第二型二元含參量正常積分函數(shù)的分析性質(zhì)

顧先明

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

第二型二元含參量正常積分函數(shù)的分析性質(zhì)

顧先明

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

根據(jù)含參量正常積分（積分限量函數(shù)的情形）的定義，類似地給出了第二型含參量正常積分函數(shù)的定義。研究發(fā)現(xiàn)第二型二元含參量正常積分函數(shù)在其定義域上具有連續(xù)性、可微性、可積性等分析性質(zhì)，最后給出了一些應(yīng)用實(shí)例。

含參變量正常積分函數(shù)；連續(xù)性；可微性；可積性

1 引理及預(yù)備知識(shí)

許多數(shù)學(xué)分析（或微積分學(xué)）教材都對(duì)含參變量正常積分做了較為細(xì)致的研究，均得到了含參量正常積分在其定義域上，當(dāng)被積函數(shù)滿足一定條件后可以具有連續(xù)性、可微可積性等結(jié)果，但后繼的研究多集中在對(duì)已有結(jié)果的條件做改進(jìn)或推廣，對(duì)含參量正常積分中被積函數(shù)推廣研究不多見(jiàn)。文[1]把含參量正常積分（積分限量為常數(shù)）的被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)（甚至是n元函數(shù)）后，定義了一類二元含參量正常積分函數(shù)，并發(fā)現(xiàn)它在定義域上也具有連續(xù)性、可微性、可積性。本文將含參量正常積分（積分限量為常數(shù)）的被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)，相應(yīng)的積分限函數(shù)推廣到二元函數(shù)。然后定義了一類第二型二元含參量正常積分函數(shù)，進(jìn)而探討該類函數(shù)的分析性質(zhì)，并給出了一些實(shí)例。

定義1 一般地設(shè)f(x,y,z)為定義在區(qū)域

G ={(x, y, z) |α(x, y) ≤z ≤ β(x, y )(x, y) ∈ [a, b ]×[c, d ]}

上的三元函數(shù)，其中α (x ,y),β(x,y)為定義在矩形區(qū)域

上的連續(xù)函數(shù)，若對(duì)于

上有一固定點(diǎn)P( x, y)， f( x, y, z)作為z的函數(shù)在閉區(qū)間

上可積，則其積分值是(x,y)在矩形區(qū)域

上取值函數(shù)，記作F(x,y)，則有

把形如⑴式的函數(shù)稱為第二型二元含參量正常積分函數(shù)（以下簡(jiǎn)稱函數(shù)(1)）。

引理1 若 f( x,y,z)是定義在有界閉區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)，那么函數(shù) f( x,y,z)在D上必可積。

引理 2 設(shè)函數(shù)f(x,y)的各偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)( x0, y0)的某個(gè)鄰域上存在偏導(dǎo)數(shù)，在( x0, y0)點(diǎn)連續(xù)，那么f在點(diǎn)(x0,y0)處可微。

定理1 設(shè)函數(shù)f(x,y,z)為定義在區(qū)域

G ={(x, y, z) |α(x, y) ≤z ≤ β(x, y )(x, y) ∈ [a, b ]×[c, d ]}上的連續(xù)函數(shù)，其中α (x ,y),β(x,y)為矩形區(qū)域

2 主要結(jié)果及證明

上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)域

上連續(xù)。

證明 設(shè)P0( x0,y0)為 D= [a,b ]×[c,d ]

上任意一點(diǎn)，要證：

因?yàn)?/p>

其中F1( x, y)，F(xiàn)2( x, y)，F(xiàn)3( x, y)分別為上式右端的三個(gè)積分。積分 F1(x,y)的積分限量是常數(shù)，滿足文[1]的條件，故

另外

其中

再根據(jù) α(x ,y),β(x,y )的連續(xù)性，知(5)式右端趨于零，當(dāng)(x, y)→ (x0,y0)時(shí)，從而

由(3)、(4)及(5)式即知(2)式正確。證畢。

定理2 設(shè) f( x, y, z) , fx'( x, y, z) , fy'(x, y, z )都在長(zhǎng)方體區(qū)域

上連續(xù)，又設(shè) α(x ,y),β(x,y)在矩形區(qū)域

上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足

則函數(shù)

在D= [a,b ]× [c,d]上分別關(guān)于x,y可微，即

證明 這里只證(7)，(8)類似。

由于 F1(x,y)的積分限量是常數(shù)，滿足文[1]中定理3的條件，故有

此外，由積分第一中值定理，可知

其中z在 β( x0, y0)與β( x,y0)之間，令(10)式中 x→ x0，并注意到此時(shí)→β(x0,y0)，即得

同理可證

由(3)、(9)以及(11)、(12)，即知(7)當(dāng) (x,y)= ( x0, y0)時(shí)成立，由( x0, y0)可為矩形區(qū)域 D= [a,b] × [c,d ]中任一點(diǎn)，故知(7)對(duì)一切 (x, y)∈ [a,b]× [c,d]都成立。證畢。

推論1 若函數(shù) f( x,y,z)滿足定理2的條件，則函數(shù)F (x,y)在矩形區(qū)域 D= [a,b ]× [c,d ]上可微。

證明 由定理2可知，F(xiàn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)分別為

結(jié)合定理1，可知Fx(x,y)和Fy(x,y)的右端均是連續(xù)函數(shù)，即 Fx(x,y)和Fy(x,y)在定義域上存在且連續(xù)，再由引理1知，F(xiàn)(x,y)在矩形區(qū)域 D= [a,b] × [c,d ]上可微。

定理3 設(shè)函數(shù) f( x,y,z)在區(qū)域

G ={(x, y, z) |α(x, y) ≤z ≤ β(x, y) (x, y) ∈[a, b ]×[c, d ]}上連續(xù)，其中α ( x, y) , β( x, y)為矩形區(qū)域

上連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)域 D= [a,b] × [c,d ]上可積。

證明 由定理1可知F(x,y)在 D= [a,b] × [c,d ]上連續(xù)，再結(jié)合[1]文引理1可知F(x,y)在D上可積。

從上述的證明過(guò)程可以看出，當(dāng)將含參量正常積分（積分限量為函數(shù)）的被積函數(shù)推廣到三元以上函數(shù)，仍可以得到如前文所述的分析性質(zhì)。

3 一些實(shí)例

例1 設(shè)

其中f(z)為可微函數(shù)，求 Fxy"(x, y)。

解 由已知條件并結(jié)合定理2知

所以

例2 設(shè)f(x)二階可微，F(xiàn)(x)可微，證明：

滿足弦振動(dòng)方程及初值條件 u( x, 0) =f( x)， ut( x, 0) =F( x)。

證明 分別對(duì)x與t應(yīng)用定理4

則由(14)和(15)知

即u(x,t)是弦振動(dòng)方程

的解，且滿足

注 式(13)在偏微分方程中被稱為無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)達(dá)朗貝爾（d’ Alembere）公式或達(dá)朗貝爾（d’ Alembere）解。

[1] 顧先明.二元含參量正常積分函數(shù)的性質(zhì)[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,32(2)：41-44.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社,2006.

[3] 陳紀(jì)修等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社,2004.

[4] 常庚哲,史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京：高等教育出版社, 2003.

[5] 張筑生.數(shù)學(xué)分析新講[M].北京：北京出版社,2009.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

Analysis Characteristic of the Second Type of Normal Integral Function with Binary Parameter

GU Xian-ming

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

On the base of the definition of normal integral function (the case of integral limiter function), the definition and consequence of the second type with given parameters of normal integral function was carred out. It was found that, in its domain, this type of integral function was of continuity, differentiability and integrability. Some examples were given.

normal integral depending on a parameter; continuity; differentiability; integrability

唐山師范學(xué)院大學(xué)生科研立項(xiàng)項(xiàng)目

2010-04-25

顧先明（1989-），男，安徽壽縣人，唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系學(xué)生，研究方向?yàn)楹瘮?shù)論。

O172

A

1009-9115(2011)05-0022-03