利用無幾何模型求解 GPS三頻模糊度的成功率分析＊

常志巧 劉 利 郭 睿 劉雁雨

(北京環(huán)球信息應(yīng)用開發(fā)中心,北京 100094)

利用無幾何模型求解 GPS三頻模糊度的成功率分析＊

常志巧 劉 利 郭 睿 劉雁雨

(北京環(huán)球信息應(yīng)用開發(fā)中心,北京 100094)

利用無幾何模型求解 GPS模糊度實(shí)數(shù)解是不以基線分量為未知數(shù)的線性模型,碼觀測量幾乎直接用于確定模糊度,即使在較短的觀測時(shí)間內(nèi),也不會(huì)出現(xiàn)設(shè)計(jì)矩陣復(fù)共線性,對模糊度求解具有明顯優(yōu)勢。利用 Kronecker乘積導(dǎo)出了利用無幾何模型求解三頻模糊度及其協(xié)方差矩陣的表達(dá)式,分析得到該協(xié)方差矩陣只與偽距噪聲和相位噪聲之間的結(jié)構(gòu)以及采用的歷元數(shù)相關(guān),與接收機(jī)和衛(wèi)星之間的幾何構(gòu)形無關(guān);整數(shù)變換 Z矩陣只與偽距噪聲和相位噪聲之間的結(jié)構(gòu)相關(guān)的有益結(jié)論。最后利用無幾何模型分別計(jì)算了單頻、雙頻、三頻模糊度求解的成功率,得出對于雙頻和三頻只需少數(shù)歷元即可成功固定模糊度,特別對于三頻觀測,甚至單歷元即可成功固定模糊度。

GPS;無幾何模型;三頻模糊度求解;模糊度降相關(guān);成功率

1 引言

在相對定位中廣泛應(yīng)用有幾何模型和無幾何模型求解模糊度[1-4],前者可以用于求解位置參數(shù)和模糊度參數(shù),但在將該模型用于求解模糊度參數(shù)時(shí)需要的觀測時(shí)間較長,才能確保模糊度求解的成功率較高,原因在于若只觀測一個(gè)歷元,觀測方程的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù),法方程秩虧,秩虧數(shù)為 3,增加一個(gè)或幾個(gè)歷元的觀測可以使法方程滿秩,但并沒有使測站和衛(wèi)星之間的幾何構(gòu)型發(fā)生明顯的變化,這時(shí)的觀測方程設(shè)計(jì)矩陣存在嚴(yán)重的復(fù)共線性,復(fù)共線性的存在直接導(dǎo)致當(dāng)觀測量或設(shè)計(jì)矩陣有微小擾動(dòng)時(shí)會(huì)造成LS估計(jì)精度嚴(yán)重降低。無幾何模型是一種線性模型,不以基線分量為未知量,只能用于求解模糊度,該模型中碼觀測幾乎是直接用于確定整周模糊度[1],在單歷元就有可能使法方程滿秩,不會(huì)出現(xiàn)設(shè)計(jì)矩陣復(fù)共線性的關(guān)系。Teunissen[5]推導(dǎo)了雙頻無幾何觀測模型求解模糊度的協(xié)方差矩陣的表達(dá)式,得出了協(xié)方差矩陣與觀測歷元個(gè)數(shù)成反比,與偽距和相位觀測噪聲的結(jié)構(gòu)相關(guān)、與衛(wèi)星和測站的幾何構(gòu)型無關(guān)等結(jié)論。新一代衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)將具有或已有 3個(gè)頻率的偽距相位觀測量,因此研究三頻無幾何模型求解模糊度的協(xié)方差的表達(dá)式以及求解模糊度的成功率的大小是必要的,對于研究多長觀測時(shí)間能夠成功固定模糊度具有重要作用。

2 無幾何模型求解模糊度的實(shí)數(shù)解及協(xié)方差矩陣

2.1 無幾何模型求解模糊度

利用無幾何模型求解模糊度,針對的是單顆衛(wèi)星,單歷元無幾何模型可寫為：

式(1)具有電離層延遲參數(shù)的模型稱為電離層浮點(diǎn)模型 (ionosphere-float model),在短基線的情況下,認(rèn)為無雙差電離層殘差的影響,式(1)可以改寫為：

式 (2)稱為電離層固定模型 (ionosphere-fixed model)。在觀測多個(gè)歷元的情況下,三頻無幾何模型可以寫為：

其中,k為觀測歷元個(gè)數(shù),L=(L(1)T,…,L(k)T)T(L(i)=(L1(i),L2(i),L3(i))T,即 i時(shí)刻 3個(gè)相位觀測量),P=(P(1)T,…,P(k)T)T(P(i)=(P1(i), P2(i),P3(i))T,即 i時(shí)刻 3個(gè)偽距觀測量),ρ=(ρ (1)T,…,ρ(k)T)T為 k個(gè)歷元的個(gè)距離未知數(shù),N =(N1,N2,N3)T為 3個(gè)模糊度未知數(shù),ek=(1,…, 1)T,Ik=diag(1,…,1),Λ =diag(λ1,λ2,λ3)。E {·}為數(shù)學(xué)期望符號(hào),?為 Kronecker乘積,其定義和性質(zhì)參見文獻(xiàn)[6]。

2.2 實(shí)數(shù)解及協(xié)方差矩陣的推導(dǎo)

其中：

當(dāng)假設(shè)每個(gè)歷元每個(gè)頻率都具有相位和碼觀測量,且模糊度不隨歷元而改變時(shí),該模型的多余觀測量為 5k-3。對式 (4)應(yīng)用最小二乘原則產(chǎn)生的法方程為：

其中：

因此式(6)可寫為：

從式(11)可以看出,利用無幾何模型求解出的模糊度的協(xié)方差矩陣,與衛(wèi)星和測站的幾何構(gòu)形完全無關(guān),只與相位和偽距觀測量的精度以及歷元數(shù)相關(guān),若每顆衛(wèi)星的偽距和相位觀測精度一樣,模糊度估計(jì)的精度也是一致的。式 (11)還可以推廣到單頻和雙頻的情況,若是單頻,則令 d=0,相應(yīng)的碼噪聲矩陣 CL和相位噪聲矩陣 CP都是一維;若是雙頻,則令 d=[-1,1]T,相應(yīng)的碼噪聲矩陣 CL和相位噪聲矩陣 CP都是二維矩陣。

3 協(xié)方差矩陣特點(diǎn)及成功率

3.1 協(xié)方差矩陣特點(diǎn)

由于無幾何模型是基于單個(gè)衛(wèi)星對的情況,利用無幾何模型解算模糊度與測站衛(wèi)星之間的幾何配置無關(guān),只與參與計(jì)算的歷元數(shù)目,以及偽距噪聲和載波噪聲的結(jié)構(gòu)有關(guān)。設(shè)偽距噪聲為 0.3 m,各個(gè)頻率上的載波相位噪聲都為 0.01周 (本文中相位噪聲都采用該值)。

表1列出了利用式 (11)計(jì)算出的模糊度原始協(xié)方差矩陣,為了提高模糊度求解的精度、降低模糊度之間的相關(guān)性從而提高模糊度求解的成功率和搜索效率,對原始模糊度度進(jìn)行降相關(guān)處理,降相關(guān)處理后的協(xié)方差矩陣以及降相關(guān) Z矩陣分別列于表 1和表2。

觀察表 1和表 2可以得出：

1)隨著采用的歷元數(shù)的增加,原始模糊度和降相關(guān)后模糊度的精度都有所提高,但模糊度之間的相關(guān)系數(shù)保持不變,協(xié)方差矩陣的條件數(shù)保持不變。

2)在同一歷元,Z變換大大提高了原始模糊度的精度,降低了原始協(xié)方差矩陣的條件數(shù)和模糊度之間的相關(guān)系數(shù)。Z矩陣與接收機(jī)和衛(wèi)星的幾何構(gòu)形無關(guān),與所用歷元數(shù)無關(guān),只與偽距噪聲和相位噪聲的結(jié)構(gòu)相關(guān),可以事先在程序中設(shè)定,而無需每次都用降相關(guān)方法,可以節(jié)省機(jī)器時(shí)間。

表1 無幾何模型模糊度協(xié)方差矩陣(單位:周2)Tab.1 The ambiquity warance matrix geometry free model(un it:cycle2)

表2 無幾何模型模糊度降相關(guān)情況Tab.2 The ambiguity decorrelation representation of geometry free model

3.2 無幾何模型求解模糊度的成功率

這種情況下,整數(shù)最小二乘的成功率可以直接計(jì)算：

式中,N為估計(jì)的整數(shù)模糊度,N為真實(shí)的整數(shù)模糊度。

圖1顯示了相應(yīng)的成功率隨著歷元數(shù)增加的變化情況。對于碼觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.15 m達(dá)到99.9%的成功率需要的歷元數(shù)為 108,單歷元固定模糊度的成功率為 24.9%;對于碼觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.3 m時(shí),達(dá)到 99.9%的成功率需要的歷元數(shù)為431,單歷元固定模糊度的成功率為 12.6%。

圖1 單頻無幾何模型模糊度成功率Fig.1 The succes rate of ambiguity resolution for single frequency

假設(shè)模糊度的浮點(diǎn)解服從以模糊度的真值為均值的正態(tài)分布,模糊度求解的成功率只與浮點(diǎn)解的協(xié)方差矩陣和估計(jì)方法的零向量的歸整域有關(guān),與模糊度真值無關(guān)[7]。整數(shù)最小二乘具有最大的成功率,但沒有成功率的解析表達(dá)式,其下界計(jì)算公式為：

P(aB=a)為 B ootstrapping方法的成功率,是條件最小二乘模糊度的縮寫,是其中誤差,的計(jì)算方法參見文獻(xiàn)[8]。

對于采用雙頻數(shù)據(jù)的情況,例如L1、L2,這時(shí)模糊度變成 2維向量,不能直接計(jì)算成功率的表達(dá)式,其下界計(jì)算公式為：

圖2 雙頻無幾何模型模糊度成功率Fig.2 The success rate of ambiguity resolution for dual frequency

通過觀察該公式可以看出,不同的模糊度參數(shù)化方法將導(dǎo)致成功率的不同,本文計(jì)算成功率采用利用LAMBDA方法降相關(guān)后的模糊度向量來計(jì)算。圖 2顯示了相應(yīng)的成功率隨歷元數(shù)增加的變化情況。對于碼觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.15 m時(shí),達(dá)到99.9%的成功率需要的歷元數(shù)為 2,單歷元固定模糊度的成功率為99.4%,對于碼觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3 m時(shí),達(dá)到 99.9%的成功率需要的歷元數(shù)為 4,單歷元固定模糊度的成功率為 92.3%。

對于采用三頻頻數(shù)據(jù)的情況,不能直接計(jì)算成功率的表達(dá)式,其下界計(jì)算公式為：

圖3顯示了相應(yīng)的成功率隨歷元數(shù)增加的變化情況。對于碼觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.15 m時(shí),達(dá)到99.9%的成功率需要的歷元數(shù)為 1,對于碼觀測量的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.3 m時(shí),達(dá)到 99.9%的成功率需要的歷元數(shù)為 2,單歷元固定模糊度的成功率為99.45%。

圖3 三頻無幾何模型模糊度成功率Fig.3 The success rate ambiguity resolution for triple frequency

觀察圖 1～3可以看出,在單頻的情況下,無論采用低精度還是高精度的偽距成功固定模糊度所需的歷元數(shù)都較多(假設(shè) 99.9%的成功率認(rèn)為成功固定模糊度);在采用雙頻或三頻的情況下,只需少數(shù)幾個(gè)歷元即可成功固定模糊度。在相同的歷元個(gè)數(shù)下,隨著采用頻率數(shù)的增加,模糊度固定的成功率增加。

4 結(jié)論

在短基線情況下,假設(shè)雙差后觀測值不受電離層折射誤差的影響,且假設(shè)每個(gè)歷元都具有 3個(gè)頻率的碼和相位觀測量,首先將多個(gè)歷元的無幾何方法求解模糊度的模型寫成 Kronecker乘積形式,利用Kronecker乘積的特性和矩陣反演公式推導(dǎo)出了無幾何模型求解模糊度的協(xié)方差矩陣表達(dá)式,通過對該表達(dá)式的分析以及對協(xié)方差矩陣的降相關(guān)分解得出該協(xié)方差矩陣與衛(wèi)星和測站之間的幾何構(gòu)型無關(guān),模糊度的精度隨著歷元個(gè)數(shù)的增加而得到提高,但模糊度之間的相關(guān)系數(shù)以及整數(shù)變換 Z矩陣不變等有益結(jié)論。采用一定的偽距和相位噪聲配置,得出了單頻、雙頻、三頻模糊度求解的成功率,頻率越多,模糊度求解的成功率越高,在雙頻和三頻的情況下只需少數(shù)歷元即可成功固定,特別對于三頻觀測量,當(dāng)偽距精度較高時(shí),單歷元可成功固定模糊度。

1 Teunissen P J G.A canonical theory for short GPS baselines.Part I：The baseline precision[J].J Geod.,1997, 71：320-336.

2 Teunissen P J G.A canonical theory for short GPS baselines. Part II：The ambiguity precision and correlation[J]. J Geod.,1997,71：389-401.

3 Teunissen P J G.A canonical theory for short GPS baselines.Part III：The geometry of the ambiguity search space [J].J Geod.,1997,71：486-501.

4 Teunissen P J G.A canonical theory for short GPS baselines. Part I V：precision versus reliability[J].J Geod.,1997, 71：513-525.

5 Teunissen P J G.On the sensitivity of the location,size and shape of the GPS ambiguity search space to certain changes in the stochastic model[J].J Geod.,1997,71：541-551.

6 王松桂.線性模型的理論及其應(yīng)用[M].合肥：安徽教育出版社,1987.(Wang Songgui.The theory and application of linear model[M].Hefei：Anhui Education Publishing House,1987)

7 周揚(yáng)眉.GPS精密定位的數(shù)學(xué)模型、數(shù)值算法及可靠性理論[D].武漢大學(xué),2003.(Zhou Yangmei.The mathematical model,numerical algorithm and reliablility theory for GPS precise positioning[D].Wuhan University,2003)

8 常志巧.COMPASS衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)精密相對定位理論及其應(yīng)用研究 [D].解放軍信息工程大學(xué),2009.(Chang Zhiqiao.Research on COMPASS satellite navigation system precise relative positioning and its applications[D].PLA Information EngineeringUniversity,2009)

ANALYSIS OF SUCESS RATE FOR GPS THREE-CARRIER AM BIGUITY RESOLUTI ON USING GEOM ETRY FREEMODEL

Chang Zhiqiao,Liu Li,Guo Rui and Liu Yanyu
(B eijing Global Infor m ation Application and Developm ent Center,B eijing 100094)

Geometry free model for resolving GPS ambiguity is a linear model which does not take baseline components as unknown parameters.For the Geometry free model,the code observation is al most used in ambiguity resolution directly,and although the observation ti me span is very short,the design matrixwill not have characteristics ofmulticollinearity,so that the geometry free model is very useful in ambiguity resolution.In this paper,the expressions for triple frequency float ambiguities and covariance matrix for the geometry free model have been deduced by use of the Kronecker product.The phenomena that the expression of covariance matrix is independent from the geometry between the receiver and satellites but only relateswith code and phase noise and number of epochs,and theZ-transformation martrixZis independent of the geometry between the receiver and satellites and number of epochs but only relates with code and phase noise is discovered by analysing the expression.Furthermore,the success rate of ambiguity resolution for single frequency,dual frequency and triple frequency is computed respectively.At last,the conclusions that only a few epochs need fixing ambiguities for dual frequency and triple frequency,and especially for triple frequency only one epoch needs fixing ambiguities are drawn.

GPS;geometry free model;three-carrier ambiguity resolutions;ambiguity decorrelation;success rate

1671-5942(2011)04-0119-05

2011-01-24

武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室測繪基礎(chǔ)研究基金(10-014)

常志巧,女,1981年生,博士,主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理研究工作.E-mail：aqiaoyaan@yahoo.cn

P228

A