對(duì)杯中球問題的探究與推廣

●(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 湖北武漢 430079)

對(duì)杯中球問題的探究與推廣

●李俊杰(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 湖北武漢 430079)

圖1

在拋物線形高腳杯中放進(jìn)球形物體，當(dāng)球的半徑不同時(shí)，球可以碰到杯底，也可以卡在杯口上，這就是杯中球問題[1]，其數(shù)學(xué)模型如圖1所示.

杯中球問題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)最短距離問題：在拋物線內(nèi)部，求拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)到拋物線的最短距離.

性質(zhì)1[1]設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，點(diǎn)M(m,0)(m>0).

(1)當(dāng)0

文獻(xiàn)[1]以開口向上的拋物線為例進(jìn)行了證明，筆者不再贅述.

推論1[1]設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，點(diǎn)M(m,0)(m>0)，在拋物線內(nèi)作以點(diǎn)M為圓心的內(nèi)切圓.

(1)當(dāng)0

(2)當(dāng)m>p時(shí)，圓與拋物線有2個(gè)切點(diǎn)，如圖3所示.

圖2

圖3

受杯中球問題的啟發(fā)，筆者也對(duì)橢圓和雙曲線進(jìn)行了類似的探究，橫向拓展得出了以下結(jié)論.

(1)當(dāng)m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時(shí)，點(diǎn)M到橢圓的最短距離為a-|m|；

證明設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則

|MP|2=(x-m)2+y2=

e2x2-2mx+m2+b2=

故當(dāng)m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時(shí)，|MP|min=a-|m|.

(1)當(dāng)m∈(-a,-ce]∪[ce,a)時(shí)，圓與橢圓有唯一切點(diǎn)，且切點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，如圖4所示;

(2)當(dāng)m∈(-ce,ce)時(shí)，圓與橢圓有2個(gè)切點(diǎn)，如圖5所示.

圖4

圖5

(1)當(dāng)m∈[-ce,-a)∪(a,ce]時(shí)，點(diǎn)M到雙曲線的最短距離為|m|-a;

證明設(shè)P(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則

m∈[-ce,-a)∪(a,ce].

當(dāng)m∈(a,ce]時(shí)，f(x)在x=a處取得最小值，此時(shí)

|MP|min=|a-m|=m-a；

當(dāng)m∈[-ce,-a)時(shí)，f(x)在x=-a處取得最小值，此時(shí)

|MP|min=|-a-m|=-m-a，

故當(dāng)m∈[-ce,-a)∪(a,ce]時(shí)，

|MP|min=|m|-a.

m∈(-∞,-ce)∪(ce,+∞).

(1)當(dāng)m∈[-ce,-a)∪(a,ce]時(shí)，圓與雙曲線有唯一切點(diǎn)，且切點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，如圖6所示;

(2)當(dāng)m∈(-∞,-ce)∪(ce,+∞)時(shí)，圓與雙曲線有2個(gè)切點(diǎn)，如圖7所示.

圖6

圖7

經(jīng)常討論焦點(diǎn)到圓錐曲線的最短距離問題，文獻(xiàn)[1]中已得出相關(guān)結(jié)論：圓錐曲線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)為其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，即以焦點(diǎn)為圓心，與之較近頂點(diǎn)連線為半徑的圓必內(nèi)切于該圓錐曲線，頂點(diǎn)為切點(diǎn).實(shí)際上，文獻(xiàn)[2]是本文的一個(gè)特例，本文是文獻(xiàn)[2]更一般的結(jié)論.

[1] 蔣聲，陳瑞琛.趣味解析幾何[M].上海：上海教育出版社，2007：283-285.

[2] 任志瑜.更應(yīng)該站在學(xué)生的角度來處理教材[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(9)：31-34.