基于微分幾何反饋線性化的PMSM混合H2/H∞控制

嚴(yán)大虎，紀(jì)志成

(江南大學(xué)，江蘇無錫214122)

0 引 言

永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)具備優(yōu)良的低速性能，功率密度大、效率高、體積小、慣性低、響應(yīng)速度快等優(yōu)點，寬調(diào)速使其適應(yīng)高性能伺服驅(qū)動的要求，隨著永磁材料性能的不斷提高和低價格，PMSM在工業(yè)生產(chǎn)自動化領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛［1］。

由于現(xiàn)代控制理論中，對被控對象動態(tài)特性的描述中過度依賴于數(shù)學(xué)方法，并且無法高效抑制系統(tǒng)實際運行中所遇到的內(nèi)部參數(shù)攝動和外部干擾，使之很難推廣應(yīng)用到工業(yè)控制中。因此發(fā)展出了以穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)的H∞控制方法［2］，該方法具有良好的抗干擾能力，這就等同于系統(tǒng)具有較大的穩(wěn)定裕度，但是為了獲取足夠大的穩(wěn)定裕度，就會損失系統(tǒng)的其他性能。為了解決這些困難，在H∞控制理論的基礎(chǔ)之上發(fā)展出了混合H2/H∞控制方法，該方法較好地解決了系統(tǒng)魯棒性與其他性能要求之間的矛盾［3－5］。

PMSM是一個非線性、多變量、時變被控對象，由于電機參數(shù)變化和負(fù)載擾動等不確定因素的影響，使得電機高精度控制較難實現(xiàn)。反饋線性化控制通過非線性狀態(tài)反饋和坐標(biāo)變換，將PMSM的非線性數(shù)學(xué)模型實現(xiàn)動態(tài)解耦和全局線性化［6－7］。本文首先采用微分幾何理論，將PMSM的非線性數(shù)學(xué)模型變換成線性模型，然后以該線性模型作為被控對象，考慮電機實際運行中的外部干擾以及電機未建模系統(tǒng)動態(tài)，設(shè)計混合H2/H∞魯棒控制器，并采用Matlab/Simulink仿真平臺對系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗證，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)的抗干擾能力較強，同時具有良好的穩(wěn)、動態(tài)性能。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型及其反饋線性化

本文的研究對象是表面式PMSM，它是一個高階、非線性、強耦合的系統(tǒng)，電磁關(guān)系非常復(fù)雜，為了簡化PMSM的數(shù)學(xué)模型，做如下假設(shè)［8］:

(1)忽略磁飽和，不考慮鐵心的渦流損耗和磁滯損耗，磁路是線性的;

(2)電機定子電樞繞組的空載電勢是正弦波;

(3)定子繞組三相對稱，各相繞組的軸線在空間上互差120°電角度;

(4)忽略磁場的高次諧波，定子繞組電流在氣隙中只產(chǎn)生正弦分布的磁勢;

(5)永磁體的電導(dǎo)率為零;

(6)轉(zhuǎn)子上沒有阻尼繞組。

表面式PMSM在d－q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型:

式中:id、iq分別為定子繞組d、q軸電流;ω為轉(zhuǎn)子角頻率;Ls為三相永磁同步電動機d、q軸的主電感;R1是定子電阻;Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;p為轉(zhuǎn)子的磁極對數(shù);β為摩擦系數(shù);J為轉(zhuǎn)動慣量;ψf為轉(zhuǎn)子磁場對定子的交鏈。

由式(1)可以看出，PMSM的模型是非線性數(shù)學(xué)模型，本文采用微分幾何線性化方法對其進(jìn)行精確線性化。首先將該模型轉(zhuǎn)換成仿射非線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，仿射非線性變換的定義如下［9］:

定義1:若變換S:Rn→Rn，S(x)=T(x)+a，T是非奇異線性變換，α∈Rn，則S稱為仿射變換。

由上可得，PMSM的數(shù)學(xué)模型可以變換成如下形式:

1.1精確反饋線性化條件

針對多輸入多輸出仿射非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)可精確線性化的條件如下［10］:

引理1:給定的仿射非線性系統(tǒng)式(2)，系統(tǒng)在x0點精確線性化問題可解的充要條件是滿足:

(1)Di=Span，…，m;s≤i－1}，i=1，2，…，ni為在x0點非奇異的對合分布;

(2)DimDn(x0)=n。

仿射非線性系統(tǒng)向量相對階的定義如下:

定義1:給定x0∈X，如果存在x0的一個鄰域V及整數(shù)向量(r1，…，rm)滿足條件:

(1)LgjLkfhi(x)=0，?x∈V，0≤j≤m，1≤i≤m

及0≤k≤ri－2;

(2)矩陣:

是非奇異的，?x∈V，則稱多輸入多輸出仿射非線性系統(tǒng)具有向量相對階(r1，…，rm)。

由定義1，針對仿射非線性系統(tǒng)式(2)有:

所以電流環(huán)的相對階r1=1;又有:

所以速度環(huán)的相對階為r2=2。又因為矩陣:

非奇異，可得系統(tǒng)總的相對階:r=r1+r2+r3，與系統(tǒng)維數(shù)相等，因此該系統(tǒng)可以實現(xiàn)精確線性化。

1.2坐標(biāo)變換及控制率求取

引入非線性坐標(biāo)變換z=Φ(x)，其中:

在新的坐標(biāo)系下系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:取控制作用u=A－1(x)［－b(x)+v］，其中u為電機控制量，u=［u1u2］T，v為虛擬控制量，v=

在控制作用u下，系統(tǒng)可以解耦為如下相互獨立的線性子系統(tǒng):

PMSM反饋線性化系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 基于微分幾何反饋線性化PMSM系統(tǒng)框圖

2 H2/H∞控制器的設(shè)計

2.1 問題描述

考慮具有多個性能指標(biāo)要求的系統(tǒng):

式中:x∈Rn是狀態(tài)向量，u∈Rm是控制輸入，w1、w2∈Rq是兩類不同的外部擾動輸入，當(dāng)H2范數(shù)是在隨機意義下考慮時，w2是獨立零均值的白噪聲，w1是區(qū)別于w2的一般意義下的擾動輸入，該擾動是確定的，但是具有有限能量的。z∞，z2∈Rr分別為衡量系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)和H2范數(shù)的受控輸出，A，B，B1，B2，C1，C2，D10，D11，D20，D22是描述系統(tǒng)的已知適維矩陣(注:本節(jié)中所使用的符號均只在本節(jié)有效)。

圖2 混合H2/H∞標(biāo)準(zhǔn)控制結(jié)構(gòu)框圖

混合H2/H∞控制問題就是設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制率:

使得對于有限能量的干擾w1、w2，閉環(huán)系統(tǒng)滿足如下性能指標(biāo)［4－5］:

(1)閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，即系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的所有特征值都在左半開平面中;

(2)從w1到z∞的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Tz∞w1滿足:‖Tz∞w1‖∞＜γ∞;

(3)從w2到z2的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Tz2w2滿足:‖Tz2w2‖2＜γ2。

其中，γ∞為預(yù)先給定的閉環(huán)系統(tǒng)擾動抑制程度，γ∞越小，表示系統(tǒng)抑制干擾能力越強，同時系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度越大，γ2應(yīng)該盡可能小，以保證系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)、動態(tài)性能。則采用如式(10)所示的狀態(tài)反饋控制率的閉環(huán)系統(tǒng)可表示如下:

2.2 混合H2/H∞控制器求解

PMSM復(fù)雜的運行工況使其不可避免地受到外部環(huán)境的干擾，主要體現(xiàn)在電機負(fù)載轉(zhuǎn)矩的脈動，同時，繞組電阻也會隨著電機溫度的變化而變化，成為電機模型的一種不確定因素。

在實際應(yīng)用中，不可能實現(xiàn)將模型的不確定性和外部干擾與系統(tǒng)的輸出完全解耦，因此設(shè)計如下H∞魯棒性能指標(biāo)，使干擾對系統(tǒng)的輸出影響最小:

(1)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;

(2)?ε＞0，正定矩陣Q＞0，R＞0和?T＞0，滿足:故取性能指標(biāo)函數(shù):

引理2［3］針對閉環(huán)系統(tǒng)式(11)和一個給定的標(biāo)量γ∞＞0，若D22=0，且以下優(yōu)化問題:

有一個最優(yōu)解X、W，則式(11)的狀態(tài)反饋控制問題是可解的，且u=WX－1x是式(11)的一個狀態(tài)反饋H2/H∞控制率。

3 仿真分析

電機參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM參數(shù)

權(quán)系數(shù):

運用LMI工具箱，可求得:

其中:δ(t)=0.2+sin(0.1π)t+2sin(0.2πt)+1.25sin(πt)+0.4sin(5πt)。

在Matlab 7.0/Simulink中搭建系統(tǒng)仿真框圖，仿真設(shè)計如下:

(1)電機帶負(fù)載起動，附加干擾作用d(t)，d軸電流給定i*d=0，負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tl=1 N·m，t=25 s時，電機速度給定由ω*=100 rad/s突變到ω*=180 rad/s。

(2)電機帶負(fù)載起動，附加干擾作用d(t)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tl=0.5 N·m，速度給定ω*=100 rad/s，d軸電流給定i*d=0，t=25 s時，負(fù)載轉(zhuǎn)矩由Tl=0.5 N·m突變至Tl=1 N·m。

圖3 速度給定躍變

圖4 負(fù)載躍變

從圖3的仿真結(jié)果可以看出，基于混合H2/H∞控制器的永磁同步伺服系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)、動態(tài)性能，可以很好地跟蹤速度給定信號，電機帶負(fù)載Tl=1 N·m不變，速度給定出現(xiàn)躍變時，電機的速度能夠很快跟蹤給定，且穩(wěn)定后沒有靜差。當(dāng)系統(tǒng)存在外部干擾時，沒有對電機速度構(gòu)成明顯的影響，說明該系統(tǒng)在能夠保持穩(wěn)定的同時，可以達(dá)到良好的控制效果，符合H2/H∞控制器的控制特點。

從圖4的仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)電機速度給定保持ω*=180 rad/s不變，負(fù)載躍變時，有較小的速度降落，并逐漸跟蹤到給定速度，穩(wěn)定后沒有速度靜差，轉(zhuǎn)矩響應(yīng)快速而穩(wěn)定，轉(zhuǎn)矩超調(diào)小，對機械機構(gòu)的沖擊較小，提高了其工程應(yīng)用的合理性。

4 結(jié) 語

本文首先對PMSM非線性模型進(jìn)行精確反饋線性化，通過非線性狀態(tài)變換和反饋控制率的求取，將PMSM的非線性數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成線性模型，方便了伺服系統(tǒng)的設(shè)計。同時考慮了電機在實際運行過程中可能出現(xiàn)的外部擾動，設(shè)計了混合H2/H∞控制器，能夠很好地抑制系統(tǒng)的外部干擾，在保持系統(tǒng)穩(wěn)定的同時達(dá)到了良好的控制效果。仿真結(jié)果表明該系統(tǒng)設(shè)計方案具有很強的抗干擾能力，速度響應(yīng)快，控制精度高，并且易于工程實現(xiàn)。

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