三次方程根的判別式定理的新證明

陳海燕

（鹽城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 鹽城 224002）

1 問題的提出

對于實(shí)系數(shù)的一元三次方程

初等數(shù)學(xué)研究中給出其解的基本思路是通過作差根變換

將其化為不完全三次方程

形式來解，并運(yùn)用特殊的技巧方法給出了方程

的根的公式

該公式通常稱為卡丹（Cardano）公式，并由卡丹公式及其推導(dǎo)過程可得到方程(1)的根的判別式定理。

定理（三次方程根的判別式定理）對于一元不完全三次方程

其判別式為

（1）D＞0，方程有一個實(shí)根和一對共軛虛根；

（2）D=0，方程有三個實(shí)根，且其中有兩個相等；

（3）D＜0，方程有三個互不相等的實(shí)根。

易見三次方程 x3+px+q= 0(p,q ∈R )根的判別式D與 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c= 0(a≠0)根 的 判 別 式Δ= b2- 4ac的作用相同。由于三次方程根的判別式定理需要借助于卡丹公式的推導(dǎo)過程才能理解透徹（參見文獻(xiàn)[1]和[2]），而卡丹公式的推導(dǎo)技巧性又較強(qiáng)，所以，要深刻理解D的符號如何對三次方程的根的影響不如一元二次方程根的判別式那么直觀。為此，我們利用高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識給出三次方程根的判別式定理一個新的證明，從中能較直觀地看出D的符號如何影響三次方程根的情況。

2 一元不完全三次方程根的判別式定理的新證明

根的存在性定理[3]若函數(shù) f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且 f(a)f(b) ＜ 0，則至少存在一點(diǎn) c∈ (a,b)，使得f(c) = 0。

下面我們證明三次方程根的判別式定理。

證明易見，D＞0當(dāng)且僅當(dāng)p＞0或p=0，q≠0或p＜ 0，并且（其中 p1=(- p /3)1/2，下同）；

設(shè)f(x )= x3+ px + q ，則f(x)在實(shí)數(shù)域R上連續(xù)可導(dǎo)，且 f′(x) = 3x2+ p。

（1）若 p＞0，則 f′(x)＞0，從而 f(x)在實(shí)數(shù)域R上嚴(yán)格遞增。此時， f(x)圖象與x軸至多有一個交點(diǎn)。又因為，所以，存在[a,b]? R，使得 f(a)＜0，f(b)＞0。由根的存在定理知f(x)圖象與x軸有且僅有一個交點(diǎn)，即方程f(x)=0恰有一實(shí)根。再由高等代數(shù)中實(shí)系數(shù)一元多項式分解定理[4]易知，多項式x3+px+q可分解為一次因式和二次不可約因式的積。由此可知方程f(x)=0有一個實(shí)根和一對共軛虛根。

（2）若p=0，則 f(x)有唯一穩(wěn)定點(diǎn)x0=0，除此以外的任一點(diǎn)x，有 f′(x)＞0。此時，若q≠0，則同（1）可推知方程 f(x)=0有一個實(shí)根和一對共軛虛根；若q= 0，則方程f(x)=0即為x3=0，該方程有三重根。

容易算出

又

綜上可得出定理的結(jié)論。

從以上證明可以看出，當(dāng)p＜0時，D的符號即為f的兩個極值的乘積的符號。當(dāng)D＞0時，函數(shù)f(x)的圖象如圖1，當(dāng)D=0、D＜0時，圖象分別如圖2、3。

圖1 (a) D>0

圖1 (b) D>0

圖2 D=0

圖4 D<0

從而不難理解D的符號對不完全三次方程

根的影響。這一點(diǎn)在初等數(shù)學(xué)研究的相關(guān)證明中難以看出。