受土體側(cè)移作用既有軸向受荷單樁的簡化算法

梁發(fā)云，于 峰，黃茂松

（1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

基坑或隧道開挖等引起的土體側(cè)移將會(huì)對鄰近樁基產(chǎn)生作用，在此情況下，鄰近樁基上既有軸向荷載與這種土體側(cè)移形成耦合作用，使樁上產(chǎn)生附加的變形和內(nèi)力，從而對既有軸向受荷樁的安全構(gòu)成潛在威脅.既有軸向受荷樁在附加土體側(cè)移作用下所引起的工程事故問題時(shí)有發(fā)生，姚國圣等［1］對此類問題進(jìn)行了簡要評述.

目前巖土工程界對于土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用的分析還較少.在實(shí)際工程中，按軸向受荷樁進(jìn)行設(shè)計(jì)的樁基，由于種種原因，在使用期間受到了土體側(cè)移作用，附加的土體側(cè)移在設(shè)計(jì)階段一般沒有加以考慮，軸向荷載會(huì)與土體側(cè)移產(chǎn)生耦合作用，即P-Δ效應(yīng)，可能導(dǎo)致樁基產(chǎn)生較大的側(cè)向附加荷載和彎曲變形，甚至發(fā)生折斷破壞.因此，土體側(cè)移對既有軸向受荷樁承載性狀的影響不容忽視.如何對土體側(cè)移作用下既有軸向受荷樁的承載性狀進(jìn)行分析，已成為巖土工程近期亟待研究的一個(gè)重要問題.國外學(xué)者如Chen等［2］，Guo和Ghee［3］采用室內(nèi)模型試驗(yàn)對此類問題進(jìn)行了一些探索.在理論研究方面，對于土體位移作用下被動(dòng)樁問題常用分析方法主要有整體分析法和兩階段法［4］，其中由Poulos等［5］提出的兩階段法較為簡便.Yokoyama Yukimitsu［6］曾指出：同時(shí)承受軸力和水平力作用的樁，嚴(yán)格地來說，應(yīng)力的疊加原理是不適用的，需要采用耦合方法進(jìn)行分析.文獻(xiàn)［7］在研究軸向和橫向荷載作用的樁基時(shí)考慮了兩者的相互影響，對于研究土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用具有參考價(jià)值.

需要注意的是，Poulos［8］通過數(shù)值分析指出，土體位移作用不能簡單地等效為荷載的作用.由于土體位移作用的復(fù)雜性，對于軸向荷載與水平位移耦合作用的被動(dòng)樁分析，目前鮮有文獻(xiàn)報(bào)道.

本文基于Winkler地基模型和兩階段法，結(jié)合彈性樁的撓曲微分方程，提出了一種土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用下單樁性狀的簡化算法，與已有文獻(xiàn)的對比驗(yàn)證了本文方法的可行性，并通過參數(shù)分析研究土體側(cè)移對既有軸向受荷單樁性狀的影響.

1 土體側(cè)移下既有軸向受荷單樁簡化算法

1.1 基于Winkler地基模型的兩階段法

兩階段法是Poulos等［5］針對受土體位移作用的被動(dòng)樁問題而提出的.本文在該方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入了樁身軸力的作用，將該方法推廣至受土體側(cè)移作用的軸向受荷單樁性狀分析.

兩階段法將被動(dòng)樁的分析分為兩個(gè)階段，第一階段得到?jīng)]有樁時(shí)的自由土體位移，第二階段將自由土體位移作為已知條件，施加于單樁，計(jì)算單樁的反應(yīng).樁土相互作用的計(jì)算模型采用如下假定：①基于Winkler地基模型將樁視作彈性地基梁；②土體為連續(xù)變形體；③樁與土之間的相互作用采用彈簧模擬，樁土緊密接觸且變形協(xié)調(diào).

假設(shè)土體位移引起的自由土體位移為hs（z），在樁基的作用下，土體的自由位移受到約束，設(shè)樁身的最終側(cè)向位移為U（z），基于樁土變形協(xié)調(diào)假定，該位移即為土體的最終側(cè)向位移.土體的約束位移也就是 樁土的相對位移為Δ=hs（z）-U（z），由Winkler地基模型，約束位移產(chǎn)生的樁側(cè)土壓力為

式中，kz為樁周土的基床反力模量，kN·m-2，可定義為樁身某處單位長度上樁周土的抗力與樁土相對位移的比值.

本文采用Vesic［9］所提出的基床反力模量kz確定方法，該方法將基床反力模量與土體的彈性參數(shù)和土的泊松比聯(lián)系起來的，表示如下：

式中：Es為土體的彈性模量，kPa；ν為土的泊松比；EI為樁的抗彎剛度，kN·m2；d為樁的直徑，m.

1.2 土體側(cè)移下既有軸向受荷單樁的撓曲微分方程

將樁視作彈性地基梁，建立土體側(cè)移作用下既有軸向受荷單樁的撓曲微分方程如式（3），方程中的第2項(xiàng)是為了考慮軸力影響而引入的軸力影響項(xiàng).

式中，Nz為樁在z深度處承受的軸力，kN.

結(jié)合式（1），可以得到土體水平位移對單樁影響的水平位移控制微分方程：

受到微分方程求解的限制，只有均質(zhì)土體的情況（即kz沿深度不變）可直接求解得到解析解.而天然土體大多為分層地基，此時(shí)可采用有限差分法進(jìn)行求解.將樁離散為n個(gè)長度為δ的單元后，式（4）可轉(zhuǎn)化為對第i節(jié)點(diǎn)（i=0，1，2，…，n）的差分方程.

求解差分方程時(shí)由于樁頂和樁底處存在U-2，U-1以及Un+1，Un+2等虛擬節(jié)點(diǎn)的樁身側(cè)向位移，故需要利用式（5）的位移與彎矩、轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，并結(jié)合式（6）的樁頂和樁底邊界條件來消除這些待定項(xiàng)之后方可進(jìn)行求解.

（1）對于頂端自由的樁，樁頂施加有剪力H，彎矩M，得到兩個(gè)邊界條件：

式中，Ui表示i節(jié)點(diǎn)處的樁身側(cè)向位移，其中U-2，U-1表示樁頂處兩個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)的位移.

（2）若頂端固定，樁頂無位移和轉(zhuǎn)角，則得：

（3）若頂端約束位移不約束轉(zhuǎn)動(dòng)，則得：

同理，樁底節(jié)點(diǎn)根據(jù)其邊界條件也可得到上述類似方程.消去待定項(xiàng)后求解矩陣方程，可求得樁身各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移.將節(jié)點(diǎn)位移回代到式（6），即可求得各節(jié)點(diǎn)的彎矩.

2 算例驗(yàn)證

2.1 與離心試驗(yàn)結(jié)果對比（樁頂無軸力作用）

Leung等［10］通過離心模型試驗(yàn)研究了基坑開挖引起的土體側(cè)移對樁的影響，樁頂無軸力作用.本算例采用文獻(xiàn)［10］的試驗(yàn)參數(shù)，其中基坑開挖深度為4.5m，樁到基坑的距離為3m；樁長為12.5m，樁的直徑為0.63m，EI=2.2×105kN·m2；土體彈性模量按照深度z變化規(guī)律為Es=6z（MPa）；自由土體位移按文獻(xiàn)［10］的試驗(yàn)實(shí)測結(jié)果取值，如圖1中虛線所示；樁頂約束條件為樁頂水平位移為零，但不約束轉(zhuǎn)角.

利用本文方法計(jì)算所得的水平位移和彎矩與實(shí)測數(shù)據(jù)對比如圖1和圖2所示，本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)基本吻合，驗(yàn)證了本文方法在樁頂無軸力作用時(shí)的適用性.

圖1 與文獻(xiàn)［10］算例的位移對比Fig.1 Comparison of displacements with Reference［10］

圖2 與文獻(xiàn)［10］算例的彎矩對比Fig.2 Comparison of bending moments with Reference［10］

2.2 與LPile軟件結(jié)果對比（樁頂有軸力作用）

目前關(guān)于樁受水平位移與軸力耦合作用的算例鮮見文獻(xiàn)報(bào)道，為驗(yàn)證本文算法的合理性，與LPile軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較.該軟件采用p-y曲線法（即水平荷載作用下某深度處的土反力p與該點(diǎn)樁的撓度y之間的關(guān)系曲線）來描述水平受荷樁樁周土體的非線性變形特性.LPILE 是由美國德州奧斯汀大學(xué)Reese教授主持開發(fā)的商業(yè)軟件，已成為美國工程界應(yīng)用最為廣泛的水平樁分析程序之一，筆者在文獻(xiàn)［11］中對該軟件進(jìn)行了詳細(xì)介紹.

軸向受荷樁長徑比為L／d=25，截面面積為A，土體彈性模量Es與土的粘聚力cu之比Es／cu=143，fc為樁身材料的抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，為便于分析，可取為樁身材料彈性模量的1／1 000；樁頭自由；ν=0.49.參照Poulos［12］的分析算例，假定樁受到如圖3所示的土體初始位移場作用.

圖3 土體側(cè)移分布模式Fig.3 Displacement mode of lateral soil movement

通過量綱分析，可將樁頂承受的軸向荷載、樁身位移和彎矩等參數(shù)分別表示為樁頂壓應(yīng)力的量綱一值，在本算例中取KN為30%；樁身位移的量綱一值；樁身彎矩的量綱一值

將本文方法計(jì)算得到的單樁位移和彎矩與LPile軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，如圖4 和圖5 所示.本文算法與LPile軟件計(jì)算結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了本文算法在考慮軸向荷載與土體側(cè)移耦合作用時(shí)的可行性.本文方法與LPile軟件的計(jì)算結(jié)果稍有差異，其原因主要是兩種方法對于基床反力模量確定方法的不同而造成的.

圖4 與LPile軟件的位移對比Fig.4 Comparison of displacements with LPile software

圖5 與LPile軟件的彎矩對比Fig.5 Comparison of bending moments with LPile software

3 參數(shù)影響分析

土體側(cè)移作用將使樁身產(chǎn)生較大的彎矩和撓曲變形，軸向荷載也將由于樁身撓曲變形的出現(xiàn)而產(chǎn)生附加彎矩（即所謂的 “P-Δ”效應(yīng)），而該附加彎矩又將影響到樁身撓曲變形的增加.土體側(cè)移一定的情況下，P-Δ效應(yīng)的影響因素主要有三個(gè)方面：①樁身的材料性質(zhì)；②土體彈性模量；③樁頂?shù)倪吔鐥l件.本節(jié)針對這些參數(shù)的影響進(jìn)行分析.

3.1 樁身材料對單樁及其P－Δ 效應(yīng)的影響

不同材料的樁由于彈性模量以及設(shè)計(jì)強(qiáng)度的不同，在軸向荷載和側(cè)向土體位移作用下表現(xiàn)的性質(zhì)也有所不同.本節(jié)中基坑開挖深度為4.5m，樁到基坑距離為3m；樁長為30 m，樁外徑0.63 m，內(nèi)徑0.43m；土體彈性模量Es=6z（MPa）；樁頂自由；土體位移與第2.1 節(jié)中Leung 等［10］的試驗(yàn)結(jié)果一致.

圖6，圖7分別給出了C30和C80 混凝土的樁在無軸向荷載作用以及軸向荷載達(dá)到各自80%樁身強(qiáng)度時(shí)的位移和彎矩，圖中fC30和fC80分別為C30和C80混凝土的抗壓設(shè)計(jì)值，其他類同.

圖6 不同樁身強(qiáng)度的位移對比Fig.6 Comparison of displacements with different pile’s strength

圖7 不同樁身強(qiáng)度的彎矩對比Fig.7 Comparison of bending moments with different pile’s strength

對于沿樁長的水平位移，如圖6所示，基坑開挖深度4.5m，水平位移的影響范圍主要限于地表以下15m 之內(nèi)，而樁長15～30m 位移很小甚至為零.

為分析混凝土強(qiáng)度對于樁身位移的影響，將樁頂附近位移放大后進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：無軸向荷載作用時(shí)，C80混凝土樁的樁頂位移小于C30 混凝土樁，這是由于C80混凝土剛度較大，能夠?qū)ν馏w的自由側(cè)移產(chǎn)生的較大約束作用，或者說抵抗土體側(cè)移的能力較強(qiáng).但是當(dāng)樁頂加載KN=80%，即同樣在80%樁身強(qiáng)度的軸向力作用下，C80 樁頂位移則超過了C30樁，說明C80樁在同等計(jì)算條件和樁頂壓應(yīng)力水平下，其P-Δ效應(yīng)比C30樁更為明顯.

對于沿樁長的彎矩，如圖7所示，彎矩的影響范圍也集中于樁上方20m 以內(nèi)，20～30 m 內(nèi)則彎矩很小甚至為零.當(dāng)樁頂無軸向荷載時(shí)，C80樁最大彎矩大于C30彎矩，并且最大彎矩深度較C30樁略深一些，但都在7.5～8.0m 左右.當(dāng)樁頂加載80%樁身強(qiáng)度的軸向力時(shí)，兩種材料的樁身最大彎矩的深度都有向上變化的趨勢，最大彎矩值都增大，但是C80增大的幅度要比C30更大.

為了進(jìn)一步研究樁身材料對P-Δ效應(yīng)大小影響的規(guī)律，本文試算了6種樁身材料在相同計(jì)算條件下樁身位移和彎矩相對于無軸向力時(shí)的增幅情況，如圖8和圖9 所示，圖中fc是與橫坐標(biāo)相對應(yīng)的混凝土抗壓設(shè)計(jì)值，fC50為C50混凝土的抗壓設(shè)計(jì)值，可得出了如下一些結(jié)論.

圖8 樁頂位移增幅對比圖Fig.8 Comparison of increase in displacements of pile head

圖9 最大彎矩增幅和最大彎矩深度對比Fig.9 Comparison of increase in maximum moments and corresponding depths

（1）當(dāng)樁頂作用有相對于材料強(qiáng)度同等比例的軸力時(shí)，隨著材料標(biāo)號(hào)越大，P-Δ效應(yīng)也越大.由圖可見，在80%樁身強(qiáng)度的荷載作用下，C20樁較無樁頂軸力時(shí)位移僅增大了3.3%，彎矩僅增大了1.6%，C80相應(yīng)增加了9.5%和8.2%.

（2）當(dāng)樁頂軸力絕對值相同時(shí)，隨著材料標(biāo)號(hào)的增大，P-Δ效應(yīng)減小.這一點(diǎn)從圖8、圖9中的曲線4可以看出，各種材料樁都作用有0.8fc50A的軸力，C20位移和彎矩分別增大了7.3%和5.8%.這是因?yàn)樵谙嗤妮S力下，樁的EI值越大，抵抗P-Δ效應(yīng)的能力就越強(qiáng).

（3）P-Δ效應(yīng)作用結(jié)果不符合疊加原理.如圖8和圖9 所示，兩圖中曲線1 分別代表軸向荷載為0.4fcA時(shí)樁頂位移和最大彎矩的增幅，曲線2分別代表軸向荷載為0.4fcA時(shí)樁頂位移和最大彎矩的增幅的2倍，曲線3 分別代表軸向荷載為0.8fcA時(shí)樁頂位移和最大彎矩的增幅.可見軸向荷載為0.8fcA時(shí)的增幅大于0.4fcA時(shí)增幅的2倍.這表明了P-Δ效應(yīng)對荷載和位移的影響不符合簡單的疊加效應(yīng).

3.2 土體彈性模量對單樁及P－Δ 效應(yīng)的影響

樁土相互作用中，土體的性質(zhì)非常重要，特別在Winkler地基模型中，土體彈性模量決定了土體對樁基作用力的大小.本節(jié)旨在研究相同土體側(cè)移模式下土體彈性模量的影響，采用與第3.1節(jié)相同的計(jì)算模型.圖10和圖11中繪制了C50混凝土的樁在Es=2z（MPa）和Es=6z（MPa）兩種彈性模量分布下的位移和彎矩，z為地面以下深度，土體彈性模量沿深度線性變化.

圖10 不同土體彈性模量的位移對比圖Fig.10 Comparison of displacements with different elastic modulus of subsoils

如圖10和圖11所示，在樁頂有軸向力時(shí)兩種土體彈性模量分布模式下的位移和彎矩都出現(xiàn)了增大的趨勢.同時(shí)，土體彈性模量分布模式Es=6z在無軸向荷載以及有軸向荷載時(shí)位移和彎矩分別大于Es=2z相應(yīng)條件下的位移和彎矩.這是因?yàn)樵谕馏w彈性模量大的時(shí)候?qū)兜牡挚棺饔靡簿驮酱?

圖11 不同土體彈性模量的彎矩對比圖Fig.11 Comparison of bending moments with differentelastic modulus of subsoils

Leung等［10］認(rèn)為：對于密砂，彈性模量分布宜取Es=6z至Es=8z之間.圖12中選取了Es=8z，6z，4z，2z，z五種分布模式，計(jì)算了對C50混凝土樁的影響情況，得到了以下結(jié)論：

（1）隨著土體彈性模量的減小，P-Δ效應(yīng)增大.這是因?yàn)楫?dāng)土體彈性模量減小時(shí)土體對樁的側(cè)向支撐減小，引起了更大的附加彎矩和位移.

（2）土體彈性模量較大時(shí)，樁頂位移增幅大于最大彎矩增量，但隨著彈性模量的減小，最大彎矩的增幅將逐漸超過樁頂位移的增量.料強(qiáng)度

圖12 不同土體彈性模量的樁頂位移、最大彎矩增幅對比圖Fig.12 Comparison of increase in displacements of pile head and max moments with different elastic modulus of subsoils

通時(shí)過，以高上強(qiáng)?的度參樁數(shù)身?分材析料可的知P，-當(dāng)Δ充 效分?應(yīng)利比用低樁強(qiáng)身材度樁身材料的要大，而土體彈性模量低時(shí)P-Δ效應(yīng)比土體彈性模量高時(shí)的要大.因此，當(dāng)模型試驗(yàn)采用鋼管、鋁管來模擬樁基受土體側(cè)移和軸向荷載耦合作用時(shí)，而所用的模型土又偏軟弱時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)測得的耦合效應(yīng)比實(shí)際工程的偏大，這一點(diǎn)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)引起必要的注意.

3.3 樁頂約束條件對單樁及其P－Δ 效應(yīng)的影響

不同樁頂約束條件對樁身變形和樁土相對位移產(chǎn)生明顯影響，從而影響樁最終的受力狀態(tài)；不同約束條件下樁的P-Δ效應(yīng)也顯著不同.

無初始軸向荷載的C50 混凝土樁在彈性模量Es=2z土中受到同第3.1節(jié)的土體側(cè)移作用，其余參數(shù)也與第3.1節(jié)相同，則在不同樁頂約束條件下算得的位移和彎矩如圖13和圖14所示.

圖13 不同樁頂約束條件的位移對比圖Fig.13 Comparison of displacements with different boundary conditions of pile head

圖14 不同樁頂約束條件的彎矩對比圖Fig.14 Comparison of bending moments with different boundary conditions of pile head

由圖13和圖14可見，當(dāng)樁頂自由時(shí)，由于樁頂缺乏有效約束，樁頂位移將相對較大，造成既有結(jié)構(gòu)有過大變形和使用性能下降，但是由于樁頂約束放松，樁身的彎矩較小，對于樁身受力是有利的.當(dāng)樁頂約束位移而不約束轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，最大位移出現(xiàn)在約5 m 深度處，樁的變形明顯減小，但彎矩相對樁頂自由時(shí)的作用方向相反且絕對值有所增大；當(dāng)樁頂完全固定時(shí)，樁的變形進(jìn)一步減小，但樁頂出現(xiàn)了較大的正彎矩.因此，在樁身材料相同的情況下，樁頂固定時(shí)的受力最為不利.

其次，在P-Δ效應(yīng)上，如圖15所示樁頂自由時(shí)由于樁頂有較大的側(cè)向變形，且缺乏有效支撐.故當(dāng)承受KN=80%的軸向荷載時(shí)，樁的最大水平位移和最大彎矩相對于無軸向荷載時(shí)增大了12.2%和11.0%.而當(dāng)樁頂存在有效約束時(shí)，這個(gè)增幅則將大幅減小.即樁頂約束的存在明顯降低了土體側(cè)移和既有軸力耦合作用帶來的附加不利影響.

圖15 不同樁頂約束條件的最大位移、最大彎矩增幅對比Fig.15 Comparison of increase in maximum displacements and maximum bending moments with different boundary conditions of pile head

4 結(jié)語

本文基于Winkler地基模型，引入樁身軸力作用建立了近似考慮土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用下的單樁撓曲微分方程，并采用兩階段法進(jìn)行求解.分析結(jié)果表明，相對于土體側(cè)移單獨(dú)作用時(shí)，土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用所產(chǎn)生的P-Δ效應(yīng)對于樁基受力和變形特性具有一定的影響.

通過對樁身材料、土體彈性模量以及樁頂約束條件等影響因素的分析，研究了這些因素對受土體側(cè)移作用軸向受荷單樁承載性狀的影響程度，其中樁頂約束條件對樁的位移和彎矩分布特性具有顯著影響.同時(shí)算例分析也表明了由于P-Δ效應(yīng)，土體側(cè)移與軸向荷載的耦合作用確實(shí)不符合簡單的疊加效應(yīng).結(jié)合Poulos等［12］提出的樁-樁相互作用系數(shù)概念，本文分析方法還可以進(jìn)一步推廣到群樁受土體側(cè)移與軸向荷載耦合作用的分析中.

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