條件的解讀

　　摘要：基于G·波利亞在《怎樣解題》中對(duì)“條件分析”有過論述，筆者結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，進(jìn)一步分析了條件解讀的三種邏輯形態(tài)，總結(jié)出幾個(gè)有效性原則和一些實(shí)用的方法，對(duì)解題教學(xué)有一定的理論價(jià)值.
　　關(guān)鍵詞：問題條件；條件解讀；數(shù)學(xué)問題；怎樣解題
　　
　　數(shù)學(xué)問題的解決往往需要對(duì)問題的條件進(jìn)行識(shí)讀、分析、加工，我們把這些工作稱為條件的解讀，G?波利亞在《怎樣解題》中對(duì)“條件分析”有過論述，筆者在此基礎(chǔ)上，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，對(duì)條件的解讀做進(jìn)一步的分析.
　　
　　條件解讀的三種邏輯形態(tài)
　　僅充分性解讀：原條件記為A，解讀出的條件記為B，當(dāng)A?圯B，AB時(shí)，稱該解讀為僅充分性解讀．
　　例1 若數(shù)列｛ａn｝為等差數(shù)列，a4=5，a8=7，求a6．
　　分析：數(shù)列｛ａn｝為等差數(shù)列，記為A；a4+a8=2a6，記為B. 可知a6=6，顯然此處作了僅充分性解讀．
　　不少習(xí)題，從問題的條件到問題的結(jié)果是一種充分的邏輯關(guān)系，所以往往我們只需對(duì)條件作充分性解讀就能得到結(jié)果．
　　僅必要性解讀：原條件記為A，解讀出的條件記為B，當(dāng)A?坩B時(shí)，稱該解讀為僅必要性解讀．
　　例2 已知奇函數(shù)f（x）在R上遞增，且a+b>0，b+c>0，c+a>0，則f（a）+f（b）+f（c）的值一定（）
　　A． 大于零?搖?搖?搖?搖B． 等于零
　　C． 小于零?搖?搖 D． 小于等于零
　　分析：f（x）在R上遞增，且為奇函數(shù)，記為原條件A；根據(jù)解題需要我們找到一個(gè)符合題意的函數(shù)f（x）=x，記為B. 此時(shí)f（a）+f（b）+f（c）=a+b+c=［（a+b）+（b+c）+（c+a）］>0，可以否定B、C、D，從而選A． A?坩B，AB，這里對(duì)A進(jìn)行了僅必要性解讀．從概念的外延與內(nèi)涵分析，A的外延大，B的外延小，不妨借用集合表示即B?奐A，現(xiàn)通過B已否定了某個(gè)結(jié)論，則要讓A再去滿足這個(gè)結(jié)論則更不可能，從而作出正確判斷．
　　這種解讀對(duì)解題的作用顯得有點(diǎn)投機(jī)取巧，平時(shí)多在選擇題中使用，在解答題中我們也可以通過這樣的解讀去“湊”答案.
　　充要性解讀：原條件記為A，解讀出的條件記為B，當(dāng)A?圳B時(shí)，稱該解讀為充要性解讀．
　　例3 若一元二次方程x2+ax+1=0有兩個(gè)相異的正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
　　分析：記“一元二次方程x2+ax+1=0有兩個(gè)相異的正根”為原條件A，設(shè)方程的兩根為x1，x2，記Δ>0，x1+x2>0x1?x2>0，為解讀出的條件B，顯然這里A?圳B，此為充要性解讀，易知答案為a<－2．
　　平時(shí)我們在求解參數(shù)范圍類問題時(shí)，得到的參數(shù)范圍應(yīng)該是“恰好”的，即該范圍內(nèi)的每一個(gè)值必須保證條件滿足，反之能使條件滿足的所有參數(shù)必須在得到的范圍內(nèi). 解方程、解不等式時(shí)也同樣要求解集是“恰好”的，所以我們在解決這些問題時(shí)都需要進(jìn)行充要性解讀．
　　
　　條件解讀的幾個(gè)有效性原則
　　對(duì)問題的條件解讀，我們需要關(guān)注解讀的有效性，不能“亂讀”，為此，我們應(yīng)遵循下列原則．
　　服務(wù)性原則：條件的解讀應(yīng)圍繞結(jié)論開展，為結(jié)論服務(wù)！
　　例4 已知α，β≠kπ+（k∈Z），且sinθ+cosθ=2sinα①，sinθ?cosθ=sin2β②.求證：=.
　　分析：對(duì)于①②，我們可以有許多形式的解讀，但觀察結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，等式只是一個(gè)關(guān)于α，β角的關(guān)系式，不涉及條件中的角θ，所以我們的第一個(gè)念頭是消去角θ，建立角α，β的關(guān)系式，為此對(duì)條件可以作這樣的解讀，①2－2×②．
　　聯(lián)系性原則：多條件情況下，一個(gè)條件的解讀應(yīng)關(guān)注與其他條件的聯(lián)系．
　　例5 已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，并且關(guān)于x=1對(duì)稱，求證：該函數(shù)為周期函數(shù)．
　　分析：該函數(shù)為周期函數(shù)是因?yàn)閮蓚€(gè)條件合力作用的緣故，奇函數(shù)有許多的性質(zhì)可以解讀，但考慮條件“關(guān)于x=1對(duì)稱”是一個(gè)幾何特征，為此，自然聯(lián)想到奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的幾何特征，利用這兩個(gè)對(duì)稱性，然后我們畫一張草圖，通過畫出能反映問題的足夠長的區(qū)間上的圖象，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)周期為4，再證明就顯得容易了．
　　簡約性原則：條件的解讀要做到越讀越簡約．
　　例6 求證：=.
　　分析：證明此題的難度在于給出的三個(gè)數(shù)晦澀難懂，不夠簡約，為此我們得解讀它.
　　方法1＝102n-1+102n-2+…+10+1==（102n－1）；
　　方法2＝?=?（102n－1）.
　　在解題中，對(duì)條件式子的化簡、變形一般要遵循簡約性原則．
　　形象性原則：條件的解讀要保證越讀越通俗，讓人越來越易理解，越來越形象化．
　　例7 已知在△ABC中，2=2?，試判斷△ABC的形狀.
　　
　　圖1
　　分析：解讀條件2=2?必須要結(jié)合具體的三角形圖形，得到c2=2bccosA，化簡得c=2bcosA，從圖形中可形象地發(fā)現(xiàn)c邊的高即中線，所以三角形為等腰三角形．
　　數(shù)形結(jié)合就是形象性原則的很好體現(xiàn)．
　　
　　條件解讀的幾種方法
　　定義（概念）解讀：
　　例8已知定點(diǎn)A（0，3），B（0，－1），C（3，3），動(dòng)橢圓G過點(diǎn)A，B，且以C為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求另一個(gè)焦點(diǎn)D的軌跡方程.
　　分析：試著畫一下圖形，發(fā)現(xiàn)這個(gè)橢圓是斜的，與平時(shí)接觸的橢圓不同，所以也就無法直接建立動(dòng)橢圓的方程，無法將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入方程，條件“動(dòng)橢圓G過點(diǎn)A，B”的解讀受阻. 因?yàn)轭}中條件涉及橢圓的焦點(diǎn)，所以聯(lián)想到橢圓定義“橢圓上的點(diǎn)滿足到兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)”，因此AC+AD=BC+BD. 又AC=3，BC=5，于是DA－DB=2. 再由雙曲線的定義知點(diǎn)D在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支上，所以軌跡方程為（y－1）2－=1（y<1）．
　　條件的定義解讀，是一種充要性解讀，它不多不少地解讀了定義，是一種最原始、最貼近條件的解讀，所以也是最直接、最可靠的.很多時(shí)候，我們要提醒自己：回到定義中去.
　　公式、定理、性質(zhì)解讀：
　　例9 已知等比數(shù)列｛ａn｝中，an>0，a1+a2=3，a3+a4=27，求S10．
　　分析：一般我們會(huì)將條件做公式解讀，a1+a2=a1+a1q=a1（1+q）=3，a3+a4=a1q2+a1q3=a1q2（1+q）=27，兩式相除得q2=9，所以q=3（q=－3舍去），a1=，再由求和公式得到答案.當(dāng)然我們也可以作整體性關(guān)注，通過對(duì)等比數(shù)列做性質(zhì)解讀，a1+a2，a3+a4，a5+a6，…，a9+a10成等比數(shù)列，則新的數(shù)列第一項(xiàng)為3，第二項(xiàng)為27，所以公比為9，則S10=.
　　對(duì)公式、性質(zhì)、定理的正確解讀，可以有效地提高解題的速度.
　　幾何意義解讀：
　　例10 在△ABC中，已知?=?=?，試判斷△ABC的形狀．
　　分析1 若對(duì)條件做定義性解讀，則可知－cacosB=－abcosC=－bccosA，化簡得ccosB=bcosC，acosC=ccosA，作幾何解釋，可知c邊在a邊上的射影與b邊在a邊上的射影相等，所以a的高線平分a邊，則b=c，同理a=c，所以三角形為正三角形．
　　分析2 ?搖對(duì)條件作簡單的變換，可知?（－）=?（+）=0，根據(jù)向量的加法規(guī)則，以AB，AC為鄰邊畫平行四邊形ABCD，可知（即+）垂直，所以BC邊的中線為高線，即三角形為等腰三角形，AB=AC，同理AB=BC.
　　幾何意義的解讀能使條件更形象化，圖象特征更清晰，解題方向更明確．
　　結(jié)構(gòu)解讀：
　　有時(shí)，條件就是一個(gè)式子，對(duì)式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析解讀，試著改變式子的結(jié)構(gòu)，可以引發(fā)解題新聯(lián)想，激發(fā)解題新思路．
　　
　　例11求函數(shù)y=（x>1）的最小值．
　　分析：所求的函數(shù)解析式是一個(gè)分式，分母沒法動(dòng)彈！按照簡約性原則，作整體處理，對(duì)分子作變換，即可獲解.
　　y===x－1+2+≥4.
　　例12 若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，試判斷函數(shù)的單調(diào)性．
　　分析：設(shè)x10，函數(shù)為遞增函數(shù)；也可從函數(shù)值的角度分析，條件式右邊為f（x），f（y）之和，不是f（x2），f（x1）之差這種形式，因此對(duì)條件式作變換f（x+y）－f（x）=f（y），發(fā)現(xiàn)右邊的自變量y是前面兩個(gè)變量x+y，x之差，由此f（x2）－f（x1）可直接寫成f（x2－x1）．
　　方程、不等式、函數(shù)式的化簡、變形，都是基于對(duì)條件式的結(jié)構(gòu)解讀的一種反應(yīng).
　　語言轉(zhuǎn)化解讀：
　　在解題過程中，經(jīng)常會(huì)將符號(hào)語言和自然語言相互轉(zhuǎn)化．
　　例13已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f（x+2）=－，又f（－1）=，求f［f（5）］．
　　分析：嚴(yán)格遵循條件f（x+2）=－的形式求解，將是一個(gè)相對(duì)繁雜且富有技巧的工作，要求很高. 現(xiàn)在我們嘗試將代數(shù)式f（x+2）=－轉(zhuǎn)換成自然語言，我們可以說“任何比自變量x大2的函數(shù)值f（x+2）是自變量x的函數(shù)值f（x）的負(fù)倒數(shù)”，作解讀“任何比自變量x大4的函數(shù)值f（x+4）是自變量x的函數(shù)值f（x）的負(fù)倒數(shù)的負(fù)倒數(shù)即本身，所以任意兩個(gè)差為4的自變量的函數(shù)值相等.” 到此，已經(jīng)揭示了該函數(shù)的周期性質(zhì)，對(duì)問題的解答是大大有利的．
　　數(shù)學(xué)問題中許多條件的闡述往往是經(jīng)過加工的，它很嚴(yán)密、很簡練，但往往很難讀，為此，在解讀時(shí)，可以試著按照事物本身產(chǎn)生的先后，添加一些使問題更易理解的詞，對(duì)條件語句作再加工．
　　例14 已知函數(shù)f（x）=，x∈［0，1］．
　?。?）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
　?。?）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x3－3a2x－2a，x∈［0，1］，若對(duì)于任意x1∈［0，1］，總存在x0∈［0，1］，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍．
　　分析：問題（2）中的條件很長，解讀起來比較費(fèi)勁，可以加一些詞使語句更通俗，若對(duì)于任意給定的一個(gè)x1∈［0，1］，總對(duì)應(yīng)著一個(gè)x0∈［0，1］，使g（x0）=f（x1），根據(jù)這些值產(chǎn)生的先后，我們試著改變一下敘述的順序，對(duì)于任意給定的一個(gè)x1∈［0，1］，得到f（x1）的值，然后解方程g（x）=f（x1），發(fā)現(xiàn)方程一定有解x0，x0∈［0，1］（即f（x1）是g（x）的函數(shù)值），于是我們知道任意的函數(shù)值f（x），x∈［0，1］，一定是函數(shù)y=g（x），x∈［0，1］的函數(shù)值，反之不一定，所以｛yy=f（x），x∈［0，1］｝?哿｛yy=g（x），x∈［0，1］｝，即在區(qū)間［0，1］上，函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）值域的子集，問題得到了很好的轉(zhuǎn)化．