例談中學(xué)生數(shù)學(xué)思維層次的劃分

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(《中學(xué)生數(shù)理化》(高中)編輯部 河南鄭州 450004)

例談中學(xué)生數(shù)學(xué)思維層次的劃分

●師廣智

(《中學(xué)生數(shù)理化》(高中)編輯部 河南鄭州 450004)

大家知道知識(shí)和技能的層次規(guī)定得非常具體，而衡量學(xué)生思維能力的標(biāo)準(zhǔn)卻很難形成具體一致的意見(jiàn)，這使得培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力帶有很大的隨意性.新課標(biāo)中規(guī)定的“了解”、“理解”、“掌握”指的是知識(shí)與技能水平目標(biāo)，而不是思維層次目標(biāo).思維層次是以學(xué)生解決某一問(wèn)題需要的中間環(huán)節(jié)的多少來(lái)確定的，學(xué)生每簡(jiǎn)化一次中間環(huán)節(jié)，其思維層次就會(huì)高一級(jí).學(xué)生的思維層次是一個(gè)變量，不同的思維層次往往直接制約著解題的成敗與繁簡(jiǎn)，顯現(xiàn)著學(xué)生不同層次的思維水平.筆者認(rèn)為，優(yōu)化解題思路和注重一題多解是提升思維層次的一條捷徑.

問(wèn)題在等差數(shù)列{an}中，已知Sn=60，S2n=48，求S3n的值.

(1)

式(2)可化為

式(3)可化為

由式(4)-式(1)得

由式(5)-式(4)得

從而

S3n=-36.

這是求解此類(lèi)問(wèn)題的通法.學(xué)生對(duì)此思路非常熟悉，只要會(huì)用等差數(shù)列的求和公式,就能得出正確的結(jié)果.如果把等差數(shù)列的求和公式作為解決問(wèn)題的起點(diǎn)，那么反復(fù)應(yīng)用起點(diǎn)知識(shí)解決問(wèn)題的思維深度就可以劃定為思維的第一層次.這種思維層次表現(xiàn)在對(duì)起點(diǎn)知識(shí)的再現(xiàn)與復(fù)述，特點(diǎn)是中間環(huán)節(jié)較多.這是基本訓(xùn)練時(shí)一定要達(dá)到的一種思維層次.

思維的第二層次是能找出與起點(diǎn)直接發(fā)生關(guān)系的環(huán)節(jié)的思維層次.其特點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的理解，能理順概念間的上位、下位、同位關(guān)系，深刻理解概念的內(nèi)涵與外延;能把握定理和公式的來(lái)龍去脈，揭示定理間的聯(lián)系和公式間的聯(lián)系等.譬如下面的解法2和解法3.

An2+Bn=60,4An2+2Bn=48.

令9An2+3Bn=m(4An2+2Bn)+n(An2+Bn)，則

(4m+n-9)An2+(2m+n-3)Bn=0，

易得

m=3，n=-3.

所以

S3n=9An2+3Bn=

3[(4An2+2Bn)-(An2+Bn)]=

3(48-60)=-36.

這種解法找到了等差數(shù)列求和公式的特點(diǎn)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程的中間環(huán)節(jié)，但解題過(guò)程還是太繁.

解法3設(shè)x=An2，

(6)

則

S3n=9x+3y.

(8)

由式(6)，(7)可得

x+y=60，4x+2y=48，

解得

x=-36，y=96,

代入式(8)得

S3n=-36.

顯然,這種解法運(yùn)用了函數(shù)思想,使解題過(guò)程更為簡(jiǎn)化，思維水平也有了進(jìn)一步的提升.以上2種解法的依據(jù)仍是等差數(shù)列求和公式，只是順向地進(jìn)行了一些代換，思維可劃定為第二層次.

思維的第三層次與起點(diǎn)知識(shí)或所求問(wèn)題不直接發(fā)生關(guān)系，必須通過(guò)一次或幾次中間環(huán)節(jié)才能使起點(diǎn)知識(shí)與所求問(wèn)題發(fā)生關(guān)系.譬如下面的解法4與解法5就可劃定為思維的第三層次.

解法4由等差數(shù)列的性質(zhì),可知Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則

d=48-60-60=-72，

因此

S3n-S2n=60+2d=-84，

即

S3n=S2n-84=-36.

當(dāng)然,也可由Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數(shù)列，得

2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，

于是S3n=3(S2n-Sn)=3(48-60)=-36.

解法5由Sn=An2+Bn,得

從而

故

S3n=-36.

解法4充分利用了等差數(shù)列的性質(zhì)，思路得到了進(jìn)一步的優(yōu)化.解法5把數(shù)列知識(shí)與解析幾何、向量知識(shí)相結(jié)合，通過(guò)轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)造激情.以上2種解法培養(yǎng)了學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于聯(lián)想的習(xí)慣，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，具有一定的創(chuàng)新意識(shí)，故思維層次有了進(jìn)一步的提升.

綜上所述，不難看出解題方法的不同反映出學(xué)生思維的敏捷度和廣度的不同，也就是學(xué)生的思維層次的不同.例如解法5采用了獨(dú)特、巧妙、簡(jiǎn)單的思維方式和重要的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)現(xiàn)了一般學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)的更深刻、更隱蔽的中間環(huán)節(jié)，其思維層次比一般學(xué)生高一些.因此要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，在教學(xué)過(guò)程中就要探討思維能力的層次問(wèn)題.一般地,可把學(xué)生的思維層次劃定為三級(jí),有利于教師根據(jù)學(xué)生的具體實(shí)際制定出量化的能力目標(biāo).通過(guò)對(duì)問(wèn)題的多解較好地反映評(píng)價(jià)的可操作性，因此在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一題多解、一題多思，這是培養(yǎng)學(xué)生思維廣度和深度的重要舉措.