適用于非常模信號的常數(shù)模新算法

饒偉，孫輝, 郭業(yè)才, 鄧承志, 汪勝前, 田偉

(1. 南昌工程學院 信息工程學院，江西 南昌 330099;

2. 南京信息工程大學 電子與信息工程學院，江蘇 南京 210044)

1 引言

在現(xiàn)代數(shù)字傳輸系統(tǒng)中，自適應均衡器是接收機的一個非常重要的組成部分，它能有效地抵消由多徑傳輸和有限信道帶寬引起的碼間干擾。與傳統(tǒng)的自適應均衡相比，盲均衡不需要使用訓練序列，能有效提高信道帶寬利用率，其中由 Godard提出的常數(shù)模盲均衡算法[1](CMA, constant modulus algorithm)因其強魯棒性和易于實現(xiàn)性，在數(shù)字傳輸系統(tǒng)中應用廣泛[2]。

CMA通過梯度搜索法[1]不斷更新均衡器抽頭系數(shù)，以最小化代價函數(shù)，其目的是使均衡器輸出信號的幅度模值都等于一個固定的統(tǒng)計模值。CMA不但適用于信源字符占據(jù)同一個幅度模值的常模信號（如8-PSK），而且還適用于信源字符占據(jù)多個幅度模值的非常模信號（如16-QAM）[2]，如圖1所示。在一些理想環(huán)境中，對于常模信號CMA可以實現(xiàn)理想（迫零）均衡，但是對于非常模信號CMA穩(wěn)態(tài)均方誤差(MSE, mean square error)無法至零[2,3]。

徐金標等[4]提出了停止與前進的 SAG-CMA，當均衡器輸出數(shù)據(jù)可靠時，用信源的多幅度模值代替統(tǒng)計模值對抽頭系數(shù)進行迭代更新，降低 CMA穩(wěn)態(tài)MSE，但是這樣一種方式使大量可用于抽頭系數(shù)迭代的數(shù)據(jù)被排除，致使算法收斂速度比 CMA慢；文獻[5]對Sign-CMA進行了改進，當接收信號落入判決域內(nèi)時，使用多模CMA對非常模信號進行均衡，從而減小穩(wěn)態(tài)MSE，提高收斂速度，但是其判決域是通過手動設置的經(jīng)驗值來確定的。文獻[6,7]對不同的 QAM 信號使用匹配的模值進行均衡，提升了均衡效果，但是算法卻受到某些參數(shù)或條件的限制。文獻[8,9]利用坐標變換將16-QAM變換成了4-QAM常模信號，從而減小了穩(wěn)態(tài)MSE。文獻[10]提出了一種修正多模CMA，稱為MCMA，該算法將 CMA代價函數(shù)分為實部和虛部兩個部分，用2個統(tǒng)計模值對接收信號進行均衡，該算法性能優(yōu)于傳統(tǒng)CMA[10,11]?？梢姡狗浅ＤＰ盘柕姆饶Ｖ蹬c統(tǒng)計模值相匹配是降低算法穩(wěn)態(tài)MSE的有效途徑，但上述方法都需要借助輔助的參數(shù)或條件，且算法穩(wěn)態(tài)MSE的大小均沒有提供理論證明。

圖1 常模信號與非常模信號星庫圖

本文通過研究4-PAM和16-QAM非常模信源星座的特點，定義了一種幅度模值變換方式，可將非常模信源的多個幅度模值變換成單一幅度模值。將該變換方式應用于CMA代價函數(shù)中，得到適用于上述兩種非常模信號的新 CMA，新算法的目的是使均衡器的輸出信號幅度模值經(jīng)過相同的變換方式后，其新幅度模值與統(tǒng)計模值相等，從而減小了穩(wěn)態(tài)MSE，并且減少均衡器誤操作從而提高了收斂速度。理論證明和仿真實驗均表明新算法在無噪聲環(huán)境下，其穩(wěn)態(tài)MSE近似為零；在實際有噪水聲信道中，新算法同樣具有比CMA更優(yōu)的均衡性能。

2 CMA

CMA2-2是CMA中的特例[2]，具有良好的收斂性能，因此本文只討論CMA2-2，為表示方便，將CMA2-2簡稱為CMA。CMA基帶等效模型如圖2所示。

圖2 CMA基帶等效模型

其中，s(k)是信源序列；c是信道的沖激響應；n(k)是信道高斯白噪聲序列； x(k)是均衡器的輸入序列； fk-1是均衡器抽頭系數(shù)向量且長度為N； y(k)是均衡器的輸出序列。

令x= [ x(k ) ,x(k-1 ),…,x(k-N+1)]T， f =kk-1，“T”表示轉(zhuǎn)置，則均衡器的輸出為

CMA的代價函數(shù)定義為

式中，R為信源的統(tǒng)計模值，定義為

可見，R由信源的幅度模值|s(k ) |決定。

利用瞬時梯度下降法對f進行更新，以最小化代價函數(shù)，則更新公式為

式中，?kJCM(f )表示對代價函數(shù)求瞬時梯度，μ為步長，*表示復數(shù)共軛操作，且定義 eo(k )= y(k)為CMA誤差函數(shù)項。

由代價函數(shù)式(2)可知，CMA的目的是期望每個輸出信號的幅度模值的平方能與R相等或此時代價函數(shù)被最小化為零，均衡器抽頭系數(shù)穩(wěn)定。對于常模信源，如8-PSK，其星座坐標為則|s(k)|= 1 ；又根據(jù)式(3)得 R = 1 ，因此當均衡器輸出信號滿足成立，均衡器實現(xiàn)了理想均衡，且代價函數(shù)為零，均衡器抽頭系數(shù)穩(wěn)定。但是對于非常模信源，如16-QAM，其星座坐標為s(k) = {±1 ±j,±3 ±j,±1 ±3 j,±3 ±3 j}，其對應3個不同的幅度模值：；又根據(jù)式(3)得，所以即使均衡器輸出信號與信源完全重合（理想均衡），也無法滿足，此時對應的CMA代價函數(shù)值并不為零，致使均衡器抽頭系數(shù)一直保持（不為零的）微幅調(diào)整狀態(tài)，從而改變了原本理想的均衡器輸出。因此，CMA非常適合用于常模信號，而對于非常模信號CMA雖然能夠完成均衡，但穩(wěn)態(tài)誤差大，收斂速度慢。

3 基于幅度模值變換的CMA

通過上述分析可知，對于非常模信號，信源的多幅度模值與 CMA統(tǒng)計模值不匹配是造成 CMA性能下降的主要原因之一。因此本文針對4-PAM和16-QAM 2種非常模信號，定義了一種幅度模值變換方法，可將多幅度模值變換成單一幅度模值，并將其應用于CMA代價函數(shù)中，從而提升CMA對非常模信號的均衡性能。

為分析簡便，先考慮4-PAM非常模實信號，其信源星座坐標為，對應的幅度模值為，統(tǒng)計模值為，此時。定義信源幅度模值變換方式

式中，|s′(k)|為信源新模值，將|s(k)|= { 1,3}帶入上式得|s′(k)|=1，且信源新模值對應的新統(tǒng)計模值R′為

可見，利用式（5）可以將4-PAM非常模實信源的多幅度模值|s(k)|= { 1,3}，變換成單一幅度模值|s′(k)|=1，并且

因此定義CMA新代價函數(shù)

均衡器抽頭系數(shù)更新公式為

將基于新代價函數(shù)式(7)和均衡器抽頭系數(shù)更新式(8)的新常數(shù)模算法記為 MT-CMA（Modulus Transformation-based CMA），且定義式(8)中為MT-CMA誤差函數(shù)項。MT-CMA的目的是使均衡器輸出信號的幅度模值經(jīng)過變換后，其新幅度模值與新統(tǒng)計模值相等。當 MT-CMA理想均衡時，有代入式(7)得JNEW(f )= 0，代入式(8)得 fk=fk-1。

文獻[10]提出了一種修正的 CMA，稱為MCMA，該算法將CMA代價函數(shù)分為實部和虛部兩個部分，該算法性能優(yōu)于傳統(tǒng) CMA[10,11]?？紤]到如果將 4-PAM信源坐標 s(k)={±1,±3}進行虛部擴展：{±1,±3} +j{±1,±3}，則變成16-QAM信源坐標 s (k) = {±1 ±j,±3 ±j,±1 ±3 j,±3 ±3 j}。因此利用MCMA中的實部和虛部分開的方法得到適用于16-QAM非常模復信號的MT-CMA：

1) 代價函數(shù)定義為

式中， yr(k)、 yi(k)分別為輸出信號的實部、虛部，Rr′、 Ri′分別定義為

式中， sr(k)、 si(k)分別為信源的實部、虛部。

2) 均衡器抽頭系數(shù)更新公式為

4 穩(wěn)態(tài)MSE性能分析

Mai和Sayed在無信道噪聲的環(huán)境下，提出了一種反饋式性能評估方法[3]，能夠較為精確地對均衡器的穩(wěn)態(tài)MSE進行評估[12,13]。因此本文也采用該方法，在信源信號分別為 4-PAM 實信號和16-QAM復信時，對MT-CMA的穩(wěn)態(tài)MSE進行評估。

考慮權(quán)向量迭代公式

用迫零均衡器抽頭系數(shù)向量 fZF同時減上式兩邊得

式中， f?k=fZF-fk。定義先驗和后驗誤差分別為

對等式兩邊取模的平方并求期望得

這里并不討論算法是否能夠收斂，只討論算法收斂后的均方誤差，所以有下式成立

代入式(15)得

結(jié)合式(14)得

為表示方便，省略式中的k，并展開等式右邊得

可見，式中T1和T2相等。通過該等式，可以得到算法的穩(wěn)態(tài)MSE:E[|ea|2]。

對于MT-CMA的穩(wěn)態(tài)MSE分析是建立在文獻[3]中的合理假設之上：s與 ea相互獨立，與y相互獨立。此外，在分析中假設μ足夠小，并且穩(wěn)態(tài)時 | ea|2也足夠小。

4.1 信源信號為4-PAM時

1) 計算T1

因為μ和 ea2足夠小，因此可以忽略包含有μ2和 ea的2次或更高次冪項[3]，此外s與 ea相互獨立，故

2) 計算T2

因為s與 ea相互獨立，并且當μ和 ea2足夠小時可以忽略包含有 μ ea4項[3]，所以

令T1= T2，得到MT-CMA的穩(wěn)態(tài)MSE

對于4-PAM，由于其信源坐標為 s ={±1,±3}，即有，所以此時MT-CMA的穩(wěn)態(tài)誤差為

而CMA在對非常模實信號進行均衡時的穩(wěn)態(tài)MSE為[3]

因為對于 4-PAM 信源有 R ≠|(zhì)s|2，所以此時CMA穩(wěn)態(tài)MSE，

顯然，對于4-PAM非常模實信號，在無信道噪聲情況下MT-CMA的穩(wěn)態(tài)MSE遠小于CMA。

4.2 信源信號為16-QAM時

同理，對于16-QAM復信號可得MT-CMA的穩(wěn)態(tài)MSE

由于 16-QAM其信源坐標為 s ={±1 ±j,±3 ± j,±1 ±3 j,±3 ±3 j}，即有sr={±1,±3}以及si={±1,±3}，從而有以及所以此時MT-CMA的穩(wěn)態(tài)誤差為

而CMA在對非常模復信號進行均衡時的穩(wěn)態(tài)MSE為[3]

對于16-QAM 信源有 R ≠|(zhì)s|2，所以此時CMA穩(wěn)態(tài)MSE， E

顯然，對于16-QAM非常模實信號，在無信道噪聲情況下 MT-CMA的穩(wěn)態(tài) MSE同樣遠小于CMA。

5 計算機仿真分析

5.1 無噪聲實信道環(huán)境仿真實驗

利用計算機仿真，來驗證上述理論分析的正確性。仿真實信道的沖激響應為 c =[-0.0901,0.6853,0.7170,0.0901][3]，無信道噪聲；信源為4-PAM；CMA和MT-CMA均采用T/2分數(shù)間隔均衡器結(jié)構(gòu)[2]，均衡器抽頭個數(shù)均為 4，步長分別為 0.000 06和0.000 8。仿真結(jié)果如圖3所示，當兩算法收斂后，MT-CMA輸出穩(wěn)態(tài) MSE約為-300dB，即MSE ≈ 1 0-30近似為0，遠遠小于CMA穩(wěn)態(tài)MSE；且MT-CMA收斂速度比CMA快。

圖3 4-PAM仿真學習曲線圖

5.2 有噪聲水聲信道環(huán)境仿真實驗

為了進一步檢驗 MT-CMA的有效性，采用文獻[14]中的淺海水聲信道模型進行仿真實驗，該模型已經(jīng)通過了海上實驗具有很高的精度。信道模型參數(shù)為：海深20m，風速為每小時20海里，聲速為1 500m/s，載波頻率為10kHz，信道帶寬為2kHz，聲源和接收點布放深度均為10m且相距5 000m，信息傳輸率為4k字符/s，選用聲壓幅度較大的10條本征聲線，聲線參數(shù)如表1所示。信道的脈沖響應由式(26)計算[15]

式中，αi為聲壓幅度，τi為相對延時，p(t)為滾降系數(shù)為20%的升余弦脈沖。計算求得信道沖激響應為 c =[0.5850 - 0 .5671 - 1 .0000 -0.3571 0.2608 0.1605- 0 .1336 - 0 .0874]。

表1 信道本征聲線參數(shù)

信源為 16-QAM 且能量歸一化，信噪比為18dB；由于在復信源情況下 MT-CMA借助了MCMA實、虛部分開處理的方法，因此將MT-CMA與CMA和MCMA進行對比，三者均采用T/2分數(shù)間隔均衡器結(jié)構(gòu)，均衡器抽頭個數(shù)均為 4，其步長分別為 0.03、0.004、0.06。各均衡器的 MSE曲線如圖4所示，MT-CMA穩(wěn)態(tài)MSE最小約-19.5dB，比CMA、MCMA分別小了約4.5dB、4dB。圖5～圖7分別是各均衡器的輸出星座圖，MT-CMA輸出星座比其他均衡器輸出星座更加清晰。

圖4 不同信噪比下算法穩(wěn)態(tài)MSE

圖5 CMA輸出星座

圖6 MCMA輸出星座

6 結(jié)束語

非常模信號的多幅度模值與CMA統(tǒng)計模值不匹配，是CMA在對非常模信號進行均衡時，穩(wěn)態(tài)MSE無法收斂至零的主要原因之一。本文定義的新代價函數(shù)能將4-PAM和16-QAM這2種非常模信號的多個幅度模值變換成單一幅度模值，從而使算法的穩(wěn)態(tài)MSE收斂至零。理論證明和仿真實驗均表明，新算法均衡效果較其他類似算法有顯著的提高。

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