一類各向異性Ginzburg-Landau超導(dǎo)模型的渦漩

寇艷蕾

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

一類各向異性Ginzburg-Landau超導(dǎo)模型的渦漩

寇艷蕾

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

當(dāng)磁場hex充分接近第一臨界磁場HC1時，證明了各向異性Ginzburg-Landau超導(dǎo)模型的整體極小元有有限個渦漩,并且說明這些渦旋的具體位置.

臨界磁場; 渦漩; 各向異性; Ginzburg-Landau模型

對各向異性Ginzburg-Landau超導(dǎo)模型的研究緣于高溫超導(dǎo)體的發(fā)現(xiàn)[1-3].高溫超導(dǎo)體的一個重要特點(diǎn)是層狀結(jié)構(gòu) (layered structure),它是由超導(dǎo)材料和非超導(dǎo)(或弱超導(dǎo))材料呈現(xiàn)層狀交替組成.在平行于每個分層的平面上，材料是各向同性的.但是，當(dāng)比較平行于和垂直于材料的分層時，就會看到強(qiáng)烈的各向異性.

DU[4]提出各向異性的Ginzburg-Landau超導(dǎo)模型.將簡化的自由能密度

推廣到一般的自由能密度

這個表達(dá)式包括了各向同性和各向異性的Ginzburg-Landau超導(dǎo)模型.函數(shù)a(x)表示薄膜的厚度變量，而函數(shù)b=b(x)用來描述物體是否含有雜質(zhì)：在理想超導(dǎo)體中(不含雜質(zhì))，b(x)=1；普通導(dǎo)體(含有雜質(zhì))中,b(x)<0.矩陣M(x)則用來表示空間的各向異性.

這時，能量泛函為

(1)

2≤ajk(x)ξjξk≤Λ2,?ξ2.

目前，在超導(dǎo)理論上的研究已經(jīng)有了大量的成果.下面簡要回顧一下各類超導(dǎo)模型的研究歷史和主要結(jié)果.

當(dāng)A≠0，系數(shù)矩陣為

時，能量泛函為

(2)

這里 ▽A=▽-iA，hex≠ 0.與簡化模型相比，這個模型中的誘導(dǎo)磁場A≠0，說明這種模型考慮外磁場的影響.BETHUEL等[5]最早開始研究這種帶磁場的完整的Ginzburg-Landau模型，得到與文獻(xiàn)[6]類似的結(jié)論.CHAPMAN等[7]推導(dǎo)了3維Ginzburg-Landau泛函的2維極限形式.SERFATY[8]研究了這類模型的下臨界磁場HC1的取值，以及下臨界磁場HC1附近的局部極小元，即Euler-Lagrange方程的解.并討論了這些解的渦漩的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).文獻(xiàn)[9]研究了Euler-Lagrange方程解的漸近性態(tài).

當(dāng)A=A0，系數(shù)矩陣為

時，能量泛函為

DING等[11-13]詳細(xì)研究了這種薄膜模型，得到下臨界磁場和解的渦漩結(jié)構(gòu)等結(jié)論.

當(dāng)A≠0，系數(shù)矩陣為一般形式

時，能量泛函為

(3)

這是本文主要研究的各向異性的Ginzburg-Landau超導(dǎo)模型.

設(shè)(u,A)是J(u,A)在H1(Ω,C)×H1(Ω,2)上的極小元，則 (u,A)滿足Euler-Lagrange方程

(4)

極小問題滿足以下邊界條件：

由于

(5)

這里aij=aij(x)(i,j=1,2).令方程的通解為φ(x,y)=φ1(x,y)+iφ2(x,y)=C,做自變量的變換

(6)

我們把下面的方程稱為London方程

(7)

文獻(xiàn)[14]研究了泛函(3)的局部極小元，證明了在集合

中存在泛函(3)的極小元，這里

并得到外加磁場hex的第一臨界值HC1和極小元的漸近性質(zhì).

在文獻(xiàn)[15]中，我們證明了下面的結(jié)論:

且對任意ε<ε0,有以下結(jié)論成立:

定理B只證明了磁場沒有渦漩的情形.對于一般情形，即不管有沒有渦漩并沒有給出答案.與文獻(xiàn)[15]相比，本文證明了定理A找到的局部極小元就是整體極小元，不管其是否有渦漩.此外，當(dāng)外磁場在第一臨界磁場HC1的附近時，還將證明整體極小元有有限個渦漩并指出這些渦漩的位置.

1 預(yù)備引理和主要結(jié)果

本文的主要結(jié)果是下面2個定理.

為了更好地說明第2個結(jié)論，首先定義渦漩.與文獻(xiàn)[14]略有不同，這里定義的渦漩的半徑較大.

由文獻(xiàn)[16]的命題1可得下面的引理.

(8)

(9)

(10)

下面說明第2個結(jié)論.

(i)di≥ 0;

在這一節(jié)里,首先把泛函(3)分成兩部分，然后估計泛函(3)的下界.

類似于文獻(xiàn)[16]，可得到下面的引理.

(1)在Ω∪iIBi上，=1，并且和u/在?Bi(iI)上有相同的拓?fù)涠?

證明因為u=ρeiφ，那么

(11)

這里C是常數(shù).注意到

ρ2(φxj-Aj)(φxk-Ak)=ρ2(φxjφxk-2φxjAk+AjAk)

(12)

(13)

由于 (iu,ajkuxj)=ajkρ2φxj,從而得到

(14)

可得

(15)

從而有

這樣

另外，由文獻(xiàn)[15]的結(jié)論可知

(16)

引理3 對任意的p<2，存在α(p)>0使得

注意到

-curl(X-1d*h)+h=curl(iu,▽u)-

(17)

引理3的證明見文獻(xiàn)[16]的引理II.2.

對能量泛函進(jìn)行分割，并得到它的下界估計.注意到

(18)

并把系數(shù)矩陣記為

定義

(19)

取(1,hex(X-1d*ξ0))作為實驗函數(shù)，則

J(u,A)≥

(20)

其中{(ai,di)}是引理1中定義的渦漩.

證明由引理1的式(10)可得

(21)

記u=ρeiφ，用d*h取代*dh，則由式(4)的第2個式子可得

-d*h=(X·▽Au,iu)=ρ2X(▽φ-A),

[(▽ρ+iρ(▽φ-A))eiφ]T·X·[(▽ρ-iρ(▽φ-

A))e-iφ]≥2+ρ2(▽φ-A)T·X·(▽φ-A)≥

(d*h)TX-1(d*h).

(22)

(23)

令h=hexξ0+f，則上式中的最后2項變?yōu)?/p>

代回可得

J(u,A)≥

(24)

由式(18)可知

-(d*h)TX-1(d*h)+h=-(d*f)TX-1(d*f)+

f-hex[(d*ξ0)TX-1(d*h0)+ξ0]=

-(d*f)TX-1(d*f)+f.

對上式進(jìn)行分部積分得到

得到

J(u,A)≥

引理證畢.

2 定理2的證明

證明取(1,hex(X-1d*h0))作為實驗函數(shù)，而(u,A)是式(3)的極小元，則有

引理證畢.

由文獻(xiàn)[13]的引理3.1，有如下引理.

(25)

引理7 定理2的(i)成立,即di≥ 0.

證明記

(26)

(27)

由于ξ0在Ω上是負(fù)的，p(x)在Ω上是正的，則

(2)如果di<0，那么

應(yīng)用引理1及式(20)，可得

(28)

從而

這樣對足夠小的正數(shù)ε，有D-=0.又因為D-一定是非負(fù)的，所以di≥ 0.

證明由文獻(xiàn)[16]可知

(29)

從而

(30)

結(jié)合上面2個不等式可得

上式說明D有一致的上界.

這樣就得到了定理2的證明.

3 定理1的證明

設(shè)(u,A)是泛函J在Ω上的極小元，則

這樣

在Ω/∪iIB(ai,ρ)上，不妨設(shè)=r.由于H3(Ω)≤Chex，則

在Ω/∪iIB(ai,ρ)上，記u=reiφ可得

定理1證畢.

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Keywords： critical magnetic field; vortices; anisotropic; Ginzburg-Landau model

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

VORTICESOFANANISOTROPICGINZBURG-LANDAUMODELINSUPERCONDUCTIVITY

KOU Yanlei

(School of Mathematics,South China Normal University,Guangzhou 510631,China)

The global minimizers and the vortex structure of an anisotropic superconducting model are discussed.It is proved that for fieldshexclose enough to the lower critical magnetic fieldHC1,the global minimizer of the Ginzburg-Landau functional has a bounded number of vortices independently from the Ginzburg-Landau parameter.The locations of these vortices are also given.

2010-09-07

*通訊作者，kouyanlei@tom.com

1000-5463(2011)02-0013-07

O175.25

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