利用偏微分方程的 Tetrolet變換圖像去噪

李財蓮,孫即祥,康耀紅,李智勇

(1.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長沙 410073;2.海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南海口 570228)

利用偏微分方程的 Tetrolet變換圖像去噪

李財蓮1,2,孫即祥1,康耀紅2,李智勇1

(1.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長沙 410073;2.海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南?？?570228)

對圖像進行 Tetrolet變換后利用偏微分方程對圖像進行了質(zhì)量改善,仿真結(jié)果表明,該算法不僅能有效去除噪聲,而且可得到更高的峰值信噪比和更好的視覺效果,去噪后圖像較光滑,減少了方塊效應(yīng),更多地保留了圖像邊緣和細節(jié)等局部特征.

Tetrolet變換;方塊效應(yīng);偏微分方程;圖像去噪

近 20年來,由于多尺度幾何分析能有效地表示二維圖像中具有多方向性的邊緣和紋理等幾何特性,被廣泛應(yīng)用到圖像處理的各個領(lǐng)域,并在圖像去噪中取得了很大的成功.基于偏微分方程 (PDE)的圖像處理方法在平滑噪聲的同時可以使邊緣得到保持,因此,在圖像處理與分析領(lǐng)域里也得到了廣泛的重視,成為圖像處理與分析中的一個重要工具[1-2].

由于多尺度幾何分析與偏微分方程各有特點,很多學(xué)者結(jié)合了多尺度幾何分析方法與偏微分方程對圖像進行處理[3-7],取得了很好的處理結(jié)果.如文獻[3]分別結(jié)合 Ridgelet,Curvelet與變分能量最小 TV(TotalVariation)方法對圖像進行重構(gòu),很好地保持了圖像的邊緣特征;文獻[4]結(jié)合Wavelet變換與各向異性擴散方程對圖像進行邊緣保持,同樣取得了很好的視覺效果;文獻[5]結(jié)合復(fù)數(shù) Ridgelet變換與變分能量最小 TV方法對圖像進行去噪,去噪后的圖像在保留圖像細節(jié)方面比較理想;文獻 [6]結(jié)合 Curvelet變換與非線性擴散方程來對圖像進行去噪處理,也取得比較優(yōu)異的效果.同樣,文獻[7]結(jié)合 Shearlet變換與變分能量最小 TV方法對圖像進行去噪也取得優(yōu)異的效果.

2009年,KROMMWEH J提出了一種新的自適應(yīng) Haar小波變換—Tetrolet變換[8-10],理論簡單,但有效,能很好地表示圖像的幾何結(jié)構(gòu)特性,能對圖像進行更稀疏的表述,且系數(shù)的能量非常集中,因而去噪能力強.由于 Tetrolets非常小的支撐域,使得 Tetrolet變換不受 Gibbs振蕩的影響[11],其缺點是由于塊區(qū)域基本功能函數(shù)的不平滑,使得去噪后圖像存在方塊效應(yīng),并且當(dāng)噪聲方差越來越大時,去噪后圖像方塊效應(yīng)越來越嚴重,嚴重影響去噪后圖像主觀質(zhì)量.因此,筆者利用偏微分方程來改善 Tetrolet變換后的去噪圖像質(zhì)量,減少方塊效應(yīng),提高視覺效果.

1 基本原理

1.1 基本定義函數(shù) u:Ω→R表示原始圖像,其中Ω表示圖像域,Ω? R2,u是未知的;函數(shù) I:Ω→R是已知與 u同場景的觀測圖像,圖像處理與分析的目的是從已知的 I得到原始的 u.引入一個連續(xù)的尺度參數(shù)t[0,τ],根據(jù)尺度 t取值的不同,就可以得到不同尺度下處理的圖像,原圖像對應(yīng)于尺度 t=0時的圖像.設(shè) n=n(x,y)為獨立同分布高斯白噪聲,采用的經(jīng)典降質(zhì)模型為

這是一個線性位移不變、加性高斯噪聲的模型.圖像去噪的目的是根據(jù)觀測值 I找到圖像的估計值 ^u使得其與清晰圖像 u的均方誤差最小.

1.2 Tetrolet變換[8-10]Tetrolet變換構(gòu)建類似于 Wedgelet變換,在邊緣部分應(yīng)用了 Haar功能函數(shù).先將圖像分成 4×4塊,然后在每一塊中確定與圖像幾何結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的四格拼板.由于四格拼板 Tetrominoes是最先被應(yīng)用到一種拼板游戲中用的多邊形拼合板,因此 KROMMWEH J將這種多尺度多方向變換稱之為 Tetrolet變換,圖 1為 Tetrolet變換的結(jié)構(gòu)示意圖.由于四格拼板與塊圖像中的幾何特性自適應(yīng),因此 Tetrolet變換能更好地保持圖像邊緣和方向紋理等信息,在圖像壓縮、去噪和非線性近似中非常有效,其基本原理詳見文獻[8-10].

圖1 Tetrolet變換結(jié)構(gòu)

1.3 偏微分方程目前偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用主要可以分為 3類[12]:第 1類是基于尺度空間公理體系的偏微分方程模型,主要是從方向濾波器的角度分析和設(shè)計方向擴散方程,代表算法為 PERONA和MAL IK提出的各向異性擴散模型 (P-M模型);第 2類是基于泛函變分角度而導(dǎo)出的偏微分方程,基本思想是確定圖像的能量函數(shù),通過對能量函數(shù)的最小化過程,使得圖像達到平滑狀態(tài),代表算法廣泛應(yīng)用的總變分 TV模型和四階模型;第 3類為 RUD IN和 OSHER提出了一種沖激濾波模型,是一種雙曲型的偏微分方程模型,可用于圖像的增強和去模糊.

(1)P-M模型[13]

PERONA P與MAL IK J提出將一種非線性擴散方程 (P-M方程)應(yīng)用到尺度分析中,在逐漸減少細節(jié)的同時,邊緣保持清晰,其濾波原理是在圖像不同特征處進行不同程度的平滑,即在區(qū)域內(nèi)部,平滑程度提高,在靠近邊緣處,減少平滑,從而既濾除細節(jié)及噪聲,又保持邊緣.其偏微分方程為

再對 u0-^u部分進行偏微分方程處理,利用有限差分法來求解.其具體算法步驟如下:

步驟1 u0=u0,j=0;

步驟 2 對 uj進行 J層 Tetrolet變換,得到 Tetrolet系數(shù)與近似系數(shù),對 Tetrolet系數(shù)進行硬閾值操作,進行逆 Tetrolet變換后得到 uc,即:uc=T-1(S(T(uj))).T表示 Tetrolet變換,T-1表示逆 Tetrolet變換,S表示硬閾值操作;

步驟 3 對 v=u0-uc進行 P-M處理或 TV處理,利用有限差分法得到 vj;

步驟4 uj=uc+vj;

步驟 5 判別:如果 j滿足迭代終止條件,則轉(zhuǎn)步驟 7;否則轉(zhuǎn)步驟 6;

步驟 6 j=j+1,重復(fù)步驟 2～5;

步驟 7 輸出去噪后圖像 ^u=uj.

3 仿真實驗

為了驗證本文提出的去噪算法的有效性,選擇標準測試圖像 Lena,Boat與 Polygons并將彩色圖像灰度化,疊加均值為零的高斯白噪聲進行實驗.用Matlab7.0對新去噪算法進行了驗證,并與經(jīng)典的 Tetrolet變換去噪算法進行了對比.

為表述方便,用“TT”表示經(jīng)典的 Tetrolet變換,“TT+PM”表示經(jīng)典 Tetrolet變換與 P-M方程相結(jié)合算法,“TT+TV”表示經(jīng)典 Tetrolet變換與 TV模型相結(jié)合算法,去噪閾值選取經(jīng)典的 t=3σ.

圖2～4給出了部分圖像去噪時的結(jié)果,為了比較方便,只給出了局部圖像.

圖2 ‘Lena’部分圖像去噪σ=40

圖3 ‘Polygons’部分圖像去噪σ=50

圖4 ‘Boat’部分圖像去噪σ=10

為更好地對本算法進行對比實驗,將經(jīng)典的Wavelet,Contourlet變換應(yīng)用于圖像去噪中,同樣利用偏微分方程來對圖像質(zhì)量進行改善,為表述方便,用“WT+PM”表示經(jīng)典Wavelet變換與 P-M方程相結(jié)合算法,“WT+TV”表示經(jīng)典 Wavelet變換與 TV模型相結(jié)合算法,“CT+PM”表示經(jīng)典 Contourlet變換與P-M方程相結(jié)合算法,“CT+TV”表示經(jīng)典 Contourlet變換與 TV模型相結(jié)合算法,去噪閾值同樣選取經(jīng)典的 t=3σ.表 1～3列出了幾種算法去噪后圖像 PSNR值比較結(jié)果.

從表 1～3和圖 2～4中可以看出:

1)本算法在有效去除噪聲的同時,減少和改善了方塊效應(yīng),提高了視覺效果,去噪后圖像相對經(jīng)典算法較光滑,并更多地保留了圖像細節(jié)和紋理,如圖 2～4所示.

2)當(dāng)噪聲方差較少 (如σ=10)時,使用硬閾值函數(shù)去噪,雖然經(jīng)典的 Tetrolet變換能得到比本算法稍高的 PSNR值,但從視覺效果來看,其方塊效應(yīng)比較明顯,不如本算法光滑,如圖 4所示;當(dāng)噪聲方差越來越大時,經(jīng)典算法去噪后圖像方塊效應(yīng)越來越嚴重,嚴重影響去噪后圖像視覺效果,而本算法當(dāng)噪聲方差越來越大時,可以取得更好的去噪效果,更高的 PSNR值,更好的視覺效果,如圖 2～3所示.

3)在實驗中,Tetrolet變換和 TV相結(jié)合比 Tetrolet變換與 P-M相結(jié)合保持更多的邊緣和紋理特征,相對邊界要清晰一些,方塊效應(yīng)得到明顯的改善,其主要原因是 P-M方程是一個各向同性的擴散方程,即對圖像中的每一點,其擴散強度相同,特別地,圖像在同質(zhì)區(qū)域和沿著邊緣同樣被平滑了,這就造成結(jié)果圖像在去噪的同時,模糊了邊緣,而 TV模型的主要優(yōu)點是能保持邊緣.

4)相比于經(jīng)典的Wavelet,Contourlet變換與偏微分方程相結(jié)合算法,本算法由于 Tetrolet變換能對圖像進行更稀疏的表示,因而去噪后圖像有更高的 PSNR值,其 PSNR值提高 0.5～0.2 dB(如表 1～3所示).

表1 各種方法對 Lena 512×512去噪后 PSNR值比較 dB

表2 各種方法對 Polygons 512×512去噪后 PSNR值比較 dB

表3 各種方法對 Boat 512×512去噪后 PSNR值比較 dB

4 小 結(jié)

本文將經(jīng)典的 Tetrolet算法和偏微分方程相結(jié)合對圖像進行了去噪,使得經(jīng)典 Tetrolet去噪算法中的方塊效應(yīng)得到了一定的改善和抑制,混合算法去噪后圖像相對經(jīng)典變換算法去噪后圖像較平滑,且更多地保持了原始圖像的邊緣和細節(jié)等局部特征,進一步提高了去噪圖像的主客觀質(zhì)量,實驗結(jié)果表明本文算法是有效可行的.

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Tetrolet Shr inkage with Part ialD ifferent ial Equations for I mage Denoising

L ICai-lian1,SUN Ji-xiang1,KANG Yao-hong2,L I Zhi-yong1

(1.College of Electrical Science and Engineering,NationalUniversity ofDefense Technology,Changsha 410073,China;2.College of Infor mation Science and Technology,Hainan University,Haikou 570228,China)

After tetrolet transform was applied to the noise images,the conventional s mooth shrinkage results were further processed by partial differential equations.The simulation results indicated that the method not only remove the noise effectively,but also can obtain higher PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)and better visual effects.Compared with typical tetrolet transform,the denoised images by our method were smoother,and the blocking artifactswere reduced,and which preservedmore significant infor mation oforiginal images,such as edges and details.

Tetrolet transfor m;blocking artifacts;partial differential equations;image denoising

TP 391 < class="emphasis_bold">文獻標志碼:A

A

1004-1729(2011)02-0166-06

2010-12-05

國家自然科學(xué)基金項目 (40901216);國防預(yù)研資助項目 (513220206)

李財蓮 (1973-),女,湖南漣源人,海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院工程師,國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 2007級博士研究生.