復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下幾何分布參數(shù)估計(jì)

李俊華

(鄖陽師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，湖北 十堰 442000)

復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下幾何分布參數(shù)估計(jì)

李俊華

(鄖陽師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，湖北 十堰 442000)

在幾何分布可靠度的先驗(yàn)分布為其冪分布時(shí)，給出了幾何分布可靠度在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)。

幾何分布；損失函數(shù)； Bayes估計(jì)；多層Bayes估計(jì)

許多壽命離散型的產(chǎn)品，其壽命服從幾何分布，因此對幾何分布的可靠性分析具有理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)[1,2]。在貝努里實(shí)驗(yàn)里，若p為每次實(shí)驗(yàn)成功的概率，如果進(jìn)行了x+1次實(shí)驗(yàn)，前x次實(shí)驗(yàn)成功且第x+1次不成功(或失敗)的概率為：

P(X=x)=px(1-p)x=0,1,2,… 0

(1)

則稱隨機(jī)變量X服從幾何分布，其中p為幾何分布的可靠度(或成功概率)。

1975年Varian提出了LINEX損失函數(shù)[3]：

Lb(θ,δ)=e-b(θ-δ)+b(θ-δ)-1 (b>0)

式中，δ為參數(shù)θ的估計(jì)；b是該損失函數(shù)的尺度參數(shù)。當(dāng)b≠0時(shí)LINEX損失函數(shù)是一類非對稱損失函數(shù)。文獻(xiàn)[4]提出了復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)，表達(dá)形式如下：

L(θ,δ)=Lb(θ,δ)+L-b(θ,δ)=e-b(θ-δ)+eb(θ-δ)-2 (b>0)

(2)

下面，筆者在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下給出了幾何分布可靠度的多層Bayes估計(jì)[5]。

1 p的Bayes估計(jì)

證明在損失函數(shù)L(θ,δ)=e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2(b>0)下，令δ(x)為p的任一Bayes估計(jì)， 則其Bayes風(fēng)險(xiǎn)為R(δ)=E(L(p,δ))=E(E(L(p,δ)|x))。欲使R(δ)最小，只需E(L(p,δ)|x)幾乎處處達(dá)到最小，由于E(L(p,δ)|x)=E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)，所以只需證明E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)最小，因?yàn)棣姆秦?fù)，則最小值不會(huì)是0或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

記：

h(δ)=E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)=eb δE(e-bp|x)+e-b δE(ebp|x)-2

對h(δ)關(guān)于δ求導(dǎo)并令其為0，即h′(δ)=beb δE(e-bp|x)-be-b δE(ebp|x)=0，解得：

又因?yàn)閔(δ)關(guān)于δ是嚴(yán)格凸函數(shù)，故δB(x)是其唯一的極小值點(diǎn)，進(jìn)而得到Bayes估計(jì)是唯一的。

2 p的多層Bayes估計(jì)

若幾何分布可靠度p的先驗(yàn)分布為冪分布，其密度函數(shù)為：

π(p|a)=apa-1(00，a是超參數(shù))

(3)

則此時(shí)θ的Bayes估計(jì)由以下定理給出。

定理2取式(3)為p的先驗(yàn)分布，在損失函數(shù)(2)下，p的Bayes估計(jì)為：

證明對幾何分布，取p的先驗(yàn)分布為式(3)，而p的似然函數(shù)為L(p)=px(1-p)，根據(jù)Bayes定理，p后驗(yàn)密度為：

從而有：

同理可以計(jì)算:

所以在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下p的Bayes估計(jì)為：

引理1在給定的Bayes決策中，對給定的先驗(yàn)分布π(θ)，θ的Bayes的δB(x)是唯一的，則它是容許的。

由于幾何分布可靠度估計(jì)在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下是嚴(yán)格凸的,其Bayes估計(jì)必是唯一的，由引理可知該估計(jì)是可容許的。

(4)

定理3對幾何分布，若p的多層先驗(yàn)分布由(4)給出，則在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下p的多層Bayes估計(jì)為：

證明根據(jù)Bayes定理，p的多層后驗(yàn)密度為：

則在復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù)下p的多層Bayes估計(jì)為：

其中：

[1]韓明，崔玉萍.幾何分布的可靠度估計(jì)[J]. 運(yùn)籌與管理，2001,10(4)：35-38.

[2]韓明. 多層先驗(yàn)分布的構(gòu)造及其應(yīng)用[J].運(yùn)籌與管理，1997,6(3)：32-40.

[3]韋程東，韋師，蘇韓. 復(fù)合LINEX對稱損失下Pareto分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計(jì)及應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009,(17)：7-9.

[4]張睿. 復(fù)合LINEX損失下的參數(shù)估計(jì)[D].大連：大連理工大學(xué)，2007.

[5]茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.04.004

O213.2

A

1673-1409(2011)04-0011-03