廣義Markov切換系統(tǒng)在有界轉(zhuǎn)移概率下的H∞控制

王國良

（遼寧石油化工大學信息與控制工程學院，遼寧撫順113001）

廣義Markov切換系統(tǒng)在有界轉(zhuǎn)移概率下的H∞控制

王國良

（遼寧石油化工大學信息與控制工程學院，遼寧撫順113001）

研究了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)在有界轉(zhuǎn)移概率下的H∞控制。通過采用保守性較小的估計不等式，得到了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)正則，無脈沖，隨機穩(wěn)定且具擾動系數(shù)γ的充分條件。給出了H∞控制器求解條件。最后，通過仿真算例驗證了所得結(jié)論的有效性。

廣義Markov切換系統(tǒng)； 有界轉(zhuǎn)移矩陣；H∞控制

廣義系統(tǒng)又叫奇異系統(tǒng)，隱式系統(tǒng)，微分代數(shù)系統(tǒng)［1］，由于其較正常系統(tǒng)能更好的描述實際系統(tǒng)而被廣泛研究。許多實際系統(tǒng)比如電力和機械系統(tǒng)都是廣義系統(tǒng)［2－3］。關(guān)于連續(xù)廣義系統(tǒng)的結(jié)果也很多［4－6］。當廣義系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有突然變化時，我們就需要用廣義Markov系統(tǒng)來描述這種突變，并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果［7－9］。但是，前面所提關(guān)于Markov切換系統(tǒng)的結(jié)果都需要精確的道轉(zhuǎn)移概率。最近，Boukas E K［10］研究了離散Markov切換系統(tǒng)的在有界轉(zhuǎn)移概率下的H∞控制，文獻［11］考慮了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)在全部知道或者部分知道轉(zhuǎn)移概率下的鎮(zhèn)定問題。

本文重新討論了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)在有界轉(zhuǎn)移下的H∞控制問題。通過采用較文獻［10－11］保守性較小的不等式去估計連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)中的ETPj，以線性矩陣不等式（LMIs）的形式給出了系統(tǒng)隨機容許且滿足H∞性能的充分條件［12］，并給出了相應(yīng)的H∞控制器設(shè)計方法。最后，通過仿真算例驗證了所得結(jié)論的有效性。

符號說明：M＊表示一個任意矩陣M與其轉(zhuǎn)置之和，即

1 問題描述

考慮如下連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)

其中分別是系統(tǒng)的狀態(tài)，控制輸入，輸出和干擾輸入。矩陣E是奇異矩陣且滿足rank（E）＝r＜n。參數(shù)η（t）是右連續(xù)的Markov鏈，在有限集合S＝｛1，2，…，N｝中取值且轉(zhuǎn)移概率如下：

其中Δt＞0，，而且轉(zhuǎn)移概率λij≥0，任取i，j∈S，i≠j且

為了簡化描述，對于η（t）＝i∈S，矩陣Aη（t）簡記為Ai，等等。

假設(shè)1：系統(tǒng)（1）的轉(zhuǎn)移概率未知但有界，具體如下：

其中i≠j。

從假設(shè)1中，可以看出當僅僅知道轉(zhuǎn)移矩陣中

假設(shè)系統(tǒng)（1）中u（t）≡0和ω（t）≡0，并給出如下定義。

定義1［8］：

1）系統(tǒng)（1）是正則的，如果對每一個模態(tài)i∈S，多項式det（sE－Ai）都不恒等于零。

2）系統(tǒng)（1）是無脈沖的，如果對每一個模態(tài)i∈S，有det（det（sE－Ai））＝rank（E）。

3）系統(tǒng)（1）是隨機穩(wěn)定的，如果對任意初始條件x0和η0，存在正實數(shù)M（x0，η0）使得式（5）成立：

4）系統(tǒng)（1）是隨機容許的，如果它是正則，無脈沖而且隨機穩(wěn)定。

定義2：給定正實數(shù)γ＞0，系統(tǒng)（1）隨機容許且滿足H∞性能，如果系統(tǒng)（1）隨機容許且

在零初始條件和任何非零ω（t）∈L2［0，∞）成立。

本文H∞控制的目的是設(shè)計控制器（7），使相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)隨機容許并且滿足（6）

其中Ki是要設(shè)計的控制器增益。

引理1：給定正實數(shù)γ＞0，系統(tǒng)（1）隨機容許且滿足H∞性能，如果存在矩陣Pi滿足如下LMIs

對所有模態(tài)i∈S成立。

2 主要結(jié)果

定理1： 給定正實數(shù)γ＞0，系統(tǒng)（1）在有界概率（4）下隨機容許且滿足H∞性能，如果存在矩陣Xi和正定矩陣Tij＞0滿足如下LMIs

其中

對所有模態(tài)i∈S成立。

證明：由式（3）和（4）可知

由式（14）可以得到式（16）蘊涵式（13）

注釋1：ETPj在廣義Markov切換系統(tǒng)中是奇異的，并會給控制器的求解帶來一些問題，文獻［11］通過不等式的放縮，解決了控制器的求解問題。在本文中，通過不等式（14）來估計ETPj。令可以得到所以有即本文采用的不等式要比文獻［11］中方法的保守性小。

定理2：給定正實數(shù)γ＞0存在控制器（7）使得相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)（1）在有界轉(zhuǎn)移概率（4）下隨機容許且滿足H∞性能，如果存在矩陣Xi，Yi和正定矩陣Tij＞0滿足如下LMIs

其中對所有模態(tài)i∈S成立?？刂破髟鲆鎸λ心B(tài)如下

證明：將定理1中的Ai用Ai＋BiKi替換。結(jié)合式（19），以及利用類似定理1的證明方法，可以得到定理2。

3 數(shù)值算例

例1：考慮形如系統(tǒng)（1）的一個系統(tǒng)，參數(shù)如下

假設(shè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣如下：

采用文獻［11］的設(shè)計方法，不論γ取何值，H∞控制器（7）都沒有解。但是，當γ＝1時，利用定理2，可以得到控制器（7）的增益如下：

4 結(jié)束語

以LMI的形式給出了連續(xù)廣義Markov切換系統(tǒng)隨機容許且滿足H∞性能指標的一個保守較小的充分條件?；谒媒Y(jié)果，進一步給出了H∞控制器的設(shè)計方法，即能夠使對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不但能隨機容許，而且H∞范數(shù)小于給定的正數(shù)γ。最后通過一個仿真算例驗證了所給結(jié)果的優(yōu)越性。

［1］Dai L.Singular control systems［M］.Berlin：Springer－Verlag，1989.

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［3］Muller P C.Linear mechanical descriptor systems：identification，analysis and design［C］//In：Preprints of IFAC.Conference on control of independent systems.France：Belfort，1997：501－506.

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［5］Lu G P，Ho D W C.Generalized quadratic stability for continuous－time singular systems with nonlinear perturbation［J］.IEEE transaction on automatic control，2006，51（5）：818－823.

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［8］Xu S Y，Lam J.Control and filtering of singular systems［M］.Berlin：Springer－Verlag，2006.

［9］Lam J，Shu Z，Xu S Y，et al.Robustcontrol of descriptor discrete－time Markovian jump systems［J］.International journal of control，2007，80（3）：374－385.

［10］Boukas E K.Control of discrete－time Markov jump systems with bounded transition probabilities［J］.Optimal control application and methods，2009，30（5）：477－494.

［11］Boukas E K.On stability and stabilization of continuous－time singular Markovian swithcing systems［J］.IEE proceeding control theory and applications，2008，2（10）：884－894.

［12］閆俊榮，郭西進.Delta算子不確定系統(tǒng)的魯棒H2/H∞控制［J］.石油化工高等學校學報，2007，20（3）：29－33.

（Ed.：WYX，Z）

Control of Continuous－Time Singular Markovian Jump Systems With Bounded Transition Probabilities

WANG Guo－liang
（School of Information and Control Engineering，Liaoning Shihua University，F(xiàn)ushun Liaoning113001，P.R.China）

TheH∞control of continuous－time singular Markovian jump systems（SMJSs）with bounded transition probabilities was discussed.Improved sufficient condition for continuous－time SMJSs to be regular，impulse－free and stochastically stable withγ－disturbance attenuation is established via less conservative estimated inequality.The condition for the existence ofH∞controller is established.Finally，an example is presented to show the effectiveness of the proposed approaches.

Singular Markovian jump systems；Bounded transition probabilities；H∞control

.Tel.：＋86－413－6860726；e－mail：gliangwang＠yahoo.com.cn

TP202

A

10.3696/j.issn.1006－396X.2011.01.022

2010－09－26

王國良（1981－），男，山東濰坊市，講師，博士。

國家自然科學基金資助項目（60974004；60904009）。

1006－396X（2011）01－0093－04

Received26September2010；revised15October2010；accepted4November2010