任意兩斜方向間角應變的一個公式

王岷,張嶺,張莉輝

(河北大學建筑工程學院,河北保定 071002)

任意兩斜方向間角應變的一個公式

王岷,張嶺,張莉輝

(河北大學建筑工程學院,河北保定 071002)

基于連續(xù)介質(zhì)力學隨體導數(shù)的概念,以隨體微分代之以隨體導數(shù),應用于彈性體應變分析中,得出了彈性體任意兩斜方向間角應變的一個公式,并對該公式的正確性進行了驗證.

彈性體;隨體導數(shù);隨體微分;斜方向;角應變

彈性體的變形可歸結為用任意兩點間線段長度的改變和任意兩線段間相對夾角的改變來表征,為了敘述方便,在小變形的前提下,將線段間夾角的改變也稱作角應變.

關于彈性體的應變分析已有非常系統(tǒng)的理論和結果,但相對來講,還有待進一步完善[1].關于任意兩斜方向上的角應變分析,許多文獻都有類似的討論,結果也大致相同,公式的形式應用起來不是十分方便[2-5].

由于考察彈性體變形時不必考慮時間效應,本文借鑒文獻[6]的方法,以隨體微分代之以隨體導數(shù),應用于彈性體應變分析中,給出了彈性體任意兩斜方向間角應變的一個公式,并對該公式的正確性進行了驗證.此公式形式簡單,應用起來相對比較方便、容易.

1 彈性體的位移和變形

圖1 彈性體的位移和變形Fig.1 Displacement and deformation of an elastic body

稱為線元δr隨體微分.

記δV=V-V0,易見

將M點的位移V在M0點Tay lor展開,略去高階項,有

2 任意兩斜方向間的角應變

由式(3)和式(4),得

在M0點沿任意兩單位斜方向 N1=(l1,m1,n1),N2=(l2,m2,n2),取兩物質(zhì)線元δr1和δr2,則有

其中I=δij為單位張量,θ12即任意兩斜方向N1和N2之間的角應變,以減小為正,反之為負,εN1,εN2分別為N1和N2方向的線應變.

N1×N2≠0時,式(10)可改寫為

式(11)即任意兩斜方向N1=(l1,m1,n1),N2=(l2,m2,n2)間角應變公式.

3 討論

為了說明結果的正確性,從公式(9)出發(fā)做如下討論:

1)N1=N2=N時,|N1×N2|=0,N1·N2=1,由式(9)得到εN=N·S·N,即得到任意 N=(lmn)方向線元的線應變公式

于是,得到任意兩正交線元間的角應變公式

若取[N1,N2]分別為[i,j],[j,k]和[k,i]時,θ12即分別為γxy,γyz和γzx.可見公式(11)是正確的.

4 結論

以上討論表明公式(9)是正確的,同時也驗證了任意兩斜方向間角應變公式(11)的正確性.公式(11)的形式比較簡單,應用起來相對比較便利、容易,但對于有限變形此公式不適用.

[1]嚴宗達.建議一個角應變的新定義[J].應用數(shù)學和力學,1984,5(1)：103-109.

[2]徐芝綸.彈性力學：上冊[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3]吳家龍.彈性力學[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4]TIMOSHENKO S P,GOOD IER J N.Theory of elasticity[M].Beijing：Tsinghua University Press,2004：15-33.

[5]UGURAL,A C,FENSTER S K.Advanced strength and app lied elasticity[M].Upper Saddle River,N J：Prentice Hall PTR,2003.

[6]吳望一.流體力學[M].北京：北京大學出版社,2005.

Formula of Shear Strain Between Two Arbitrary Oblique Directions

WANGMin,ZHANGLing,ZHANGLi-hui
(College of Civil Engineering and A rchitecture,Hebei University,Baoding 071002,China)

Based on the concep t of material derivative for continuum mechanics,usingmaterial differential in p lace of material derivative and applying it to strain analysisof the elasticity solid,a formula of shear strain between two arbitrary oblique directions in the elastic body wasobtained,the accuracy of the formula was also verified.

elastic body;material derivative;material differential;oblique direction;shear strain

O 343.5

A

1000-1565(2011)04-0352-04

2010-09-20

河北省教育廳科研基金資助項目(2005128)

王岷(1965-),男,河北保定人,河北大學教授,主要從事應用數(shù)學與力學方面的研究.

E-mail：wangmin@hbu.edu.cn

王蘭英)