單射、滿射和雙射下像和原像的關(guān)系

黃炫冠

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

單射、滿射和雙射下像和原像的關(guān)系

黃炫冠

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

分析并理清了映射、單射、滿射和雙射的聯(lián)系,給出了各種映射下像和原像的關(guān)系.

映射;單射;滿射;雙射;關(guān)系

1 基本概念[1]

映射設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合.X到Y(jié)的一個(gè)映射指的是一個(gè)對應(yīng)法則,通過這個(gè)法則,對于集合X中的每一元素x,有集合Y中一個(gè)唯一確定的元素y與它對應(yīng).我們就把這個(gè)法則記作f:x|→y,此時(shí)y稱為元素x(在映射f下)的像,元素x稱為元素y(在映射f下)的一個(gè)原像.

理解關(guān)于兩個(gè)集合X和Y的映射時(shí)注意:

(1)X和Y可以是相同的集合,也可以是不同的集合;

(2)對于X的每一個(gè)元素x,需要有Y中唯一確定的元素y與它對應(yīng),而這個(gè)y還可以(注意僅僅是“可以”,并非“一定”)對應(yīng)X中除x外的其他元素;

(3)一般來說,Y中元素不一定都是X中元素的像;

(4)X中不相同的元素的像可能相同.

單射設(shè)f:X→Y是一個(gè)映射.如果對于X中任意兩個(gè)元素x1和x2,只要x1≠x2,就有f(x1)≠f(x2),此時(shí)稱f為單映射,簡稱單射.

由逆否命題的等價(jià)性,單射還有如下定義:如果Y中兩個(gè)元素有f(x1)=f(x2),就有x1=x2,此時(shí)稱f為單映射.一句話概括單射就是“異元異像的映射”.

滿射設(shè)f:X→Y是一個(gè)映射.如果f(X)=Y,那么此時(shí)稱f為滿映射,簡稱滿射.一般映射只可以得出f(X)?Y,但滿射下有f(X)?Y成立,因而有f(X)=Y成立.

雙射既是滿射又是單射的映射稱為雙射,也叫一一映射.也就是說,f滿足:①f(X)=Y,②f(x1)=f(x2)?x1=x2.

如果映射f是集合X到Y(jié)的一個(gè)雙射,那么這兩個(gè)集合中的元素是一一對應(yīng)的關(guān)系;反過來,集合Y到X的映射也是一一映射,我們把這個(gè)映射稱為f的逆映射,記作f-1,也就是f-1:Y→X.

注意一個(gè)映射不一定有逆映射,比如φ是集合X到Y(jié)的任意一個(gè)映射,B?Y,則φ-1(B)并不意味著φ有逆映射φ-1,因?yàn)棣詹灰欢ㄊ请p射.φ-1(B)事實(shí)上是一個(gè)在X下的子集,它是φ-1(B)={x∈X|f(x)∈B}.

2 單射滿射[2]下像和原像集合上的關(guān)系

定理1設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,f:X→Y,如果A,B?Y,則

(1)f-1(A∪B)=f-1(A)∪f-1(B);(2)f-1(A∩B)=f-1(A)∩f-1(B).

證明(1)一方面,任取x∈f-1(A∪B),那么f(x)∈A∪B.如果f(x)∈A,則x∈f-1(A),如果f(x)∈B,那么x∈f-1(B),至此得到f-1(A∪B)?f-1(A)∪f-1(B).

另一方面,任取x∈f-1(A∪B),那么f(x)∈A∪B.如果f(x)∈A,則x∈f-1(A),如果f(x)∈B,那么x∈f-1(B),至此可得f-1(A∪B)?f-1(A)∪f-1(B).

綜合以上兩個(gè)方面,有f-1(A∪B)=f-1(A)∪f-1(B)成立.

(2)一方面,任取x∈f-1(A∩B),那么f(x)∈A∩B,即x∈f-1(A)且x∈f-1(B),因此x∈f-1(A)∩f-1(B),所以f-1(A∩B)?f-1(A)∩f-1(B).

另一方面,任取x∈f-1(A)∩f-1(B),則x∈f-1(A)且x∈f-1(B),也就是說f(x)∈A∩B,所以有x∈f-1(A∩B).即f-1(A∩B)?f-1(A)∩f-1(B).

綜合以上兩個(gè)方面,有f-1(A∩B)=f-1(A)∩f-1(B)成立.

定理2 設(shè)集合X和Y滿足f:X→Y,A,B?X,則f(A∪B)=f(A)∪f(B).

證明只需證等號兩邊的集合互相包含即可.一方面,任取y∈f(A∪B),那么存在x∈A∪B,使得f(x)=y.無論x∈A還是x∈B,總有y=f(x)∈A或是y=f(x)∈B,即y∈f(A)∪f(B),注意y是任取的,因此有f(A∪B)?f(A)∪f(B).另一方面, f(A)?f(A∪B),f(B)?f(A∪B),故f(A)∪f(B)?f(A∪B).可得f(A∪B)=f(A)∪f(B).

注意一般情況下f(A∩B)≠f(A)∩f(B),比如設(shè)A=[0,1],B=[2,3],不妨令f(A)=f(B)=1,此時(shí)可知A∩B=?即f(A∩B)=?,而f(A)∩f(B)=1,顯然有f(A∩B)≠f(A)∩f(B).僅當(dāng)映射f是單射時(shí),有f(A∩B)=f(A)∩f(B)成立[2].

推論1設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,f:X→Y,如果A1,A2,…,An?X;B1,B2,…,Bn?Y,則(1)f(A1∪A2∪…∪An)=f(A1)∪f(A2)∪…∪f(An);(2)f-1(B1∪B2∪…∪Bn)=f-1(B1)∪f-1(B2)∪…∪f-1(Bn);(3)f-1(B1∩B2∩…∩Bn)=f-1(B1)∩f-1(B2)∩…∩f-1(Bn).

證明(1)可用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí),等式顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)有f(A1∪A2∪…∪Ak)=f(A1)∪f(A2)∪…∪f(Ak)成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí),任取y∈f(A1∪A2∪…∪Ak+1),則f-1(y)∈A1∪A2∪…∪Ak+1,假定f-1(y)∈Aj,其中j=1, 2,…,k+1,那么y∈f(Aj)?f(A1∪A2∪…∪Ak).根據(jù)y的任意性,可得f(A1∪A2∪…∪Ak+1)?f(A1)∪f(A2)∪…∪f(Ak+1).

又,注意到f(Aj)?f(A1∪A2∪…∪Ak),j=1,2,…,k+1,因此f(A1)∪f(A2)∪…∪f(Ak+1)?f(A1∪A2∪…∪Ak+1).

綜上所述,n=k+1時(shí)假設(shè)也成立,因此

對于(2)和(3),結(jié)合定理1,同樣用數(shù)學(xué)歸納法類似證明,這里不再贅述.

定理3設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,f:X→Y,g:Y→Z,則(1)如果f和g都是單射,則f°g:X→Z也是單射;(2)如果f和g都是滿射,則f°g:X→Z也是滿射;(3)如果f和g都是雙射,則f°g:X→Z也是雙射.

證明(1)任給z1=z2∈Z,因?yàn)間是單射,所以g-1(z1)=g-1(z2)∈Y,又由于f是單射,所以f-1(g-1(z1))= f-1(g-1(z2))∈X,所以f°g:X→Z也是單射.

(2)因?yàn)間是滿射,所以g-1(Z)=Y,又因?yàn)閒是滿射,所以g-1(Y)=Z,因此有f-1(g-1(Z))=X,所以f°g:X→Z也是滿射.

(3)由前面結(jié)論,f和g都是雙射時(shí)(當(dāng)然也是單射和滿射),f°g:X→Z是單射和滿射,所以是雙射.

推論2設(shè)X1,X2,…,Xn+1是n+1個(gè)集合,f1:X1→X2,f2:X2→X3,…,fn:Xn→Xn+1,則

(1)如果f1,f2,…,fn都是單射,則f1°f2°…°fn:X1→Xn也是單射;

(2)如果f1,f2,…,fn都是滿射,則f1°f2°…°fn:X1→Xn也是滿射;

(3)如果f1,f2,…,fn都是雙射,則f1°f2°…°fn:X1→Xn也是雙射.

證明(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k時(shí),f1°f2°…°fk:X1→Xk是單射,那么當(dāng)n= k+1時(shí),任給z1,z2∈Xk+1,由假設(shè)f1°f2°…°fk是單射,則(f1°f2°…°fk)-1(z1)=(f1°f2°…°fk)-1(z2),也就是((…(f(z1)…)))=((…(f(z2)…)))∈X1.根據(jù)單射的定義,當(dāng)n=k+1時(shí),f1°f2°…°fk+1是單射.由數(shù)學(xué)歸納法可知,f1°f2°…°fn:X1→Xn也是單射.

對于(2)和(3),結(jié)合定理2,同樣也用數(shù)學(xué)歸納法類似證明.

[1] 張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].5版.北京:高等教育出版社,2007:7-11.

[2] 陳祥恩.單射及滿射的刻畫[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,38(1):93-94.

Relationship Between Image and Preimage of Injective Function, Subjective Function and Bijection

HUANG Xuan-guan

(Department of M athem atics Science,South China Nor mal University,Guangzhou510631,China)

Analyzes and untangles the connection of map,injective function,subjective function and bijection,and shows the relationship between image and preimage of differentmaps.

map;injective function;sujective function;bijection;relationship

O144.1

A

1007-0834(2011)01-0024-02

10.3969/j.issn.1007-0834.2011.01.008

2010-12-13

黃炫冠(1989—),男,廣東茂名人,華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.