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(松江區(qū)第二中學 上海 201600)
幾個重要的三角代換在不等式證明中的應用
●衛(wèi)福山
(松江區(qū)第二中學 上海 201600)
在代數(shù)不等式的證明中,經(jīng)常會看到如下的條件:
(1)已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz;
(2)已知非負實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2+2xyz=1;
(3)已知正數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx=1.
聯(lián)系以下常見的三角恒等式:
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;
cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1;
對以上條件可以作如下的三角代換:
以上三角代換是常見且等價的,有時還能將代數(shù)問題引入到三角形中,為復雜問題的解決找到捷徑.下面通過一些具體問題加以說明.
1直接利用三角代換
例1設正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,證明:
(1998年韓國數(shù)學奧林匹克競賽試題)
不等式(1)得證.
例2設x,y,z≥0且滿足xy+yz+zx=1,求證:
(1994年香港特區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題)
x(1-y2)(1-z2)+y(1-z2)(1-x2)+z(1-x2)(1-y2)=
2將已知條件稍作變化后作三角代換
將有些不等式問題的條件稍作變化,就可轉化為文首的條件(1),條件(2)和條件(3).
(第33屆IMO試題)
(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)+2(x-1)(y-1)(z-1)=1,
于是不等式(2)可轉化為
(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)2≤(cosAcosB)2+(cosBcosC)2+(cosCcosA)2+3cosAcosBcosC,
化簡得
此不等式易證,從而不等式(2)成立.
例4設x,y,z∈R+,且x2+y2+z2+xyz=4,證明:
(第20屆伊朗數(shù)學奧林匹克競賽試題)
證明將已知等式x2+y2+z2+xyz=4變形為
例5已知x,y,z為正實數(shù),xy+yz+zx+xyz=4,求證:x+y+z≥xy+yz+zx.
(4)
(1998年印度數(shù)學競賽試題)
證明將已知等式xy+yz+zx+xyz=4變形為
于是所證不等式(4)可化為
此不等式易證,從而不等式(4)成立.
3引入三角代換將代數(shù)問題轉化為三角問題
有些不等式問題可根據(jù)字母的范圍結合三角比的一些基本公式直接引入三角代換,從而轉化為三角問題.
例6設a,b,cgt;0,證明:
(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2.
(5)
由于
sin(A+B+C)=sinAcosBcosC+cosAsinBcosC+cosAcosBsinC-sinAsinBsinC,
因此不等式(6)可改寫為
利用基本不等式有
注利用簡單的三元基本不等式(a+b+c)3≥3(ab+bc+ca),易得如下較弱的不等式:
(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).
以上不等式曾作為2004年亞太地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題.
值得指出的是,在以上不等式的證明中,利用三角代換不一定是唯一的、最簡捷的證法,本文權當拋磚,指出幾種常見的三角代換在不等式證明中的應用.
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[3] 張俊.一個三角形恒等式繁衍出的代數(shù)不等式[J].數(shù)學通訊(下半月),2010(9):61-62.
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