復雜單擺的KAM理論

梁建莉,湯龍坤

(華僑大學數(shù)學科學學院,福建泉州 362021)

復雜單擺的KAM理論

梁建莉,湯龍坤

(華僑大學數(shù)學科學學院,福建泉州 362021)

建立了一類復雜單擺的運動方程.首先利用一個動量守恒的首次積分將二自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單自由度系統(tǒng),然后利用 KAM理論,將重力能量作為小擾動項,研究了復雜單擺的運動規(guī)律.研究表明:當重力能量與總能量相比很小時,或者單擺總能量充分大時,復雜單擺的KAM不變曲線仍然存在,整個系統(tǒng)做擬周期運動,擾動系統(tǒng)仍然具有無重力系統(tǒng)的運動規(guī)律.

復雜單擺;無重力系統(tǒng);KAM理論;哈密頓系統(tǒng)

哈密頓動力系統(tǒng)的中心問題是動力學穩(wěn)定性.KAM理論是哈密頓系統(tǒng)研究理論發(fā)展的里程碑,它對物理學、天文學、力學等有關領域產(chǎn)生了深遠的影響.半個世紀以來,數(shù)學力學家在使用和研究KAM理論方面做了大量的工作,如直接否定了哈密頓系統(tǒng)遍歷性的猜測,解決了長期懸而未決的特羅央小行星群運動穩(wěn)定性問題.文獻[1-2]采用 KAM理論研究了復雜雙擺和陀螺儀的運動穩(wěn)定性,文獻[3-4]采用 KAM理論研究了太陽系的穩(wěn)定性、木星附近衛(wèi)星的運動等.本文利用 KAM理論研究一類復雜單擺的運動性質(zhì)和穩(wěn)定性問題.

1 運動方程

復雜單擺的運動系統(tǒng)模型,如圖1所示.圖1中:重物M1的質(zhì)量為m1,可沿光滑水平面移動;擺錘M2的質(zhì)量為m2,兩個物體用無重桿AB連接,桿長為l.重物和單擺組成的系統(tǒng)具有兩個自由度.選取重物的水平位移 x和桿AB偏離鉛直線的角度φ為廣義坐標.設重物和單擺為兩個質(zhì)點,則系統(tǒng)動能為式中:(x,φ)為廣義坐標為廣義速度.系統(tǒng)勢能即重力勢能為由此可得系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

圖1 復雜單擺模型Fig.1 Model of the comp lex pendulum

由此,可得復雜單擺系統(tǒng)的哈密頓方程為

2 無重力系統(tǒng)的運動

復雜單擺系統(tǒng)是一個不可積的哈密頓系統(tǒng).首先,研究無重力時的運動情形,即g=0的情形.這時系統(tǒng)是可積的,對應的哈密頓函數(shù)為

由能量守恒可得,系統(tǒng)的一個首次積分為

由式(2)可知,px為常數(shù),即重物的動量守恒.對任意給定的H0=h,由式(3)可得局部解為

將式(5)代入式(2),消去px可得

記px,±=Λ0,±(φ,pφ),則有

即系統(tǒng)(6)是以Λ0,±(φ,pφ)為哈密頓函數(shù)的哈密頓系統(tǒng),此系統(tǒng)的一個首次積分為

這些平衡點都是不穩(wěn)定的平衡點,并且構(gòu)成相平面上的兩條連續(xù)曲線.

系統(tǒng)(6)的平衡點對應的兩個特殊值為

到20周，寶寶體重增加到300克，從16周的120克到20周的300克，這4周時間里寶寶增重180克，平均每周才45克。孕婦到20周應該可以增重4千克。如果孕媽媽想要控制體重，這時增重3千克即可，因為在20周前增重的4千克里有2千克是非必需增重的間質(zhì)，相對而言可以減少一點，所以增重3千克也可以。

這樣就對應兩族點,構(gòu)成兩條連續(xù)曲線為

當參數(shù)h和h1固定時,對任意x,式(4),(7)定義了兩個二維流形.把式(4)定義的二維流形記作M0(x),稱為等能量面,M0(x)同胚于一個二維環(huán)面T2;把式(7)定義的二維流行記作當h和h1給定后,一個具體的運動對應于上述兩個二維流形的交線,它通常是一條或兩條閉曲線,把它們稱為h1-曲線.通過分析,可以得到如下4點結(jié)論.

(1)當h1=時,環(huán)面M0(x)上h1-曲線為曲線L1或L2,它是環(huán)面M0(x)上的一條閉曲線.

(2)當h1=0時,由式(4)可得

環(huán)面M0(x)上h1-曲線是兩條互不相交的閉曲線,它們分別是環(huán)面M0(x)的外赤道和內(nèi)赤道.

(3)當 -時,環(huán)面M0(x)上的h1-曲線是兩條互不相交的閉曲線.一條幾乎位于M0(x)的外半部,同倫于M0(x)的外赤道;而另一條幾乎位于M0(x)的內(nèi)半部,同倫于M0(x)的內(nèi)赤道.

(4)當>2h(m1+m2)時,環(huán)面M0(x)和流形M h1不相交,解不存在.

系統(tǒng)的作用變量I(h1)可由以下過程求出.即

即該系統(tǒng)滿足柯爾莫哥洛夫非退化條件.

3 KAM理論

對系統(tǒng)(2),哈密頓函數(shù)可以寫為

其中:H1(x,φ)=m2l(1-cosφ),對應于φ以2π為周期.對于任意Hg=hg∈R+,式(8)等價于

當能量hg很大時,εH1(x,φ)很小,這樣復雜單擺系統(tǒng)就可以看作是無重力運動的周期擾動.如果存在

對于固定的h∈R+和x,則式(10)定義了一個等能量面Mε(x).對于充分小的ε>0,它同胚于二維環(huán)面T2.由式(10)可局部解得

已證明無重力系統(tǒng)即未擾系統(tǒng)的每個解關于φ都是周期解,始終在不變環(huán)面上,解的周期取決于相軌線的位置.由于Λ0,±(φ,pφ)滿足柯爾莫哥洛夫非退化條件,由 KAM理論可得如下結(jié)論.

定理1 對擾動系統(tǒng)(9),當ε>0充分小時,擾動系統(tǒng)的軌線仍保持在不變環(huán)面上.

4 結(jié)論

從相平面上看,對于未擾系統(tǒng)的平衡曲線,擾動系統(tǒng)也有相應的固定曲線,它們對應于關于φ的周期解.在固定曲線周圍的大部分不變曲線仍然存在情況下,與未擾系統(tǒng)的不變曲線相比,其僅僅發(fā)生了微小形變,但破裂的曲線也構(gòu)成稠密集.

同樣,當ε>0充分小時,擾動系統(tǒng)也存在與未擾系統(tǒng)的不變環(huán)面相對應的不變環(huán)面,其上的流是擬周期流,并且此不變環(huán)面充分接近未擾系統(tǒng)的不變環(huán)面.擾動系統(tǒng)的不變曲線存在表明,擾動系統(tǒng)仍然具有無重力系統(tǒng)的運動規(guī)律.

[1]胡志興,管克英.復雜雙擺的 KAM定理[J].高校應用數(shù)學學報:A輯,1999,14(2):147-154.

[2]胡志興,管克英.陀螺儀運動的混沌與 KAM理論[J].應用數(shù)學學報,2000,23(2):212-220.

[3]ARNOLD V I.Mathematical methods of classical mechanics[M].New York:Sp ringer-Verlag,1978.

[4]程崇慶,孫義燧.哈密頓系統(tǒng)中的有序和無序運動[M].上海:上?？萍汲霭嫔?1996.

(責任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

KAM Theory of the Complex Pendulum

LIANG Jian-li,TANG Long-kun
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

The motions of a comp lex pendulum is studied in this paper.A two degrees systems is transformed into a single degree system by means of a momentum conservation.The system is studied by treating the gravitation as a small perturbation in KAM theory.It is show n that w hen the gravitational energy is small compared with the total energy,o r the total energy is sufficiently large,there still exists the KAM invariant curves.It is also show n that the system is a quasi periodic system and the motions of the gravity-free system can be kept to the perturbation system.

comp lex pendulum;gravity-free system;KAM theory;Hamiltonian system

O 317;O 175.13

A

1000-5013(2011)02-0231-04

2009-04-11

梁建莉(1979-),女,講師,主要從事哈密頓動力系統(tǒng)的研究.E-mail:liangjl@hqu.edu.cn.

國務院僑辦科研基金資助項目(08QZR10)