shù)， ( )H τ為階躍函數(shù)，有下面的數(shù)學(xué)形式：

類似地，可以根據(jù)松弛數(shù)據(jù)計(jì)算任意應(yīng)變下的應(yīng)力響應(yīng)：

在線性范圍內(nèi)，巖石的黏彈性力學(xué)行為可以通過式（5）、（7）中的任意一個(gè)來表示，因?yàn)槭剑?）、（7）是可以相互轉(zhuǎn)化的。通過試驗(yàn)測試和式（1）、（3），可以很容易地得到巖石的黏彈性函數(shù)。因而惟一的決定因素就是哪種試驗(yàn)方法是容易可行的。下面會看到，由于非線性材料包含了額外的力學(xué)性質(zhì)，上述結(jié)論對非線性材料并不是絕對的正確。

2.2 非線性方程

在巖石非線性流變力學(xué)特性本構(gòu)關(guān)系的研究中，單積分型由于其形式簡單、便于試驗(yàn)研究和較易求出特性函數(shù)、有利于解決實(shí)際問題等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。即便如此，單積分型本構(gòu)表示的名目也有很多，如BKZ 理論、有限線黏彈性理論、修正疊加法、Schapery 本構(gòu)關(guān)系等等。本文的研究將基于Schapery[14]的非線性黏彈性的本構(gòu)方程的表示形式。

Schapery[14]基于不可逆熱力學(xué)，在假設(shè)了一種簡單形式的Gibbs 自由能及熵升率公式后，導(dǎo)出了下面的本構(gòu)方程：

式中：0J 和 JΔ 為前面定義的線黏彈性蠕變?nèi)崃康膬蓚€(gè)組成部分；ψ 和ψ′為減縮時(shí)間變量，由下式定義：

g0、 g1、 g2、aσ均為應(yīng)力的函數(shù)，表示材料應(yīng)力-應(yīng)變之間的非線性特性。比較式（5）、（8）可以看出，當(dāng)應(yīng)力足夠小(σ → 0)使得材料處于線性范圍內(nèi)時(shí)，有 g0= g1= g2= aσ= 1。而且，這些應(yīng)力相關(guān)特性有著特殊的熱力學(xué)意義， g0、 g1、 g2與外加應(yīng)力的關(guān)系取決于Gibbs 自由能函數(shù)中三階以上項(xiàng)，aσ則受到熵和自由能中高階項(xiàng)的影響，同時(shí)還受溫度的影響。

按照相同的思路，可以寫出下面的非線性松弛型本構(gòu)方程：

式中：ρ 和ρ′為減縮時(shí)間變量，由下式定義：

aε、h∞、1h 、2h 與應(yīng)變的關(guān)系取決于Helmhotze自由能函數(shù)中三階以上項(xiàng)，aε還受到熵以及自由能中高階項(xiàng)的影響，同時(shí)還受溫度的影響。

將常應(yīng)力0( )Hσ σ τ= 帶入到蠕變型本構(gòu)方程式（8），并利用式（9），可以得到蠕變?nèi)崃縅 的表示形式：

同樣，將 0 ( )Hε ε τ= 帶入到松弛型本構(gòu)方程式（10），并利用式（11），可以得到松弛模量E 的表示形式：

很顯然，式（12）和（13）之間一般是不能夠相互轉(zhuǎn)化的，因?yàn)橐肓朔蔷€性的材料特性。因而，在非線性范圍內(nèi)，巖石的黏彈性函數(shù)需要單獨(dú)的測試獲得。

滿足式（12）巖石的非線性測試數(shù)據(jù)已有很 多[15－16]。如果 g0= g1= aσ= 1，那么式（12）簡化為修正Boltzmann 疊加原理的表示形式。在2.2 節(jié)中筆者曾提到0J 和 JΔ 是前面定義的線黏彈性的蠕變?nèi)崃康膬蓚€(gè)組成部分。因而，從數(shù)學(xué)的角度來看，Schapery 的非線性表示方法只是在線黏彈性本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上引入了表示應(yīng)力-應(yīng)變非線性關(guān)系的非線性系數(shù)。

3 非線性黏彈性的時(shí)溫等效

基于上述的非線性理論，討論非線性條件下巖石黏彈性特性時(shí)溫等效效應(yīng)的數(shù)學(xué)表示?？紤]到非線性條件下巖石蠕變和松弛特性函數(shù)的數(shù)學(xué)表示在形式上是類似的，本文只選取目前研究最為廣泛的蠕變特性作為討論的對象。

在線黏彈性時(shí)溫等效理論的研究中[7]，對于具有時(shí)溫等效效應(yīng)的巖石，有下面的關(guān)系成立：

式中： Tref、T 分別為參考溫度和其他的任意溫度，一般認(rèn)為， Tref＞ T； bT為垂直移位因子，是溫度的函數(shù)，表示溫度改變對瞬時(shí)（初始）蠕變?nèi)崃康挠绊懀?aT為水平移位因子，也是溫度的函數(shù)，表示溫度變化與時(shí)間尺度延伸之間的等效關(guān)系，并且有aT＞ 1。式（14）的成立意味著巖石在參考溫度 Tref下t 時(shí)刻的蠕變力學(xué)特性可以通過相對較高溫度T下 t /aT的蠕變力學(xué)特性來表征。因此，通過短時(shí)間的高溫測試能夠獲得較低溫度的長時(shí)間的流變力學(xué)特性。

根據(jù)式（2）、（14），將線性條件下的蠕變?nèi)崃繉懗沙跏既渥兒娃D(zhuǎn)變?nèi)渥儍刹糠郑?/p>

然后，將非線性條件下的蠕變?nèi)崃勘硎緦懗蓞⒖紲囟认碌男问?，即將式?2）寫成：

結(jié)合式（15）、（16），可以得到非線性條件下巖石時(shí)溫等效效應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

比較式（14）、（17），發(fā)現(xiàn)時(shí)溫等效關(guān)系在線性和非線性條件下是一致的，惟一的差別在于垂直移位修正時(shí)需要考慮非線性系數(shù)的影響。從式（17）可以看出，非線性黏彈性時(shí)溫等效的數(shù)學(xué)表示需要確定的參數(shù)有：非線性參數(shù)0g 、1g 、2g 、aσ；表示時(shí)溫等效效應(yīng)的參數(shù)水平移位因子Ta 和垂直移位因子Tb 。

在下面的試驗(yàn)研究中，將首先考慮在某一應(yīng)力下巖石的時(shí)溫等效效應(yīng)，得到不同應(yīng)力下的水平移位因子Ta 和垂直移位因子Tb 。然后通過分析不同應(yīng)力下的Ta 和Tb ，可以得到0g 和aσ隨應(yīng)力的變化規(guī)律。

4 試驗(yàn)研究

花崗巖作為高放廢物處置庫的候選圍巖，其流變力學(xué)特性的長期演化規(guī)律是預(yù)測處置庫圍巖安全性的關(guān)鍵科學(xué)問題之一。為此，本文將利用文獻(xiàn)[17]的試驗(yàn)結(jié)果對花崗巖的非線性黏彈性的時(shí)溫等效效應(yīng)進(jìn)行研究。

4.1 試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)所用的花崗巖采自Flossenburg 附近的采石場?；◢弾r礦物的體積百分比為：石英為20%，微斜長石為30%，斜長石為35%，白云母為12%，黑云母為2%，其他為1%。試件采用巖芯鉆取法取自同一塊巖石，加工成直徑為3 cm、高為12 cm 的圓柱體，兩端用SiC 打磨拋光。采用60 t 的壓力機(jī)進(jìn)行單軸蠕變試驗(yàn)研究，加載應(yīng)力分別為40、64、 80 MPa，測試不同溫度（20 ℃、100 ℃、150 ℃、200 ℃、400 ℃）下花崗巖的應(yīng)變隨時(shí)間的變化關(guān)系，測試結(jié)果如圖1 所示。

從圖可以看出，隨著溫度的上升，花崗巖的蠕變過程顯著地加快。這也是巖石時(shí)溫等效效應(yīng)研究基于的最基本的試驗(yàn)現(xiàn)象。

4.2 垂直移位因子、水平移位因子及主曲線

下面，參考線黏彈性時(shí)溫等效理論中提出的方法[8]對不同溫度及應(yīng)力下的蠕變曲線進(jìn)行時(shí)溫等效效應(yīng)研究。

我們選定20 ℃為參考溫度。通過分析不同溫度下的瞬時(shí)彈性模量來確定Tb 。

式中： Eref、E 分別為參考溫度及任意溫度下才瞬時(shí)彈性模量。得到不同應(yīng)力及溫度下垂直移位因子bT的值如表1 所示。將圖1 中的蠕變曲線按照表1中的移位數(shù)值 bT進(jìn)行垂直移位，得到修正的蠕變曲線，并將修正后的曲線表示為對數(shù)蠕變?nèi)崃颗c對數(shù)時(shí)間的形式（見圖2）。

圖1 花崗巖在不同溫度下的蠕變曲線 Fig.1 Creep curves of granite at different temperatures

表1 不同溫度及應(yīng)力下bT 的移位值 Table 1 Shift values of bT at different temperatures and stresses

然后，對修正后的蠕變?nèi)崃繒r(shí)間對數(shù)曲線沿著對數(shù)時(shí)間軸進(jìn)行水平移位。保持參考溫度下的曲線位置不變，較高的溫度向右水平移動，使得較高溫度的曲線能夠與參考曲線之間相交于一點(diǎn)，并盡可能地使它們的變化趨勢保持連續(xù)。按照這樣的步驟將非參考溫度下曲線進(jìn)行平移得到的結(jié)果如圖3 所示。由此得到不同應(yīng)力及溫度下的水平移位因子Ta的值如表2 所示。

表2 不同溫度及應(yīng)力下aT 的移位值 Table 2 Shift values of aT at different temperatures and stresses

由圖3 中不同應(yīng)力下蠕變?nèi)崃康闹髑€發(fā)現(xiàn)：在允許的誤差范圍內(nèi)，相鄰溫度蠕變?nèi)崃壳€之間的一致性較好，因此，可以認(rèn)為花崗巖的時(shí)溫等效效應(yīng)是存在的。

通過上述的垂直移位修正和水平移位查看，得到了花崗巖蠕變?nèi)崃吭趨⒖紲囟葹?0 ℃條件下的主曲線。其時(shí)間尺度由蠕變測試的3.6×103s 分別延伸到106.18s（σ =40 MPa）、106.18s (σ =64 MPa)、104.78s(σ =87 MPa)。利用同樣的方法，得到了參考溫度為100 ℃條件下花崗巖蠕變?nèi)崃康闹髑€（見圖4），主曲線的時(shí)間尺度分別延伸至105.48s（σ= 40 MPa）、10.518s (σ =64 MPa)、104.53s(σ =87 MPa)。

4.3 移位因子的非線性特性

根據(jù)上一節(jié)的研究，得到了不同應(yīng)力下的垂直、水平移位因子及主曲線。下面分析非線性系數(shù)0g 和aσ的變化特征，由于試驗(yàn)的應(yīng)力數(shù)據(jù)較少，這里不對具體的表示式中定量的分析研究。

根據(jù)表1，得到垂直移位因子隨應(yīng)力變化情況如圖5 所示?？梢钥闯?，隨著應(yīng)力的上升，垂直移位因子總體上處于增加趨勢，因而0g 的函數(shù)表示為應(yīng)力的增函數(shù)形式。

根據(jù)表2 得到水平移位因子隨應(yīng)力變化情況如圖6 所示。可以看出，在應(yīng)力為40、64 MPa 時(shí)，其非線性特性并不明顯，但隨著應(yīng)力上升到87 MPa，水平移位因子有了顯著的改變。因而，aσ在較低應(yīng)力時(shí)可以認(rèn)為 1aσ= ，當(dāng)應(yīng)力增大到一定程度，其非線性特性明顯，可表示為應(yīng)力的減函數(shù)形式。

圖5 垂直移位因子bT 隨應(yīng)力的變化 Fig.5 Variation of vertical shift factor bT with stress

圖6 水平移位因子aT 隨應(yīng)力的變化 Fig.6 Variation of horizontal shift factor aT with stress

5 結(jié) 論

論文基于單積分型Schapery 非線性本構(gòu)方程，推導(dǎo)了非線性黏彈性條件下巖石時(shí)溫等效效應(yīng)的數(shù)學(xué)表示，并結(jié)合國際上公開發(fā)表的不同應(yīng)力及溫度下花崗巖的蠕變測試結(jié)果，探討了非線性下花崗巖的時(shí)溫等效效應(yīng)，得到如下結(jié)論：

（1）非線性黏彈性時(shí)溫等效效應(yīng)的數(shù)學(xué)表示可以寫成與線黏彈性時(shí)溫等效效應(yīng)的數(shù)學(xué)表示相類似的形式。

（2）查看不同參考溫度下的主曲線發(fā)現(xiàn)：相鄰移位曲線之間的連續(xù)性及一致性良好，進(jìn)一步驗(yàn)證了花崗巖的時(shí)溫等效效應(yīng)。通過時(shí)溫等效效應(yīng)得到的參考溫度下主曲線的時(shí)間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了室內(nèi)試驗(yàn)得到的某一應(yīng)力及溫度下試驗(yàn)曲線的時(shí)間尺度。

（3）垂直移位因子和水平移位因子具有明顯的非線性特性，總的來說，垂直移位因子隨應(yīng)力的增加而增加，水平移位因子隨著應(yīng)力的增加而減小。

[1] 孫鈞. 巖石流變力學(xué)及其工程應(yīng)用研究的若干進(jìn)展[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2007， 26(6)： 1081－1106. SUN Jun. Rock rheological mechanics and its advance in engineering applications[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2007， 26(6)： 1081－1106.

[2] 劉泉聲， 許錫昌， 山口勉， 等. 三峽花崗巖與溫度及時(shí)間相關(guān)的力學(xué)性質(zhì)試驗(yàn)研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2001， 20(5)： 715－719. LIU Quan-sheng， XU Xi-chang， YAMAGUCHI TSUTOMO， et al. Testing study of mechanical properties of the Three Gorges granite concerning temperature and time[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2001， 20(5)： 715－719.

[3] 張寧， 趙陽升， 萬志軍， 等. 高溫三維應(yīng)力下花崗巖三維蠕變的模型研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2009， 28(5)： 875－881. ZHANG Ning， ZHAO Yang-sheng， WAN Zhi-jun， et al. Model study of three-dimensional granite creep properties under high temperature[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2009， 28(5)： 875－881.

[4] PATERSON M S. Rock deformation experimentation[J]. The Brittle-Ductile Transition in Rocks， 1990， 56： 187－194.

[5] 劉泉聲， 王崇革. 巖石時(shí)-溫等效原理的理論與實(shí)驗(yàn)研究——第一部分：巖石時(shí)-溫等效原理的熱力學(xué)基礎(chǔ)[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2002， 21(2)： 193－198. LIU Quan-sheng， WANG Chong-ge. Theoretical and experimental study of time-temperature equivalence principal for rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2002， 21(2)： 193－198.

[6] 劉泉聲， 許錫昌， 山口勉，等. 巖石時(shí)-溫等效原理的理論與實(shí)驗(yàn)研究——第二部分：巖石時(shí)-溫等效原理主曲線與移位因子[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2002， 21(3)： 320－325. LIU Quan-sheng， XU Xi-chang， YAMAGUCHI TSUTOMO， et al. Theoretical and experimental study on time-temperature equivalence principal for rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2001， 22(3)： 320－325.

[7] LIU Quan-sheng， ZHU Yuan-guang. Research for time-temperature equivalence effect of rock (I)： Theory research[J]. Rock and Soil Mechanics， 2011， 32(3)： 641－646.

[8] ZHU Yuan-guang， LIU Quan-sheng. Research for time-temperature equivalence effect of rock (II)： Experimental research[J]. Rock and Soil Mechanics， 2011， 32(4)： 961－966.

[9] FERRY J D. Viscoelastic properties of polymers[M]. New York： Wiley， 1961.

[10] WILLIAMS M L， LANDEL R F， FERRY J D， et al. The temperature dependence of relaxation mechanisms in amorphous polymers and other glass-forming liquids[J]. Journal of the American Chemical Society， 1955， 77(14)： 3701－3707.

[11] LEADERMAN H. Elastic and creep properties of filamentous materials and other high polymers[M]. Washington， D.C： The Textile Foundation， 1943.

[12] TOBOLSKY A V， ANDREWS R D. Systems manifesting superposed elastic and viscous behavior[J]. Journal of Chemical Physics， 1945， 13(1)： 3－27.

[13] 周光泉， 劉孝敏. 粘彈性理論[M]. 合肥： 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 1996.

[14] SCHAPERY R A. On the characterization of nonlinear viscoelastic materials[J]. Polymer Engineering & Science， 1969， 9(4)： 295－310.

[15] 孫鈞. 巖土材料流變及其工程應(yīng)用[M]. 北京： 中國建筑工業(yè)出版社， 1999.

[16] 金豐年. 巖石的非線性流變[M]. 南京： 河海大學(xué)出版社， 1998.

[17] RUMMEL F. Studies of time-dependent of some granite and eclogite rock samples under uniaxial constant compressive stress and temperature up to 400 ℃[J]. Zeitschrift fur Geophysik， 1969， 35： 17－42.