數(shù)列上下極限的研究

王巖巖，劉偉

（周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南周口466001）

數(shù)列上下極限的研究

王巖巖，劉偉

（周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南周口466001）

上下極限概念是極限概念的延伸,它們?cè)谡?xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別、求極限、證收斂等方面有著重要的作用.本文將給出有界數(shù)列與上下極限關(guān)系的一種新證法，并且更深層次的研究了上極限與數(shù)列極限收斂之間的關(guān)系.

數(shù)列；上極限；下極限

極限的概念是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)最重要的理論組成部分，極限思想在數(shù)學(xué)中起著非常重要的作用，它是解決數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具.數(shù)列上下極限的概念是數(shù)列極限概念的延伸，也是數(shù)學(xué)分析中的重要概念.本文將給出上下極限的三種定義.數(shù)列上下極限有許多重要性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問(wèn)題中有著非常廣泛的應(yīng)用，深入了解這些性質(zhì)是學(xué)習(xí)數(shù)列上下極限的關(guān)鍵，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)列上下極限的性質(zhì)是對(duì)數(shù)列極限性質(zhì)的拓展，也給解決問(wèn)題打開(kāi)了一個(gè)全新的視角.

本文給出數(shù)列上下極限的五條性質(zhì)，這些性質(zhì)參見(jiàn)文獻(xiàn)[1，2，3，4，5，6]，在文獻(xiàn)[6]中利用區(qū)間套定理證明了性質(zhì)1，然而這種方法較難理解,本文利用致密性定理和確界原理相結(jié)合來(lái)證明此性質(zhì)，這種證明方法簡(jiǎn)單易懂.文中進(jìn)一步討論了上極限與數(shù)列極限收斂之間的關(guān)系.

1 數(shù)列上下極限的定義

定義1[5]有界數(shù)列{an}的上（下）極限定{an}的最大（小）聚點(diǎn)記

定義2[1]坌ε>0，N>0，當(dāng)n>N時(shí)，總有an＜A+ε；又子列{an}使ank＞A-ε(K∈N)，則有(=A)；坌ε>0，N>0，當(dāng)n>N時(shí)，總有an>a-ε；又子列{ank}使ank＜a＋ε(K∈N)，則有

定義3[1]

2 數(shù)列上下極限的性質(zhì)

性質(zhì)1[1]：有界數(shù)列{xn}必存在上極限和下極限.證因?yàn)閧xn}為有界數(shù)列，由致密性定理：{xn}必存在收斂子列=a，則a為{xn}的聚點(diǎn)，即有界數(shù)列{xn}至少有一個(gè)聚點(diǎn).記S為{xn}的聚點(diǎn)集合，坌s∈S,必存在，由于{xn}為有界數(shù)列，所以存在M>0,對(duì)坌n，有-M

性質(zhì)2[2]：若{xn}是有界數(shù)列，則

推論:若數(shù)列{xn}收斂，則

性質(zhì)3[4]：若有界數(shù)列{an}、{bn}滿(mǎn)足：存在N0>0，當(dāng)n>N0時(shí)，有an≤bn，則bn.

性質(zhì)4[5]：{an}、{bn}是兩列有界數(shù)列，若an≥0，bn≥0，n=1,2…則

性質(zhì)5[2]：{an}為有界數(shù)列，若,則

3 上下極限與數(shù)列斂散性之間的關(guān)系

由性質(zhì)1知，當(dāng)有界數(shù)列{an}的極限不存在，即有界數(shù)列{an}發(fā)散時(shí)，但數(shù)列{an}的上極限與下極限則一定是存在的.而文中推論則說(shuō)明了當(dāng)一個(gè)數(shù)列收斂時(shí)，它的極限值與上下極限間的關(guān)系.然而能否根據(jù)數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)及其上下極限來(lái)判別該數(shù)列的斂散性呢？

引理[5]：若an>0，n=1，2，…，則

當(dāng)0≤a<+∞時(shí)，由數(shù)列極限定義知，坌ε>0，N>0當(dāng)k>N時(shí)，有任取n>N，令k=N，N+1，…，n-1，將所得n-N個(gè)不等式相乘，由于k>N可得(a+ε)n-N圯an

〔1〕王振福，張建軍.數(shù)列的上極限與下極限探析[J].包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2008,3(1):12-14.

〔2〕許萬(wàn)銀，齊小忠.數(shù)列上下極限問(wèn)題的若干討論[J].隴東學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2009，13(1):68-71.

〔3〕錢(qián)佩玲.數(shù)列與上下極限[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2000：212-277.

〔4〕宛金龍，楊輝.數(shù)列上下極限的注記[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004，8(10):25-26.

〔5〕艾斯卡爾.阿布力米提.數(shù)列上下極限性質(zhì)的推廣應(yīng)用[J].新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào),2003，11(19):26-34.

〔6〕華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)第三版[M].北京：高等教育出版社，2001：23-34.

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