圓錐曲線切線作法的一次探究

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(溫州中學(xué) 浙江溫州 325014)

圓錐曲線切線作法的一次探究

●金長林

(溫州中學(xué) 浙江溫州 325014)

在解析幾何問題中，常遇到有關(guān)二次曲線的切線問題.對于這些問題一般都是聯(lián)立方程組，再利用判別式確定切線方程.而作為代數(shù)形式的幾何問題能否用幾何本身的方法作圖來解決呢？

對這個問題的思考源于對一個幾何命題的研究，命題如下：

圖1

命題1過圓O外任意一點(diǎn)A引圓的3條割線ABC,ADE，AFG,依次交圓于點(diǎn)B,C;D,E;F,G，如圖1.其中DC交BE于點(diǎn)H,EF交DG于點(diǎn)L,直線HL交該圓于點(diǎn)J,K,求證：AK,AJ都是該圓的切線.

引理1設(shè)圓O的方程為x2+y2=r2，P(x0,y0)為圓O外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的2條切線，切點(diǎn)分別為Q,R,則稱線段QR為圓O對應(yīng)于點(diǎn)A的切點(diǎn)弦，則直線QR的方程為：x0x+y0y=r2.

證明建立直角坐標(biāo)系，設(shè)Q(x1,y1),R(x2,y2)，則圓O在點(diǎn)Q處的切線方程為：x1x+y1y=r2，因?yàn)辄c(diǎn)P在此直線上，所以

同理可得

x0x2+y0y2=r2.

(2)

由式(1)，式(2)知,點(diǎn)Q(x1,y1),R(x2,y2)在直線x0x+y0y=r2上，因此直線QR的方程為

x0x+y0y=r2.

圖2

引理2圓的外切四邊形的對角線及對邊的切點(diǎn)的連線四線共點(diǎn).

同理可得

由弦切角性質(zhì)可知∠AHG+∠CGH=π,因此

sin∠AHG=sin∠CGH.

同理可得

sin∠AEF=sin∠CFE.

比較式(3),式(4)可得

易得β=γ，從而A,P,C三點(diǎn)共線.同理可得B,P,D三點(diǎn)共線，故AC,BD,EF,GH四線共點(diǎn).

有了以上2個引理的幫助，可得引理3.

圖3

引理3如圖3，設(shè)PAB,PDC為圓O的2條割線，AC,BD交于點(diǎn)X,則點(diǎn)X在圓O對應(yīng)于P的切點(diǎn)弦上.

證明如圖3，分別作圓O在A，B，C，D點(diǎn)處的切線，設(shè)圓在A，B處的切線交于點(diǎn)Y,圓在C，D處的切線交于點(diǎn)T.根據(jù)引理2可得,Y，X,T三點(diǎn)共線，于是可建立直角坐標(biāo)系.設(shè)P(x0,y0)，Y(x1,y1),T(x2,y2),圓的半徑為r,則由引理1知,直線AB的方程為

x1x+y1y=r2.

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線AB上，所以

x0x1+y0y1=r2.

同理可得

x0x2+y0y2=r2,

易知點(diǎn)Y(x1,y1),T(x2,y2)在直線x0x+y0y=r2上.又因?yàn)閅,X,T三點(diǎn)共線,所以點(diǎn)X在直線x0x+y0y=r2上，即點(diǎn)X在圓O對應(yīng)于P的切點(diǎn)弦上.

通過以上3個引理的證明,可知原命題正確,并可推出如下結(jié)論.

結(jié)論單用直尺，過圓外一點(diǎn)可作出過該點(diǎn)的圓的切線.

圓的切線作法以及證明可促使我們進(jìn)一步思考:能否推廣到所有的二次曲線中？

命題2圓錐的頂點(diǎn)為P,從底面圓所在平面β上一點(diǎn)A向該圓引2條切線，切點(diǎn)分別為B,C，一個平面α截圓錐所得的截面是圓錐曲線，連結(jié)PA,PB,PC,PB,PC交該圓錐曲線分別為點(diǎn)D,E.設(shè)PA交α于點(diǎn)F,則FD,FE為該圓錐曲線的切線(圓錐的底面可以離頂點(diǎn)任意遠(yuǎn)).

證明(1)當(dāng)圓錐曲線為橢圓時，由已知可得點(diǎn)P，B，D，A，F(xiàn)共面，設(shè)共面于γ;點(diǎn)P,E,C,A,F共面，設(shè)共面于φ.假設(shè)FE不是橢圓的切線，則FE與橢圓還有另一個交點(diǎn)I.因?yàn)?/p>

E,F∈φ,I∈EF,

所以

I∈φ，I，E，F(xiàn)∈α.

連結(jié)PI交圓于點(diǎn)N,則N∈β.由N∈PI,P,I∈φ，可得N∈φ，因此點(diǎn)N，A，C是β和φ的公共點(diǎn)，從而N,A,C三點(diǎn)共線，這與AC是底面圓的切線矛盾.故FE為該橢圓的切線,同理可得,FD也為橢圓的切線.

(2)當(dāng)圓錐曲線是拋物線或雙曲線時,同理亦可得證(因篇幅關(guān)系，此處略).

圖4 圖5

引理4在同一平面內(nèi)，圓錐曲線外的一點(diǎn)F向該圓錐曲線引2條割線FGH，F(xiàn)IJ交該圓錐曲線依次分別為G，H；I，J.連結(jié)HI，GJ交于點(diǎn)N,則點(diǎn)

N在該圓錐曲線對應(yīng)于F的切點(diǎn)弦上(這里切點(diǎn)弦的定義同圓的切點(diǎn)弦的定義).

證明(1)當(dāng)圓錐曲線為橢圓時，設(shè)橢圓在α內(nèi)，對應(yīng)的圓在β內(nèi)，連結(jié)PF交β于點(diǎn)A,PG,PH,PJ,PI分別交圓于點(diǎn)K,O,Q,R，連結(jié)KQ,JR交于點(diǎn)M.設(shè)P,F,G,H共面于φ，P,F,I,J共面于γ，易證A，O，K∈φ.又A,O,K∈β，因此A，O，K三點(diǎn)共線.同理可得A,R,Q三點(diǎn)共線,即AQ,AO為底面圓的割線.連結(jié)OR,QK交于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P,J,Q,K,G確定平面θ，點(diǎn)P,H,O,R,I確定平面σ，連結(jié)HI,GJ交于點(diǎn)N,因此

N∈GJ,M∈QK,

于是

M,N∈θ.

同理可得,M,N∈σ.又點(diǎn)P∈θ,P∈σ，所以P，M，N三點(diǎn)共線.設(shè)過點(diǎn)A的圓的切線為AS,AT,連結(jié)PS,PT交橢圓分別于點(diǎn)X,Y,則FX,FY為橢圓的切線.由已知得點(diǎn)M在直線ST上，因?yàn)镾，T，M，P，X，Y在面PTS上，N∈PM,所以點(diǎn)N∈面PTS,且N∈α.又面PST∩α=XY,所以N∈XY,即點(diǎn)N在該橢圓對應(yīng)于F的切點(diǎn)弦上.

(2)當(dāng)圓錐曲線為拋物線或雙曲線時,同理可證.

綜上所述,命題得證.

由此，可以得到一個結(jié)論和畫法:即過二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)外的一點(diǎn)A，向曲線引3條割線ABC，ADE，AFG，依次交曲線為B，C；D，E；F，G,其中DC交BE于點(diǎn)H，HF交DG于點(diǎn)L,直線HL交該二次曲線于點(diǎn)J，K,則直線AK，AJ都是該二次曲線的切線.