內(nèi)點半定規(guī)劃法求解含機組組合動態(tài)最優(yōu)潮流

白曉清， 韋 化

(廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院， 南寧 530004)

內(nèi)點半定規(guī)劃法求解含機組組合動態(tài)最優(yōu)潮流

白曉清， 韋 化

(廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院， 南寧 530004)

考慮電力系統(tǒng)運行的經(jīng)濟性和安全性，建立了含機組組合的動態(tài)最優(yōu)潮流問題的半定規(guī)劃模型，并采用基于半定規(guī)劃的內(nèi)點法直接求解。所提算法采用修正策略處理模型中的離散變量，計算時不需要進行模型分解，收斂性好，能在多項式時間內(nèi)完成。為提高計算效率，采用了半定規(guī)劃塊狀矩陣運算的稀疏技術(shù)。通過對IEEE-118節(jié)點等4個測試系統(tǒng)24時段的仿真計算，驗證了所提方法的正確性、有效性和優(yōu)越性，其研究和應(yīng)用前景廣闊。

動態(tài)最優(yōu)潮流； 半定規(guī)劃； 機組組合； 內(nèi)點法

動態(tài)最優(yōu)潮流問題DOPF(dynamic optimal power flow)是在滿足線路容量、節(jié)點電壓以及運行約束等條件下，求解一個調(diào)度周期的電力系統(tǒng)運行計劃，并使得特定的目標函數(shù)最小[1]。其中可以調(diào)整的電力系統(tǒng)控制變量一般包括機組有功出力、節(jié)點電壓、有載變壓器變比和無功電源的無功出力。由于對離散變量的處理有一定困難，傳統(tǒng)的DOPF問題一般不考慮機組組合問題UC(unit commitment)，因此獲得的運行計劃不能保證目標的最優(yōu)性。為實現(xiàn)總運行成本最小或系統(tǒng)利潤最大的目標，且能滿足電網(wǎng)安全運行約束條件，有必要將機組組合問題與最優(yōu)潮流問題同時考慮，通常稱其為考慮機組組合的動態(tài)最優(yōu)潮流問題DOPF-UC(dynamic optimal power flow with unit commitment)[2]。

從數(shù)學(xué)的角度看，DOPF-UC問題是一個高維的、非凸的、離散的、非線性的優(yōu)化問題，圍繞這一復(fù)雜的新問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多計算方法，如Benders分解法[2，3]、Lagrangian松弛法[4]、內(nèi)點割平面法[5]、動態(tài)規(guī)劃[6]和智能優(yōu)化算法[7]等。

但由于現(xiàn)有算法的內(nèi)在限制，上述方法存在對離散變量處理不合理、算法求解效率不穩(wěn)定、需要對原問題模型分層求解等問題。本文所提內(nèi)點半定規(guī)劃法對離散變量采用半定松弛，不必對原模型分層求解，且算法能在多項式時間內(nèi)完成，具有良好的收斂性。

半定規(guī)劃SDP(semidefinite programming)[8，9]屬于凸規(guī)劃問題，能有效處理模型中的整數(shù)變量。經(jīng)近10年發(fā)展，目前已成為數(shù)值最優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點。其理論研究已逐漸成熟，被成功應(yīng)用于系統(tǒng)控制理論[10～12]，信號處理和通訊[13，14]，組合優(yōu)化[15]等領(lǐng)域。同時，由于SDP具有良好的算法結(jié)構(gòu)，許多成熟算法已被開發(fā)成接口清晰，易于調(diào)用的核心軟件包[16，17]。求解相應(yīng)問題不再需進行復(fù)雜的公式推導(dǎo)和計算，僅需按照對應(yīng)關(guān)系形成問題的SDP模型，直接調(diào)用核心軟件包計算。

文獻[18，19]首次將半定規(guī)劃應(yīng)用于求解電力系統(tǒng)經(jīng)濟調(diào)度問題，效果令人滿意。文獻[20]采用內(nèi)點半定法求解最優(yōu)潮流，結(jié)果表明其全局最優(yōu)性能可以得到保證。因此，將內(nèi)點半定規(guī)劃法引入DOPF-UC問題的求解中是一種有益的嘗試。54機IEEE-118節(jié)點等4個測試系統(tǒng)24時段的仿真計算表明：所提方法能有效求解連續(xù)變量和離散變量，算法收斂性好，是一種應(yīng)用前景廣闊的方法。

1 內(nèi)點半定規(guī)劃法

1.1 半定規(guī)劃的定義

半定規(guī)劃是指線性函數(shù)在對稱矩陣的仿射組合半正定約束下的極值問題，是特殊的錐優(yōu)化問題，可視為線性規(guī)劃的推廣[9]。

另一方面，半定規(guī)劃與線性規(guī)劃也有重大區(qū)別。其一，線性規(guī)劃具有強對偶性，而半定規(guī)劃具有弱對偶性，即具有非負的對偶間隙。其二，線性規(guī)劃的向量分量不等式約束是線性和光滑的，而半定規(guī)劃的線性矩陣不等式約束可以是非線性和非光滑的，但卻是凸的。因此，對于某些混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)換成半定規(guī)劃問題。

半定規(guī)劃問題有多種表達方式[9]。其中標準形式如下，分別稱半定規(guī)劃的原問題(Primal)和對偶問題(Dual)。

(1)

1.2 內(nèi)點法解半定規(guī)劃

解半定規(guī)劃問題(1)等價于求解其原問題的對數(shù)障礙函數(shù)問題[8]：

(2)

(3)

可導(dǎo)出其一階最優(yōu)性條件如下：

(4)

引入對稱矩陣Y，可以獲得如下非線性系統(tǒng)：

(5)

對系統(tǒng)(5)可導(dǎo)出其修正方程：

(6)

(7)

其中：

B是一個m×m的矩陣，且

Bij=(X-1AiY)·Aj，(i，j=1，…，m)；r是一個m維縱向量，且ri=-di+Ai·[X-1(R-PY)]，(i=1，…，m)。其中P，di，R分別定義為：

di=bi-Ai·Y，(i=1，…，m)

R=μI-XY

修正當前點為(X+αpΔX，y+αdΔy，Y+αdΔY)，其中αp和αd是步長因子，以保證更新后的X+αpΔX和Y+αdΔY仍在正定錐中。如此反復(fù)迭代，直到互補間隙μ=X·Y/n足夠小。

當μ→0時，(X(μ)，y(μ)，Y(μ))將沿著中心路徑γ(μ)≡{X(μ)，y(μ)，Y(μ)∈Rn×n×Rm×Rn×n∶μ>0}精確收斂到最優(yōu)解(X*，y*，Y*)。

可以證明，內(nèi)點法求解半定規(guī)劃模型能在多項式時間內(nèi)完成，具有超線性收斂[16]。

2 擬求解問題的半定規(guī)劃模型

首先根據(jù)DOPF-UC問題的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，采用對離散變量進行半定松弛的方法[21]導(dǎo)出其凸規(guī)劃模型，然后直接建立其半定規(guī)劃模型。

2.1DOPF-UC的混合整數(shù)非線性模型

DOPF-UC問題可以用混合整數(shù)非線性模型表示。為方便建立其半定規(guī)劃模型，本文采用如下直角坐標數(shù)學(xué)模型表示。

不失一般性，目標函數(shù)為煤耗最小的火電機組組合FCost。

(8)

同時必需滿足如下約束：

1)功率平衡約束(潮流方程)

(9)

i∈SB，t∈T

2)線路約束

(10)

其中：

ij∈SL，t∈T

3)旋轉(zhuǎn)備用約束

(11)

4)機組爬坡約束

(12)

(13)

5)最小啟停時間約束：

(14)

(15)

該約束為非線性的，為方便建立半定規(guī)劃模型，計及機組的初始狀態(tài)，可整理得與其等價的線性組合表達式如下：

(16)

(17)

6)機組有功出力上下限約束：

(18)

7)機組無功上下限約束：

(19)

8)電壓上下限約束

(20)

以上模型中各變量和下標含義如下：

T為調(diào)度周期的時段總數(shù)。

SB、SG、SR、SL分別為系統(tǒng)節(jié)點集合，發(fā)電機機組集合，無功電源集合和系統(tǒng)的線路集合，其中各集合中元素有nB、nG、nR、nL個。

PGi、QRi分別為機組i∈SG的有功功率和無功電源i∈SR的無功功率。

SRt為系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)備用，取該時段負荷的10%。

FPi為燃料單價($/MBtu)。

CUi為機組i∈SG的起動費用。

URi、DRi為機組i∈SG的有功爬坡費用和有功下降費用。

δ(t-1)為脈沖函數(shù)：

2.2DOPF-UC問題的凸優(yōu)化模型

目標函數(shù)：

(21)

滿足以下10種約束：

1)功率平衡約束(潮流方程)共T×nB個

i∈SB，t∈T

(22)

2)線路共2×nL個

ij∈SL，t∈T

(23)

3)旋轉(zhuǎn)備用共T個

t∈T

(24)

4)機組爬坡共2×T×nG個

?

(25)

5)最小啟停時間共2×T×nG個：

分析式(15)和(16)，除t=1的算式不一樣，其他時段的可以用統(tǒng)一的算式表示。

當t=1時，由于，

則有：

(26)

(27)

當t=2～T時，由于

則有：

(28)

(29)

6)機組有功出力上下限共2×T×nG個：

(30)

(31)

7)機組無功上下限共2×T×nR個：

(32)

(33)

8)電壓上下限共2×T×nB個：

(34)

(35)

9)輔助變量約束共2×T×nG+2×T×nR個：

(36)

(37)

10)機組啟停狀態(tài)共2×T×nG+2×T×

nR個：

(38)

(39)

以上10種約束共有n=2nB+2nL+T(1+10nG+6nR+2nB)個。

2.3DOPF-UC問題的半定規(guī)劃模型

首先定義矢量x：

t∈T

(40)

其中：①機組有功處理及其狀態(tài)變量為

②無功源及其狀態(tài)變量為

③節(jié)點電壓(直角坐標)為

④松弛變量為

另外：

定義矩陣變量X如下：

(41)

在矩陣變量X中的XG,G為

篇幅所限，且由于該矩陣變量是對稱正定的[20]，這里僅列出其中XG,G子塊中上三角元素以示說明。由此，根據(jù)矩陣跡的定義，可直接導(dǎo)出DOPF-UC問題的SDP模型原問題形式如下：

minF=A0·X

s.t.Ai·X=bi，i=1，…，n

(42)

x0

值得注意的是，按以上矢量x分組方式形成的變量矩陣具有優(yōu)良的分塊特性，適合采用基于分塊矩陣運算的半定規(guī)劃稀疏技術(shù)求解[22]，使得求解DOPF-UC問題的計算和存儲效率能大幅度提高。

3 內(nèi)點半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問題

采用內(nèi)點半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問題的流程如圖1。內(nèi)點半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問題，其中離散變量存在少量非0/1解。采用一般的四舍五入處理，不能保證獲得可行解。因此，為保證解的質(zhì)量和可行性，本研究采用如下策略處理離散變量，列于圖2。圖2是對圖1中虛線部分的進一步說明。經(jīng)驗表明，多數(shù)情況下用該策略修正不超過2次就可以獲得滿意的結(jié)果，解的質(zhì)量令人滿意。

圖1 內(nèi)點半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問題流程

圖2 內(nèi)點半定規(guī)劃法離散變量處理策略

4 仿真計算及算例分析

本研究對4個規(guī)模從6到118的系統(tǒng)進行仿真計算和研究，調(diào)度時間均為24 h。其中GX-98是廣西的一個實際系統(tǒng)，有36臺機組和98個節(jié)點。各算例規(guī)模列于表1。

表1 算例規(guī)模

4.1TEST-6——六節(jié)點系統(tǒng)

本小節(jié)用一個6節(jié)點的簡單電力系統(tǒng)說明SDP求解DOPF-UC問題的結(jié)果和優(yōu)越性，見圖3，其中含3臺發(fā)電機，5條傳輸線路和2臺有載調(diào)壓器。TEST-6中發(fā)電機、節(jié)點、有載調(diào)壓變壓器、線路參數(shù)及系統(tǒng)24時段負荷分別列于表2至表6。

圖3 六節(jié)點電力系統(tǒng)——TEST-6

參數(shù)機組G1G2G3節(jié)點編號126機組A(MBtu)176．9129．9137．4費用b(MBtu/MWh)13．532．632．6系數(shù)c(MBtu/MW2h)0．00040．0010．001有功出力上限(MW)22010020有功出力下限(MW)1001010無功出力上限(Mvar)2007050無功出力下限(Mvar)-80-40-40已開機時間(h)422最小停機時間(h)422最小開機時間(h)422爬坡速率(MW/h)1005020機組啟動能量(MBtu)1002000燃料費用(＄/MBtu)111

表3 節(jié)點電壓幅值數(shù)據(jù)(標幺值)

表4 傳輸線路數(shù)據(jù)

表5 有載調(diào)壓變壓器數(shù)據(jù)

為詳細說明所提方法的有效性，考慮以下2種情況：

1)UC-TEST-6：無任何網(wǎng)絡(luò)約束，相當于傳統(tǒng)的機組組合問題；

2)DOPF-TEST-6：考慮潮流方程、線路傳輸限制和節(jié)點電壓限制，為考慮機組組合的動態(tài)最優(yōu)潮流問題。以下分別予以說明。

表6 每小時負荷

4.1.1 UC-TEST-6

運用內(nèi)點半定規(guī)劃法求解機組組合問題[21]，機組啟停計劃列于表7。其中0/1分別表示機組的啟停狀態(tài)。24 h運行費用為$84317.80?？煽闯?，在滿足有功功率與負荷平衡的情況下，為使運行費用最小，費用較高的機組2和3在某些時段不開機。

考察該機組運行計劃，在時段10中僅有機組1和2投入運行。檢查該時段的潮流分布情況，此時線路1-4的有功傳輸功率為102.38MW，存在線路傳輸功率越限；同時，節(jié)點2和4的電壓幅值分別為0.9464和0.9363，低于電壓幅值要求。很明顯，該機組運行計劃不滿足實際運行要求。

表7 機組啟停計劃(算例1)

4.1.2 DOPF-TEST-6

用本文所提方法求解計及電網(wǎng)靜態(tài)安全約束的機組組合問題，機組啟停計劃列于表8。

表8 計及電網(wǎng)靜態(tài)安全約束的機組啟停計劃

按以上計劃運行，UC-TEST-6中出現(xiàn)的線路傳輸功率越限和節(jié)點電壓越限問題同時被消除。由于考慮了系統(tǒng)網(wǎng)損，且在第10時段為解決越限問題，3臺發(fā)電機此刻同時投入運行，造成總的運行費用比UC-TEST-6高，達$84317.90。

表9對UC-TEST-6和DOPF-TEST-6計算出的各時段發(fā)電機有功出力進行比較。結(jié)果表明，由于DOPF-TEST-6考慮了網(wǎng)絡(luò)約束，機組有功出力和運行費用均有所增加。同時，也正是由于同時考慮了系統(tǒng)安全運行約束，DOPF-TEST-6計算得出的機組運行計劃能滿足實際運行需要。

表9 機組調(diào)度有功出力比較

4.2 算法性能及其收斂性

采用內(nèi)點半定規(guī)劃法能有效地求解DOPF-UC問題。針對少數(shù)離散變量的微小偏差采取修正策略，能獲得滿意的整數(shù)解。表10 顯示了四個算例中關(guān)于離散變量處理的計算情況，其中離散變量值大于0.9的認定為1，小于0.05 的認定為0。門檻值γ從0.5遞減。從表中可以看出，隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加，離散變量解的質(zhì)量也隨著提高，用于修正非整數(shù)解的計算代價因此降低。

表10 離散變量處理

互補間隙是判斷是否達到最優(yōu)解的一個重要標準，它的變化趨勢能反映算法特點。一般來說，判斷一個算法優(yōu)秀與否的標準是其互補間隙能否快速單調(diào)遞減至0。圖4表明，內(nèi)點半定規(guī)劃法求解DOPF-UC問題核心計算的互補間隙在給定誤差范圍內(nèi)均能于有限次迭代步快速單調(diào)收斂趨于0。

圖4 互補間隙收斂曲線

5 結(jié)語

本文提出了一種基于內(nèi)點半定規(guī)劃模型求解考慮機組組合的動態(tài)最優(yōu)潮流問題的新方法，并系統(tǒng)討論了如何建立其半定規(guī)劃模型、相關(guān)核心算法步驟和算例仿真分析。仿真結(jié)果表明，所提方法能有效處理離散變量，不必對原問題模型分層求解，且算法性能穩(wěn)定，研究和應(yīng)用前景廣闊。但該方法目前還無法計算超大規(guī)模的系統(tǒng)，因此，深入研究相關(guān)稀疏技術(shù)和并行計算將是以后研究的重點。實際上，這正是數(shù)值最優(yōu)化領(lǐng)域當前的研究熱點。

[1] 袁貴川，王建全(Yuan Guichuan, Wang Jianquan).考慮了動態(tài)約束和穩(wěn)定約束的最優(yōu)潮流(Optimal power flow considering dynamic and stability constraints)[J]. 電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(Proceedings of the CSU-EPSA), 2003, 15(3): 1-5,9,16.

[2] Yamin H Y, Al-Tallaq Kamel, Shahidehpour S M. New approach for dynamic optimal power flow using Benders decomposition in a deregulated power market[J]. Electric Power Systems Research, 2003 , 65(2): 101-107.

[3] Yong Fu, Shahidehpour S M, Li Zuyi. AC contingency dispatch based on security-constrained unit commitment[J]. IEEE Trans on Power Systems, 2006,21(2): 897 - 908.

[4] Abdul-Rahman K H, Shahidehpour S M, Aganagic M,etal. Practical resource scheduling with OPF constraints[J]. IEEE Trans on Power Systems, 1996,11(1): 254-259.

[5] 丁曉鶯,王錫凡,張顯，等(Ding Xiaoying, Wang Xifan, Zhang Xian,etal). 基于內(nèi)點割平面法的混合整數(shù)最優(yōu)潮流算法(Mixed integer optimal power flow based on interior point cutting plane method)[J]. 中國電機工程學(xué)報(Proceedings of the CSEE), 2004, 24(2): 1-7.

[6] Raglend I Jacob, Padhy Narayana P. Solutions to practical unit commitment problems with operational, power flow and environmental constraints[C]// IEEE Power Engineering Society General Meeting, Montreal, Canada: 2006.

[7] Ragupathi Rajkumar, Das Tapas K. A stochastic game approach for modeling wholesale energy bidding in deregulated power markets[J]. IEEE Trans on Power Apparatus and Systems, 2004,19(2): 849-856.

[8] Adler I, Alizadeh F. Primal-dual interior point algorithms for convex quadratically constrained and semidefinite optimization problems[R]. New Brunswick: Rutgers University, 1995.

[9] Todd M J. Semidefinite optimization[J]. Acta Numerica, 2001,10(1): 515-560.

[10]Wolkowicz H. Handbook of Applied Optimization[M]. New York: Oxford University Press, 2001.

[11]Parrilo P. Structured Semidefinite Programs and Semialgebraic Geometry Methods in Robustness and Optimization[D]. Pasadena : Control and Dynamical Systems, California Institute of Technology, 2000.

[12]Parrilo P A. Sanjay Lall Semidefinite programming relaxations and algebraic optimization in control[J]. European Journal of Control,2003, 9(2-3):307-321.

[13]Alkire B, Vandenberghe L. Convex optimization problems involving finite autocorrelation sequences[R]. Los Angeles: , Electrical Engineering Department of University of Califonia Los Angeles, 2001.

[14]Xiao L, Boyd S. Fast linear iterations for distributed averaging[R]. USA: Stanford University, 2003.

[15]Goemans M X, Rendl F. Semidefinite programming in combinatorial optimization[J]. Mathematical Programming, 1997,79(1):143-161.

[16]Benson Steven J, Ye Yinyu, Zhang Xiong. Solving large-scale sparse semidefinite programs for combinatorial optimization[J]. SIAM Journal on Optimization, 1998,10(1):1-20.

[17]Fujisawa K, Fukuda M, Kojima M,etal. Numerical evaluation of SDPA [R] . Tokyo,Japan: Department of Mathematical and Computing Sciences of Tokyo Institute of Technology, 1998.

[18]Fuentes-Loyola Rodrigo, Quintana Victor H. Medium-term hydrothermal coordination by semidefinite programming[J]. IEEE Trans on Power Systems,2003, 18(4):1515-1522.

[19]Madrigal M, Quintana V H. Semidefinite programming relaxations for {0,l} -Power dispatch problems[C]∥IEEE PES Summer Meeting, Edmonton , Canada: 1999.

[20]白曉清，韋化，Katsuki Fujisaw (Bai Xiaoqing, Wei Hua, Katsuki Fujisaw). 求解最優(yōu)潮流問題的內(nèi)點半定規(guī)劃法(Solution of optimal power flow problems by semi-definite programming)[J].中國電機工程學(xué)報(Proceedings of the CSEE)，2008, 28(19): 56-64.

[21]韋化，吳阿琴，白曉清(Wei Hua, Wu Aqin, Bai Xiaoqing). 一種求解機組組合問題的內(nèi)點半定規(guī)劃方法(An interior point semidefinite programming for unit commitment problems)[J].中國電機工程學(xué)報(Proceedings of the CSEE)，2008, 28(1): 35-40.

[22]Fujisawa Katsuki, Kojima Masakazu, Nakata Kazuhide. Exploiting sparsity in primal-dual interior-point methods for semidefinite programming[J]. Mathematical Programming, 1997, 79(1-3):235-253.

SDP-basedMethodforDynamicOptimalPowerFlowwithUnitCommitment

BAI Xiao-qing， WEI Hua

(College of Electric Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Considering the economy and security of the operation of power system,a semidefinte programming(SDP) model for dynamic optimal power flow(DOPF) problem with unit commitment(UC),named as DOPF-UC,is set up in this paper,which is directly solved by the interior-point method(IPM) on the base of the SDP.The proposed method is applied for the DOPF-UC problems due to its excellent convergence and the ability in handling the discrete variables by a modification strategy and no requirement of the model decomposition,which can be finished within polynomial time.In order to increase the calculation speed,the sparse technology of block matrix operation of SDP is adopted.Four different size test cases from 6 to 118 buses over 24 hours are used to simulate,and the result verifies the accuracy,effectiveness and superiority of the proposed method.Therefore,the research and application of the SDP-based method for DOPF-UC has a good prospect.

dynamic optimal power flow； semidefinite programming； unit commitment； interior point method

2010-01-21；

2010-06-17

TM71

A

1003-8930(2011)06-0067-09

白曉清(1969-)，女，博士研究生，副教授，研究方向為電力系統(tǒng)最優(yōu)化。Email:baixq@gxu.edu.cn 韋 化(1954-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為最優(yōu)化理論及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用。