愚人節(jié)問題不愚人

　　下面給出的這道趣味數(shù)學題是由加拿大艾伯塔大學的數(shù)學家里奧·莫賽爾專為愚人節(jié)所作.這樣的提示似乎很明顯，那就是大家不要被這則問題嚇倒，其中定然暗含玄機．
　　數(shù)學家設計的問題是：下面是一個28位數(shù)，中間有10個空缺的位置，如果請你在空位中填上數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且每個數(shù)字只能使用一次，那么得到的這些28位數(shù)是396的倍數(shù)的可能性是多少？
　　5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76
　　乍一看，這的確是個嚇人的問題.因為在10個空位上填上0～9，共有10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800種情況，也就是說，會得到三百多萬個不同的28位數(shù)，要驗證如此多的數(shù)能否被396整除，需要試驗篩選的次數(shù)是難以想象的.既然這龐大的28位數(shù)難以下手，那么不妨換個方向思考，研究已知條件中出現(xiàn)的另一個數(shù)字396.通常情況下，我們應該從分解396的因數(shù)入手，稍加試驗可得396＝4×9×11，這樣問題就得到了轉(zhuǎn)化：一個數(shù)要是396的倍數(shù)，必須同時是4的倍數(shù)、9的倍數(shù)和11的倍數(shù).有了這樣的判斷，探索的思路頓時開闊了許多．
　　根據(jù)“數(shù)的整除特征”，一個數(shù)是4的倍數(shù)，那么這個數(shù)的最后兩位組成的數(shù)是4的倍數(shù)；一個數(shù)是9的倍數(shù)，那么這個數(shù)的所有數(shù)字之和是9的倍數(shù)；一個數(shù)是11的倍數(shù)，那么這個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差是11的倍數(shù).這也就是說，396的倍數(shù)必須同時滿足：末兩位是4的倍數(shù)，所有的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差是11的倍數(shù).有了這個針對性的結(jié)論，就立刻有了探求的目標．
　　觀察第一步可知，5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76這個28位數(shù)的末兩位為76，是4的倍數(shù)，所以不管如何填空，可斷定它是4的倍數(shù)；第二步計算可知，28位數(shù)中已知的所有數(shù)位的數(shù)字之和是5+3+8+3+8+2+9+3+6+5+8+2+0+3+9+3+7+6kgW2mVKL5t7NvT69SVxs8gzyKfULeuYl3ly7V1bTQ/E=＝90，是9的倍數(shù)，而空位上的數(shù)字之和肯定是0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，也是9的倍數(shù)，那么可以斷定，無論空位上0～9的順序如何，所有的28位數(shù)都是9的倍數(shù)；第三步仍然是簡單的計算，5__383__8__2__936__5__8__203__9__3__76奇數(shù)位上的數(shù)字之和是5+3+3+8+2+9+6+5+8+2+
　　3+9+3+7＝73，偶數(shù)位上除了空位之外的數(shù)字之和是8+3+0+6=17，而所有的10個空位都出現(xiàn)在偶數(shù)位上，也就是說，這10個空位的數(shù)字之和45也應該加在17上，即偶數(shù)位上的數(shù)字之和是45+17=62，可以看出，73-62＝11，即奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差也是11的倍數(shù)．
　　至此，玄機顯露.原來不管空位上的0～9如何填寫，得到的所有28位數(shù)統(tǒng)統(tǒng)都是396的倍數(shù)，它們形式各異卻個性相同，細細品味，則有 “另辟蹊徑則曲徑通幽，峰回路轉(zhuǎn)則柳暗花明”的妙趣.由此看來，這種“不走尋常路”的策略，值得回味和反思!