基于滑動窗DFNN的含有復(fù)雜條款認(rèn)股權(quán)證定價模型

孫 彬， 李鐵克

(北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 100083)

基于滑動窗DFNN的含有復(fù)雜條款認(rèn)股權(quán)證定價模型

孫 彬， 李鐵克

(北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 100083)

將Black-Scholes模型與動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，構(gòu)建一種含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證定價模型.通過設(shè)定一定長度的滑動窗來保持采用固定長度的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型結(jié)果參數(shù)調(diào)整，同時采用動態(tài)調(diào)整前提參數(shù)策略，確保定價模型的泛化能力.以我國權(quán)證市場中認(rèn)股權(quán)證阿膠EJC1為例進(jìn)行分析，結(jié)果表明，提出的定價模型與RBF模型相比準(zhǔn)確性較高，并且對權(quán)證價格走勢判斷較為準(zhǔn)確.

認(rèn)股權(quán)證定價； Black-Scholes模型； 滑動窗口； 動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

0 引言

自Black-Scholes(B-S)期權(quán)定價模型建立以來，該模型便成為權(quán)證定價的理論基礎(chǔ)[1]，國內(nèi)外很多學(xué)者對認(rèn)股權(quán)證的定價都進(jìn)行了深入的研究[2-4].但是權(quán)證價格的變化是模糊的，變化的規(guī)律是不清晰的，變化的結(jié)果具有高度容錯性，并具有復(fù)雜的動態(tài)非線性特征.B-S定價模型難以反映這種復(fù)雜性，在實際操作上易產(chǎn)生價格偏誤等問題.為了避免在嚴(yán)格假設(shè)下參數(shù)化模型的不足，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在期權(quán)定價中得到了廣泛的關(guān)注和研究[5-9].混合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由文獻(xiàn)[6]提出并最早將其用于期權(quán)定價，它是通過BP網(wǎng)絡(luò)來擬合參數(shù)化模型和實際市場價格差對期權(quán)進(jìn)行定價.對混合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究表明[7]，由于其部分減輕了上述缺陷而使其預(yù)測結(jié)果要好于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和經(jīng)典的B-S模型.而模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)既可以解決傳統(tǒng)模糊推理中隸屬函數(shù)的系統(tǒng)設(shè)計，又可以解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的黑箱問題；并且通過將專家知識結(jié)合到模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，可以提高收斂速度、縮短訓(xùn)練時間.因此，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成為針對非線性系統(tǒng)仿真研究的一個熱點(diǎn)，并形成了一個較為完善的體系[10-11].現(xiàn)有模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要存在4點(diǎn)不足：①網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)選取主觀化或在結(jié)構(gòu)設(shè)計時僅利用樣本的輸入信息而未利用輸出信息和誤差信息，從而造成網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)過訓(xùn)練或過擬合現(xiàn)象；②神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的作用都只是對模糊系統(tǒng)參數(shù)的學(xué)習(xí)和優(yōu)化，并對可能的變化在參數(shù)上作自適應(yīng)調(diào)整，而較少有針對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計；③網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)方式多為BP算法，但是BP算法具有速度較慢且容易陷入局部極小點(diǎn)的缺陷；④網(wǎng)絡(luò)多為靜態(tài)模型，不適用于在線控制.

針對以上問題，作者結(jié)合B-S模型與動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(dynamic fuzzy neural network，DFNN)建立含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證定價模型；并通過設(shè)定滑動窗口使得模型保持采用固定長度的數(shù)據(jù)來調(diào)整參數(shù)，避免數(shù)據(jù)飽和.本模型可以實現(xiàn)參數(shù)估計與結(jié)構(gòu)辨識同時進(jìn)行以及對認(rèn)股權(quán)證定價的動態(tài)在線控制.

1 含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證定價模型

2 滑動窗動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

DFNN是以認(rèn)股權(quán)證定價公式(warrants pricing model，WPM)為基礎(chǔ)，訓(xùn)練結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，用權(quán)證市場價格與WPM計算價格之差作為DFNN的指導(dǎo)信號.DFNN模型訓(xùn)練好之后，固定網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及模糊規(guī)則.根據(jù)新的權(quán)證輸入數(shù)據(jù)，得到模型的定價輸出，具體結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示.

(a)

(b)

圖2 DFNN的結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of DFNN

2.1DFNN結(jié)構(gòu)

DFNN的結(jié)構(gòu)是一個擴(kuò)展的徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與Takagi-Sugeno-Kang(TSK)模型相結(jié)合的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)如圖2所示.

x1,x2,…,xr是輸入的語言變量，y是系統(tǒng)的輸出，MFij是第i個輸入變量的第j個隸屬函數(shù)，Rj是第j條模糊規(guī)則，Nj表示第j個歸一化結(jié)點(diǎn)，wj是第j個規(guī)則的結(jié)果參數(shù)或者連接權(quán)，u是系統(tǒng)總的規(guī)則數(shù),i=1,2,…,r,j=1,2,…,u.

第一層：輸入層.每個節(jié)點(diǎn)代表一個輸入的語言變量.

第二層：隸屬函數(shù)層.每個節(jié)點(diǎn)分別代表一個隸屬函數(shù)，該隸屬函數(shù)采用高斯函數(shù):

(1)

其中，μij是xi的第j個隸屬函數(shù)，cij是xi的第j個隸屬函數(shù)的中心，σj是xi的第j個高斯隸屬函數(shù)寬度.r是輸入變量數(shù)，u是隸屬函數(shù)的數(shù)量，即系統(tǒng)總的規(guī)則數(shù).

第三層：T-范數(shù)層.每個結(jié)點(diǎn)分別代表一個可能的模糊規(guī)則中IF-部分.第j個規(guī)則Rj的輸出為

(2)

其中，X=(x1,x2,…,xr)∈Rr,Cj=(x1j,x2j,…,xrj)∈Rr，是第j個RBF單元的中心.

第四層：歸一化層.這些節(jié)點(diǎn)為N節(jié)點(diǎn)，第j個節(jié)點(diǎn)Nj的輸出為

(3)

第五層：輸出層.每個節(jié)點(diǎn)分別表示一個輸出變量，該變量是所有輸入信號的疊加,即

(4)

其中，y是輸出變量，wk是THEN-部分或第k個規(guī)則的連接權(quán).對于TSK模型,

wk=αk0+αk1x1+…+αkrxr,k=1,2,…,u.

(5)

將式(2)、(3)、(5)帶入式(4),則

(6)

2.2DFNN學(xué)習(xí)算法

Step0初始化模型預(yù)定義參數(shù)：輸入空間的最大長度dmax，最小長度dmin，衰減常數(shù)γ(0<γ<1)；模型設(shè)定最大誤差emax，期望精度emin，收斂常數(shù)β(0<β<1)；初始高斯隸屬函數(shù)寬度σ0；RBF神經(jīng)元重疊因子k(k>1)；RBF神經(jīng)元寬度更新因子kw(kw>1)；模糊規(guī)則顯著性閾值kerr；

Step1當(dāng)?shù)谝粋€觀測數(shù)據(jù)(X1,t1)得到后，此時DFNN還沒有建立起來，因此C1=X1,σ1=σ0；

Step4當(dāng)?shù)趇個觀測數(shù)據(jù)(i=1,2,…,n;n>ls)進(jìn)入滑動窗時，判斷i≤ls是否成立，若是，則所有的數(shù)據(jù)保留在窗中，轉(zhuǎn)Step 6；否則，轉(zhuǎn)Step 5；

Step5窗中數(shù)據(jù)通過接受ls個最新的數(shù)據(jù)，并刪除最舊的數(shù)據(jù)進(jìn)行更新，轉(zhuǎn)Step 6；

Step6根據(jù)文獻(xiàn)[12]提出每個RBF單元的可容納邊界不是固定的而是動態(tài)調(diào)整的：開始可容納邊界設(shè)置較大，以實現(xiàn)全局學(xué)習(xí)，隨著學(xué)習(xí)邊界逐漸減小，開始局部學(xué)習(xí).令動態(tài)參數(shù)kd=max[dmax×γi,dmin]，判斷dmin>kd是否成立，若是則轉(zhuǎn)Step 7；否則，轉(zhuǎn)Step 9；

Step8根據(jù)文獻(xiàn)[13]提出的誤差下降率作為修剪策略：ηi反應(yīng)第i個規(guī)則的重要性，ηi越大表示第i個規(guī)則越重要.判斷ηi

W=(α10…αu0α11…αu1…α1r…αur)；Ψ=(φ,φX1,…,φXr)T∈R(r+1)u×n.

Step11判斷i

3 仿真實驗與分析

3.1實驗數(shù)據(jù)及預(yù)處理

對含有復(fù)雜條款認(rèn)股權(quán)證的定價研究將對認(rèn)股權(quán)證的投資起直接的指導(dǎo)作用，同時也可以提供風(fēng)險控制策略支持，因而具有重要的實際意義.以認(rèn)股權(quán)證阿膠EJC1為研究對象，選取其上市時間2008-07-18至2009-04-09共175個樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行定價分析，其中選取2008-07-18至2009-01-20的權(quán)證數(shù)據(jù)與標(biāo)的股票數(shù)據(jù)作為模型的訓(xùn)練樣本，2009-01-21至2009-03-24的相應(yīng)數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù).認(rèn)股權(quán)證阿膠EJC1(031007)的標(biāo)的股票為東阿阿膠(000423)，發(fā)行人為山東東阿阿膠股份有限公司.權(quán)證存續(xù)起始日為2008-07-18，存續(xù)終止日為2009-07-18；行權(quán)起始日為2009-07-13，行權(quán)終止日為2009-07-17.公司的流通股股數(shù)N為40 244.28萬股，認(rèn)股權(quán)證份數(shù)m為13 094萬份，執(zhí)行比例n為1∶1，初始執(zhí)行價X為5.50元；公司于2008-08-27日針對2007年業(yè)績實施分紅，8月28日除權(quán)后，認(rèn)股權(quán)證的最新執(zhí)行價X為5.434 9元.

因此，模型的輸入指標(biāo)為GT，X，T-t，r，σs，VG,i，Wi，VW,i，其中，Wi為認(rèn)股權(quán)證第i天的日收盤價，VG,i，VW,i分別為標(biāo)的股票與認(rèn)股權(quán)證第i天與第i-1天成交量自然對數(shù)的差(i=1,2,…,164).考慮到DFNN要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，設(shè)樣本數(shù)據(jù)為xi(i=1,2,…,n)轉(zhuǎn)化為[-1,+1]區(qū)間的數(shù)據(jù).

3.2實驗評價指標(biāo)

采用以下評價指標(biāo)：v1是規(guī)格化的均方誤差，v2是平均絕對差，v3是方向一致性指標(biāo).其中，v1與v2是對預(yù)測值偏離實際值的一種度量，值越小表示預(yù)測的結(jié)果越準(zhǔn)確.v3則能衡量出定價方向的正確比率，值越大表示一致性越高.計算方法為

3.3實驗環(huán)境與結(jié)果分析

采用Matlab語言在PC Pentium 4 /CPU 3.0 GHz /RAM 1.0 G上編程實現(xiàn)上述模型.為了測試模型的有效性，將模型對認(rèn)股權(quán)證阿膠EJC1的定價與實際價格進(jìn)行比較.

實驗1：DFNN模型滑動窗參數(shù)對定價效果的影響.

窗長度ls在辨識時變系統(tǒng)中起著非常重要的作用.較小的ls將會導(dǎo)致極大地遺漏前面的數(shù)據(jù)，而較大的ls可能導(dǎo)致DFNN的更新能力下降，使得模型的參數(shù)無法辨識.如圖3所示，當(dāng)ls∈[90,100)時，v1隨著ls值的變大而變小，v3先保持不變，后逐漸變大；當(dāng)ls∈[100,118]時，v1隨著ls的增大而逐漸平緩，同時v3先變大隨后逐漸平緩；當(dāng)ls∈(118,125]時，雖然v1仍有一定改善，但代表定價方向正確比率的v3卻降低了.因此，經(jīng)過比較,選取滑動窗長度ls=118.

(a) ls與v1的關(guān)系圖

(b) ls與v3的關(guān)系圖

圖4 非線性動態(tài)系統(tǒng)辨識Fig.4 Nonlinear dynamic system identification

實驗2：DFNN模型與RBF模型定價評價指標(biāo)比較.

DFNN模型的各項評價指標(biāo)分別為：v1=0.084 5<0.120 2,v2=0.017 0<0.021 4,v3=82.05>69.23，不僅在精確度方面比RBF模型有所提高，而且在定價方向一致性上有較大改善.DFNN模型以WPM模型的定價結(jié)果與權(quán)證實際結(jié)果的差值作為指導(dǎo)信號，并結(jié)合標(biāo)的股票市場及權(quán)證市場中的交易量變化率等能夠反應(yīng)市場能量的指標(biāo)，使得DFNN不僅具有傳統(tǒng)權(quán)證定價一致性較好的優(yōu)勢，同時能通過DFNN智能學(xué)習(xí)真實市場中的信息，實現(xiàn)定價的精確性.

DFNN模型能根據(jù)樣本特征動態(tài)生成模糊規(guī)則，如圖4所示，經(jīng)過124個訓(xùn)練數(shù)據(jù)，規(guī)則數(shù)穩(wěn)定在2.但規(guī)則數(shù)保持穩(wěn)定不代表規(guī)則不變，當(dāng)新的樣本數(shù)據(jù)加入，前提參數(shù)(寬度)和結(jié)果參數(shù)一直保持更新，而且一條新規(guī)則的產(chǎn)生可能會剔除一條或兩條已有的規(guī)則而同樣保持系統(tǒng)的精確.

另外，模型可以根據(jù)自動生成的模糊規(guī)則建立針對含有復(fù)雜條款認(rèn)股權(quán)證的專家規(guī)則庫.設(shè)xi,j表示第j個輸入樣本的第i維向量(i=1,2,…,5,j=1,2,…,40)，根據(jù)DFNN推導(dǎo)出模糊規(guī)則為

Rk:ifx1,jisμ1,kandx2,jisμ2,kandx3,jisμ3,kandx4,jisμ4,kandx5,jisμ5,kandx6,jisμ6,kandx7,jisμ7,kandx8,jisμ8,kthenuk,jisφk,j.

根據(jù)式(5)知,結(jié)果參數(shù)wk,j為

w1,j=517.75+180.94x1,j+12.60x2,j+434.04x3,j-276.95x4,j-283.50x5,j-16.39x6,j-217.96x7,j-5.12x8,j,

w2,j=-514.59-184.81x1,j-13.01x2,j-429.89x3,j+273.83x4,j-281.63x5,j+16.02x6,j+221.02x7,j+5.19x8,j.

最后，由式(6)推出含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證DFNN定價模型為y(X)=w1·φ1,j+w2·φ2,j.

4 結(jié)束語

針對含有復(fù)雜條款的認(rèn)股權(quán)證構(gòu)建了基于DFNN的定價模型.該模型無需對復(fù)雜、非線性且具有嚴(yán)重不確定性的金融系統(tǒng)提出經(jīng)驗性假設(shè)條件，可利用傳統(tǒng)認(rèn)股權(quán)證定價模型以及相關(guān)的輸入/輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)并進(jìn)行預(yù)測.DFNN定價模型能夠提取模糊規(guī)則，動態(tài)生成網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)，自動進(jìn)行輸入空間劃分.ERR修剪技術(shù)的應(yīng)用，使得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不會持續(xù)增長，避免了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過擬合及過訓(xùn)練現(xiàn)象，確保了定價模型的泛化能力.研究DFNN定價模型滑動窗長度的取值范圍，并針對阿膠EJC1確定了最優(yōu)窗口長度.仿真結(jié)果表明，所提出的DFNN認(rèn)股權(quán)證模型定價準(zhǔn)確性較高，具有傳統(tǒng)認(rèn)股權(quán)證定價模型對權(quán)證走勢判斷較為準(zhǔn)確的特點(diǎn)，為研究認(rèn)股權(quán)證定價提供了一種新思路，具有一定的理論意義和工程應(yīng)用價值.

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SlidingWindowedDFNNPricingModelofWarrantswithComplexTerms

SUN Bin， LI Tie-ke

(SchoolofEconomicsandManagement,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083,China)

A pricing model of warrants with complex terms was proposed based on dynamic fuzzy neural network (DFNN) and Black-Scholes model．In order to get optimized result-parameters of model with fixed-length time series data,a sliding window was set for DFNN．A dynamic adjustment approach of premise parameters was introduced to improve generalization ability of the model．Comparing with RBF pricing model,DFNN showed smaller deviation and higher accuracy in pricing EJiao EJC1．

warrant pricing;Black-Scholes model;sliding window;DFNN

F 830.91

A

1671-6841(2011)04-0104-06

2011-03-04

國家自然科學(xué)基金資助項目，編號70771008，70371057.

孫彬(1983-)，男，博士研究生，主要從事金融工程及人工智能研究，E-mail:sunbinangel@yahoo.com.cn.