戰(zhàn)斗部最佳起爆延時(shí)的計(jì)算模型及其應(yīng)用研究

王馬法，盧芳云，李翔宇

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，長沙410073）

引戰(zhàn)配合過程是指在給定的彈目交會(huì)條件下，引信系統(tǒng)適時(shí)引爆戰(zhàn)斗部，使戰(zhàn)斗部最大程度地毀傷目標(biāo)的過程[1].引信延遲時(shí)間是指引信從探測到目標(biāo)到起爆戰(zhàn)斗部所經(jīng)歷的時(shí)間間隔，而恰能使目標(biāo)中心（或目標(biāo)的易損部位）落在戰(zhàn)斗部破片飛散中心的延遲時(shí)間稱為最佳起爆延時(shí)[2].

目前國內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)對引戰(zhàn)配合中最佳起爆點(diǎn)的確定問題做了大量研究[3～7].其中文獻(xiàn)[7]研究了破片速度衰減對導(dǎo)彈命中目標(biāo)部位的影響，結(jié)果表明，當(dāng)脫靶量較大或者目標(biāo)速度較大時(shí)，需要考慮破片速度衰減對精確炸點(diǎn)的影響.

最佳起爆延時(shí)是最佳起爆點(diǎn)的具體體現(xiàn)，最佳起爆點(diǎn)的確定可以通過最佳起爆延時(shí)、導(dǎo)彈速度和位置共同確定.傳統(tǒng)引戰(zhàn)配合中最佳起爆延時(shí)的計(jì)算是建立在相對速度坐標(biāo)系下進(jìn)行的[8]，因?yàn)樯婕暗阶鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)，計(jì)算公式變得非常復(fù)雜.目前大部分學(xué)者利用平均速度代替呈指數(shù)衰減規(guī)律的破片速度，從而減小了計(jì)算的復(fù)雜度，但也因此降低了計(jì)算精度.本文通過巧妙建立坐標(biāo)系，在考慮破片速度衰減的情況下，研究戰(zhàn)斗部最佳起爆延時(shí)的計(jì)算方法，并將該方法應(yīng)用于求解共面交會(huì)下戰(zhàn)斗部的作用范圍，為引戰(zhàn)配合中最佳起爆延時(shí)的計(jì)算提供了一種簡捷的精確計(jì)算方法.

1 模型的建立

在彈目遭遇末端，導(dǎo)彈通過引信探測到目標(biāo)的位置和速度（目標(biāo)軸與速度方向平行），并通過制導(dǎo)系統(tǒng)得知自身的位置和速度.在已知這些量的前提下，確定導(dǎo)彈的最佳起爆延時(shí)，使得導(dǎo)彈作用于目標(biāo)的破片數(shù)最大化.

1.1 坐標(biāo)系的建立

假設(shè)彈目遭遇末端導(dǎo)彈和目標(biāo)皆作勻速直線運(yùn)動(dòng).由于最佳起爆延時(shí)不隨坐標(biāo)系的改變而改變，因此可以通過巧妙地建立坐標(biāo)系以達(dá)到簡化計(jì)算戰(zhàn)斗部最佳起爆延時(shí)的目的.將坐標(biāo)系建立在引信探測到目標(biāo)時(shí)刻彈體所在的位置，以導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)速度方向?yàn)閦軸，彈目交會(huì)過程如圖1所示.圖中，O為0時(shí)刻導(dǎo)彈所在位置；z軸為導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)方向；A點(diǎn)為導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部起爆點(diǎn)；B為破片與目標(biāo)的交會(huì)位置；C為0時(shí)刻目標(biāo)所在位置；D為點(diǎn)B在Oyz平面內(nèi)的投影；E為點(diǎn)D在z軸的垂點(diǎn)，也即為B點(diǎn)在z軸的垂點(diǎn)；F為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡CB延長線與Oyz平面的交點(diǎn)；導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度分別為vm和vt；導(dǎo)彈起爆后破片的速度為vfm（該速度可以由戰(zhàn)斗部的靜態(tài)威力參數(shù)和導(dǎo)彈速度矢量疊加得到）；α為破片飛行速度方向與導(dǎo)彈速度方向的夾角，可以由破片速度vfm求得.

1.2 計(jì)算模型的建立

由彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以得到以下關(guān)系式.

1）目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系式.

2）導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部及其破片的運(yùn)動(dòng)關(guān)系式.

3）彈目之間的時(shí)間關(guān)系.

式中，XB＝（xByBzB）和XC＝（xCyCzC）分別為B點(diǎn)和C點(diǎn)的三維坐標(biāo)B點(diǎn)到z軸的距離（線段BE的長度）；tt為目標(biāo)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用時(shí)間；texp為導(dǎo)彈最佳起爆延時(shí)；tf為戰(zhàn)斗部起爆后，破片從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用時(shí)間.

根據(jù)空氣中破片速度衰減規(guī)律vfm＝vf0e－βs（s為破片在空中飛行的距離），可以得到[9]：

式中，β為破片衰減系數(shù)，vf0為破片初始時(shí)刻的速度0時(shí)刻破片在Oxy平面的速度分量；vfmz為0時(shí)刻破片在z方向的速度分量.

在三維坐標(biāo)系中，式（1）等價(jià)于3個(gè)方程，式（1）～式（4）中有xB、yB、zB、tf、tt和texp6個(gè)未知數(shù)，由這6個(gè)方程可以解得戰(zhàn)斗部最佳起爆延時(shí)、起爆點(diǎn)和交會(huì)位置等.

1.3 最佳起爆延時(shí)的求解

由式（1）中的x和y方向分量可以得到：

由式（5）和式（6），可將式（3）等號(hào)右邊的積分求出，再將式（7）代入等號(hào)左邊即可得到一個(gè)tt和tf的關(guān)系式，將此關(guān)系式和式（4）聯(lián)合消去tf可以得到：

同樣，將式（5）和式（6）代入式（2），將等號(hào)右邊積分求出，等號(hào)左邊可由式（1）中z方向的分量表示，如此可以得到一個(gè)tf、tt和texp的關(guān)系式，將此關(guān)系式與由式（3）得到的關(guān)系式消去tf，得到：

將式（8）和式（9）聯(lián)立，消去texp，可以得到：

方程（10）為超越方程，可以用數(shù)值計(jì)算方法求解.將解代入式（8）或式（9）即可得到引信最佳起爆延時(shí).

通過此方法計(jì)算最佳起爆延時(shí)，關(guān)鍵是計(jì)算式（10）的數(shù)值解，得到式（10）的解后很容易得到最佳起爆延時(shí)和交會(huì)點(diǎn)坐標(biāo).由此可見，利用該方法計(jì)算戰(zhàn)斗部引信最佳起爆延時(shí)比較簡單，省去了由于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)而帶來的復(fù)雜性.

2 共面交會(huì)條件下模型的計(jì)算結(jié)果

2.1 共面交會(huì)下的計(jì)算方法

以彈目共面交會(huì)為例，驗(yàn)證上述方法的有效性.當(dāng)彈目共面交會(huì)時(shí)，將坐標(biāo)系建立在交會(huì)平面上，以導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部運(yùn)動(dòng)速度為z軸，x軸以目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度相反的方向?yàn)檎?，即使得目?biāo)的x方向運(yùn)動(dòng)速度為負(fù)值.此時(shí)，相當(dāng)于在圖1中的B、C、D、F點(diǎn)都在Oxz平面內(nèi)，點(diǎn)D和點(diǎn)E重合在z軸上，如圖2所示.將∠AFB定義為彈目交會(huì)角θ.此時(shí)，目標(biāo)和破片的y方向運(yùn)動(dòng)速度都為0，有：

由此，式（10）化為

圖2 共面交會(huì)條件下彈目作用示意圖

利用數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算得到式（12）的解tt，代入式（9）即可得到最佳起爆延時(shí)texp.

2.2 計(jì)算結(jié)果

由式（12）可以看出，求解最佳起爆延時(shí)的相關(guān)因素有：目標(biāo)初始坐標(biāo)、目標(biāo)速度、導(dǎo)彈飛行速度和破片動(dòng)態(tài)飛散速度.下面分別對各相關(guān)因素作討論：①對于一種導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部而言，自身的破片靜態(tài)飛散速度和飛散方位角是固定的，利用靜態(tài)破片飛散速度和導(dǎo)彈飛行速度即可得到破片動(dòng)態(tài)飛散速度，因此，只要知道目標(biāo)初始坐標(biāo)、目標(biāo)速度和導(dǎo)彈飛行速度即可求得在這種交會(huì)條件下的戰(zhàn)斗部最佳起爆延時(shí).②對于一般固體推進(jìn)劑導(dǎo)彈而言，導(dǎo)彈自身飛行速度的變化范圍是有限的，因此在計(jì)算中假設(shè)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)速度是固定的，取導(dǎo)彈速度為900m/s.③考慮到目標(biāo)飛行速度只能通過探測獲得，不能對速度大小進(jìn)行調(diào)整，因此在計(jì)算過程中，假設(shè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度大小為300m/s不變.雖然目標(biāo)飛行速度的大小不變，但目標(biāo)飛行方向可以不同，即彈目交會(huì)角θ可以不同（θ的取值范圍為0～180°）.④目標(biāo)的初始位置與導(dǎo)彈引信的探測能力有關(guān)，是一個(gè)不確定的因素.

通過以上分析，變化范圍較大的影響因素主要是目標(biāo)初始位置和彈目交會(huì)角.下面分別對不同目標(biāo)初始位置和不同彈目交會(huì)角進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算中的有關(guān)參數(shù)為：導(dǎo)彈速度900m/s，目標(biāo)速度300m/s，破片在空氣中的衰減系數(shù)為0.6×10－3，破片速度1 710m/s，飛散角61.3°.

為便于討論，對兩個(gè)概念作如下定義：

①彈目交會(huì)距離d簡稱交會(huì)距離，是指破片與目標(biāo)的交會(huì)點(diǎn)到導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部運(yùn)動(dòng)軌跡線的距離，即d＝dzB＝｜xB｜.

②彈目作用距離R簡稱作用距離，是指目標(biāo)初始點(diǎn)的x坐標(biāo)，即R＝xC（此定義只在共面交會(huì)條件下才有意義）.當(dāng)xC＜0時(shí)，目標(biāo)是遠(yuǎn)離z軸運(yùn)動(dòng)的.

以目標(biāo)的初始位置（9m，0，20m）為例，對于不同交會(huì)角θ的計(jì)算結(jié)果如圖3所示.以彈目交會(huì)角θ＝30°且交會(huì)點(diǎn)F到原點(diǎn)的距離為20m為例，對于不同初始位置的計(jì)算結(jié)果如圖4所示.當(dāng)交會(huì)角一定時(shí)，目標(biāo)的初始位置只有一個(gè)自由度，圖4中以x坐標(biāo)為自變量，即以彈目作用距離R為自變量.對于不同的目標(biāo)初始位置和彈目交會(huì)角皆能得到類似的結(jié)果.

從共面交會(huì)的計(jì)算結(jié)果可以看出，該計(jì)算方法能夠計(jì)算任意交會(huì)條件下的戰(zhàn)斗部最佳起爆延時(shí).從圖3和圖4可以看出，彈目交會(huì)距離d隨彈目作用距離R和交會(huì)角θ的變化關(guān)系都是先減小后增加；最佳起爆延時(shí)在交會(huì)角為15°左右時(shí)存在極大值；最佳起爆延時(shí)隨彈目作用距離的增加而單調(diào)變化.

3 共面交會(huì)中戰(zhàn)斗部作用范圍討論

3.1 一定交會(huì)角條件下的戰(zhàn)斗部作用范圍

戰(zhàn)斗部都有一個(gè)固定的殺傷威力半徑，只有彈目交會(huì)距離d不大于威力半徑時(shí)戰(zhàn)斗部才能有效地毀傷目標(biāo).因此彈目作用距離存在一定的范圍，即目標(biāo)初始位置在一定范圍內(nèi)才能被有效毀傷.如圖4中的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)戰(zhàn)斗部的威力半徑為9m時(shí)，目標(biāo)初始位置的x向坐標(biāo)只有在－2～10m之間才能使得彈目交會(huì)距離d≤9m，即不大于戰(zhàn)斗部威力半徑.

當(dāng)彈目交會(huì)角為θ時(shí)，如圖5所示，目標(biāo)初始位置在直線CG上變化，雖然對于所有點(diǎn)都能計(jì)算出最佳的起爆延時(shí)，但并不是直線上所有的點(diǎn)都能夠使交會(huì)距離不大于戰(zhàn)斗部威力半徑.將使交會(huì)距離等于戰(zhàn)斗部威力半徑的彈目作用距離定義為臨界距離.從d與R的變化關(guān)系可以看出，每個(gè)交會(huì)角條件下存在2個(gè)臨界距離，分別為上臨界距離R1和下臨界距離R2（R1＞R2），假設(shè)分別對應(yīng)圖5中的C點(diǎn)和G點(diǎn).則只要目標(biāo)出現(xiàn)在線段CG內(nèi)，均能滿足目標(biāo)在戰(zhàn)斗部殺傷威力半徑以內(nèi)被擊中，被戰(zhàn)斗部毀傷，反之，則在戰(zhàn)斗部殺傷威力半徑以外，不能被毀傷.當(dāng)戰(zhàn)斗部威力半徑為9 m時(shí)，在目標(biāo)速度為300m/s且交會(huì)角為30°的條件下，R1和R2的計(jì)算結(jié)果如表1所示.

考慮到最佳起爆延時(shí)不能為負(fù)值，因此，毀傷區(qū)域內(nèi)的起爆延時(shí)要求均大于0.這里假設(shè)不考慮從引信發(fā)出起爆信號(hào)到戰(zhàn)斗部破片開始飛散所需要的時(shí)間，如果需要考慮這段時(shí)間，則這里最佳起爆延時(shí)需要大于等于該時(shí)間.定義R0是使起爆延時(shí)為0的目標(biāo)初始位置與導(dǎo)彈軌跡之間的距離，即為目標(biāo)初始位置在x向的分量.當(dāng)R1＞R0≥0時(shí)，R0對上臨界進(jìn)行修正，計(jì)為R′1；當(dāng)R2＜R0＜0時(shí)，R0對下臨界進(jìn)行修正，計(jì)為R′2.在交會(huì)角為30°的情況下，計(jì)算得到的結(jié)果如表1所示，表中d1為計(jì)算得到的臨界距離.可以看出根據(jù)炸點(diǎn)延時(shí)的要求，應(yīng)該對R1進(jìn)行修正，圖5中對應(yīng)點(diǎn)H.因此，戰(zhàn)斗部作用范圍修正為線段GH.

圖5 一定交會(huì)角條件下的戰(zhàn)斗部作用范圍示意圖

表1 交會(huì)角為30°時(shí)各臨界距離的計(jì)算結(jié)果

3.2 戰(zhàn)斗部作用范圍

利用相同的方法，可以得到不同交會(huì)角下的戰(zhàn)斗部作用范圍.將所有角度下的上臨界和下臨界點(diǎn)連接起來便形成了戰(zhàn)斗部整個(gè)空間下的作用范圍包絡(luò)線.圖6為交會(huì)角從5°～175°時(shí)，戰(zhàn)斗部作用范圍的計(jì)算結(jié)果，相鄰虛線的交會(huì)角相差5°.

從圖6中可以看出，當(dāng)交會(huì)角小于90°時(shí)，即“尾追”攻擊時(shí)，上臨界作用距離隨著交會(huì)角的增加迅速增加；當(dāng)交會(huì)角為90°時(shí)，上臨界作用距離達(dá)到最大值；當(dāng)交會(huì)角大于90°，即“迎攻”時(shí)，上臨界作用距離緩慢減小，但始終大于且逼近于戰(zhàn)斗部的威力半徑.上臨界線覆蓋的面積比下臨界線覆蓋的面積大，這是因?yàn)槟繕?biāo)速度的x向分量為負(fù)值.當(dāng)目標(biāo)速度的x向分量為正值時(shí)，由圖6沿z軸對稱可以得到其上臨界線和下臨界線.上臨界線和下臨界線分別有漸近線，漸近線位置由戰(zhàn)斗部威力半徑?jīng)Q定.

圖6 戰(zhàn)斗部作用范圍圖

4 結(jié)束語

在考慮破片速度指數(shù)衰減的條件下，推導(dǎo)了三維空間中戰(zhàn)斗部最佳起爆延時(shí)的計(jì)算方法，該方法避免了傳統(tǒng)計(jì)算方法中由于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)帶來的復(fù)雜性；在共面交會(huì)條件下計(jì)算得到了戰(zhàn)斗部威力半徑為9m時(shí)的作用范圍包絡(luò)線，可以為導(dǎo)彈選擇彈目交會(huì)條件提供參考.本文提出的方法為引戰(zhàn)配合研究提供了一種精確計(jì)算起爆延時(shí)的方法，對引戰(zhàn)配合仿真和戰(zhàn)斗部威力評估均有重要的參考價(jià)值.

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