嚴格F－G廣義凸函數(shù)

趙 宇，黃金瑩，劉春妍

（佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007）

嚴格F－G廣義凸函數(shù)

趙 宇，黃金瑩，劉春妍

（佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007）

給出一類新的廣義凸函數(shù)——嚴格F－G廣義凸函數(shù)，并給出條件P1、P2及其性質(zhì)，研究嚴格F－G廣義凸函數(shù)的若干性質(zhì)，給出嚴格F－G廣義凸函數(shù)的兩個充分條件，指出在一定條件下，滿足中間點嚴格F－G廣義凸性的F－G廣義凸函數(shù)是嚴格F－G廣義凸函數(shù)，滿足中間點嚴格F－G廣義凸性的半嚴格F－G廣義凸函數(shù)是嚴格F－G廣義凸函數(shù)．最后給出嚴格F－G廣義凸函數(shù)在極小化問題中的一個實際應(yīng)用．

嚴格F－G廣義凸函數(shù)；F－G廣義凸函數(shù)；條件P1；條件P2

凸性及廣義凸性是不等式研究的主要內(nèi)容，同時也在最優(yōu)化理論方面起著重要作用．近20年間，在文獻中出現(xiàn)了各種各樣的廣義凸函數(shù)，其中比較常見的推廣方式是以討論極值問題最優(yōu)性條件為目的通過將凸性條件弱化來構(gòu)造的廣義凸函數(shù)．1981年，Hanson［1］和Craven［2］提出了不變凸、擬不變凸和偽不變凸函數(shù)等概念，并利用其條件建立了分式規(guī)劃對偶理論．1985年，Jeyakumar［3］提出預(yù)不變凸函數(shù)的概念，1991年，Pini［4］定義了更廣義的預(yù)不變擬凸函數(shù)．值得一提的是，1995年S．R．Mohan與S．K．Neogy［5］提出了條件C，條件C所蘊含的等式關(guān)系搭建了不變凸函數(shù)類之間的關(guān)系，推導(dǎo)出嚴格、半嚴格預(yù)不變（擬）凸函數(shù)的若干判別準則，極大促進了不變凸函數(shù)類的性質(zhì)研究．近幾年，國內(nèi)的專家學(xué)者針對上述各類廣義凸函數(shù)開展了特性研究，唐萬梅等［6－7］研究了強預(yù)不變凸函數(shù)和強預(yù)擬不變凸函數(shù)的充要條件，劉彩平［8］研究了半嚴格不變凸函數(shù)，豐富了無限維空間中的廣義凸理論，黃金瑩等［9－10］對預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)做了進一步研究，提出F－G廣義凸函數(shù)概念．

由于它們在一定程度上又保留了凸函數(shù)的良好性質(zhì)，所以各類廣義凸函數(shù)之間必然有著類似的性質(zhì)，在研究方法和技巧上就不可避免地出現(xiàn)了類比、雷同、重復(fù)的現(xiàn)象，且在處理具體問題時又受到具體形式的影響．該文建立嚴格F－G廣義凸函數(shù)概念，開展一般性研究，將目前相關(guān)結(jié)果加以整合、梳理和推廣．

1 嚴格F－G廣義凸函數(shù)

定義1 稱集合K?Rn是關(guān)于F的廣義凸集，若存在向量值函F：K×K×［0，1］→Rn，使得?λ∈［0，1］，?x，y∈K，有F（x，y，λ）∈K．

將上述中K?Rn換成D?R，則會有：稱集合D?R是關(guān)于G的廣義凸集，若存在數(shù)量函數(shù)G：D×D×［0，1］→R，使得 ?λ∈ ［0，1］，?s，t∈D，有G（s，t，λ）∈D．

定義2 設(shè)K?Rn是關(guān)于F的廣義凸集，D?R是關(guān)于G的廣義凸集，稱數(shù)量函數(shù)f：K→D在K上是F－G 廣義凸函數(shù)，若 ?λ∈ ［0，1］，?x，y∈K，有f［F（x，y，λ）］≤G［f（x），f（y），λ］．

定義3 設(shè)K?Rn是關(guān)于F的廣義凸集，D?R是關(guān)于G的廣義凸集，稱數(shù)量函數(shù)f：K→D在K上是嚴格F－G 廣義凸函數(shù)，若 ?λ∈ （0，1），?x，y∈K，且x≠y，有f［F（x，y，λ）］＜G［f（x），f（y），λ］．

特別地，在上述定義中，當(dāng)特取D?R為凸集，并且G（s，t，λ）＝λs＋（1－λ）t，?s，t∈D，則稱數(shù)量函數(shù)f：K →D 在K 上是嚴格F 凸函數(shù)．當(dāng)特取G（s，t，λ）＝max｛s，t｝，?s，t∈D，則稱數(shù)量函數(shù)f：K →D在K上是嚴格F擬凸函數(shù)．

注1［1］取K?Rn為關(guān)于向量函數(shù)η：Rn×Rn→Rn的不變凸集，D?R為凸集．

令F（x，y，λ）＝y(tǒng)＋λη（x，y），?x，y∈K，λ∈ ［0，1］，G（s，t，λ）＝λs＋（1－λ）t，?s，t∈D，則當(dāng)數(shù)量函數(shù)f：K→D為K 上關(guān)于η的嚴格預(yù)不變凸函數(shù)時，f在K上是嚴格F凸函數(shù)．

注2［2］取K?Rn為關(guān)于向量函數(shù)η：Rn×Rn→Rn的不變凸集，D?R．

令F（x，y，λ）＝y(tǒng)＋λη（x，y），?x，y∈K，λ∈ ［0，1］，G（s，t，λ）＝ max｛s，t｝，?s，t∈D，則當(dāng)數(shù)量函數(shù)f：K→D為K上關(guān)于η的嚴格預(yù)不變擬凸函數(shù)時，f在K上是嚴格F擬凸函數(shù)．

定義4 設(shè)K?Rn是關(guān)于F的廣義凸集，D?R是關(guān)于G的廣義凸集，稱數(shù)量函數(shù)f：K→D在K上是半嚴格F－G 廣義凸函數(shù)，若 ?λ∈ （0，1），?x，y∈K，且f（x）≠f（y），有

2 條件P1、P2

定義5 設(shè)K?Rn是關(guān)于F的廣義凸集，稱F在K 上滿足條件P1、P2，若?α，β∈［0，1］，且α＜β，?x，y∈K，有

設(shè)D?R是關(guān)于G的廣義凸集，稱G在D上滿足條件P1、P2，若 ?α，β∈ ［0，1］，且α＜β，?s，t∈D，有

對于條件P1、P2，有如下幾個性質(zhì)：

定理1 若F在K 上滿足條件P1、P2，則 ?λ∈ （0，1），?u1，u2∈ ［0，1］，u1≠u2，?x，y∈K，有

證明 ?λ∈ （0，1），?u1，u2∈ ［0，1］，u1≠u2，?x，y∈K，

i）當(dāng)u1＜u2時，由條件P1、P2得

定理2 若K ?Rn是關(guān)于F 的廣義凸集，且 ?λ∈ ［0，1］，?x，y∈K，有f［F（x，y，λ）］＝f［F（y，x，1－λ）］，則條件P1等價于條件P2．

故條件P2蘊含條件P1．

故條件P1蘊含條件P2．

定理3 若向量函數(shù)η：Rn×Rn→Rn在K 上滿足條件C，則F（x，y，λ）＝y(tǒng)＋λη（x，y）在K上滿足條件P1、P2．

證明 因η在K 上滿足條件C，即 ?λ∈ ［0，1］，?x，y∈K，有

故F在K 上滿足條件P1、P2．

3 嚴格F－G廣義凸函數(shù)的性質(zhì)

定理4 設(shè)f：K →D是嚴格F－G 廣義凸函數(shù)．若 ?λ∈ ［0，1］，?s，t∈D，?α＞0，有αs，αt∈D，且

推論1 設(shè)函數(shù)f：K→D是嚴格F凸函數(shù)，F(xiàn)滿足條件P1、P2，?λ∈（0，1），?x，y∈K，且x≠y，有F（x，y，λ）≠y，則 ?x，y∈K，且x≠y，Φ（α）＝f［F（x，y，α）］是［0，1］上的嚴格凸函數(shù)．

推論2 設(shè)函數(shù)f：K→D是嚴格F擬凸函數(shù)，F(xiàn)滿足條件P1、P2，?λ∈（0，1），?x，y∈K，且x≠y，有F（x，y，λ）≠y，則 ?x，y∈K，且x≠y，Φ（α）＝f［F（x，y，α）］是［0，1］上的嚴格擬凸函數(shù)．

下面給出嚴格F－G廣義凸函數(shù)的2個充分條件．

定理9 設(shè)K?Rn是關(guān)于F的廣義凸集，D?R是關(guān)于G的廣義凸集，且有如下條件：

i）F、G在K 上滿足條件條件P1、P2；

ii）?λ∈ （0，1），G（s，t，λ）關(guān)于t在D 上嚴格增加；

iii）函數(shù)f：K→D在K 上是F－G廣義凸函數(shù)，且滿足?α∈ （0，1），?x，y∈ K，且x≠y，有f［F（x，y，α）］＜G［f（x），f（y），α］，則函數(shù)f在K上是嚴格F－G廣義凸函數(shù)．

證明 令w ＝F（x，y，α），由條件iii）知，?x，y∈K，x≠y，有

于是，對 ?λ∈ （0，1），

綜上，函數(shù)f在K上是嚴格F－G廣義凸函數(shù)．

定理10 設(shè)K?Rn是關(guān)于F的廣義凸集，D?R是關(guān)于G的廣義凸集，且有如下條件：

i）F、G在K 上滿足條件條件P1、P2；

ii）G（s，t，λ）關(guān)于s，t在D 上非減，且對 ?λ∈ （0，1），?s，t∈D，有 min｛s，t｝≤G（s，t，λ）≤ max｛s，t｝；

iii）函數(shù)f：K→D在K 上是半嚴格F－G廣義凸函數(shù)，且滿足

?α∈ （0，1），?x，y∈ K，且x≠y，有f［F（x，y，α）］＜G［f（x），f（y），α］，

則函數(shù)f在K上是嚴格F－G廣義凸函數(shù)．

證明 因為函數(shù)f：K→D在K上是半嚴格F－G廣義凸函數(shù)，所以只須證明下式成立：

對 ?λ∈ （0，1），f（x）＝f（y）且x ≠y，有f［F（x，y，λ）］＜G［f（x），f（y），λ］．

因為對 ?λ∈ （0，1），?s，t∈ D，有 min｛s，t｝≤G（s，t，λ）≤ max｛s，t｝，所以當(dāng)f（x）＝f（y）時，G［f（x），f（y），λ］＝f（x）＝f（y）．

令w ＝F（x，y，α），由條件iii）知，?x，y∈K，x≠y，f（x）＝f（y），有f（w）＝f［F（x，y，α）］＜G［f（x），f（y），α］＝f（x）＝f（y），于是，對 ?λ∈ （0，1），

接下來作幾個推論，將現(xiàn)有文獻相關(guān)結(jié)論作為其特例．

推論3 設(shè)集合K是關(guān)于η的不變凸集，η滿足條件C，如果f：K→R是預(yù)不變凸函數(shù)，且?α∈（0，1），?x，y∈K，x≠y，有f（y＋αη（x，y））＜αf（x）＋（1－α）f（y），則f是嚴格預(yù)不變凸函數(shù)．

根據(jù)定理3及定理9可以證明．

推論4 設(shè)集合K是關(guān)于η的不變凸集，η滿足條件C，如果f：K→R是半嚴格預(yù)不變凸函數(shù)，且?α∈ （0，1），?x，y∈K，x≠y，有f（y＋αη（x，y））＜αf（x）＋（1－α）f（y），則f是嚴格預(yù)不變凸函數(shù)．

根據(jù)定理3及定理10可以證明．

推論5 設(shè)集合K是關(guān)于η的不變凸集，η滿足條件C，如果f：K→R是預(yù)不變擬凸函數(shù)，且?α∈（0，1），?x，y∈K，x≠y，有f（y＋αη（x，y））＜ max｛f（x），f（y）｝，則f是嚴格預(yù)不變擬凸函數(shù)．

根據(jù)定理3及定理9可以證明．

推論6 設(shè)集合K是關(guān)于η的不變凸集，η滿足條件C，如果f：K→R是半嚴格預(yù)不變擬凸函數(shù)，且?α∈ （0，1），?x，y∈K，x≠y，有f（y＋αη（x，y））＜ max｛f（x），f（y）｝，則f是嚴格預(yù)不變擬凸函數(shù)．

根據(jù)定理3及定理10可以證明．

4 嚴格F－G廣義凸函數(shù)在極小化問題中的應(yīng)用

考慮極小化問題（P）

［1］Hanson M A．On sufficiency of the Kuhn－Tucker conditions［J］．J Math Anal Appl，1981，80（2）：544－550．

［2］Craven B D．Invex functions and constrained local minima［J］．Bulletin of the Australian Mathematical Society，1981，24：357－366．

［3］Jeyakuaar V．Strong and weak invexity in mathematical programming［J］．Methods Oper Res，1985，55：109－125．

［4］Pini R．Invexity and generalized convexity［J］．Optimization，1991，22：513－525．

［5］Mohan S R，Neogy S K．On invex sets and preinvex functions［J］．J Math Anal Appl，1995，189（3）：901－908．

［6］Tang Wanmei，Yang Xinmin．The sufficiency and necessity conditions of strongly preinvex functions［J］．OR Transactions，2006，10（3）：50－58．

［7］Tang Wanmei，Liu Qian，Yang Xinmin．The sufficiency and necessity conditions of strongly prequasi－invex functions［J］．OR Transactions，2007，11（3）：21－30．

［8］劉彩平．半嚴格不變凸函數(shù)［J］．運籌學(xué)學(xué)報，2007，11（4）：85－92．

［9］黃金瑩，趙宇，宋麗艷．預(yù)不變凸函數(shù)的若干性質(zhì)［J］．哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，25（3）：36－39．

［10］黃金瑩，趙宇．關(guān)于半連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的注記［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（4）：91－93．

Abstract：This paper gives a new class of generalized convex functions－strictly F－Ggeneralized convex functions，and the conditions P1，P2as well as their properties．It studies on the properties of strictly F－Ggeneralized convex functions，gives two sufficient conditions of strictly F－Ggeneralized convex functions，and points out that under certain conditions，F(xiàn)Ggeneralized convex functions which satisfies intermediate－point strictly F－Ggeneralized convexity is strictly F－Ggeneralized convex functions，and semi－strictly F－G generalized convex functions which satisfies intermediate－point strictly F－G generalized convexity is strictly F－Ggeneralized convex functions．And the paper provides a realistic application of strictly FGgeneralized convex functions in minimization problem．

Key words：strictly F－Ggeneralized convex functions；F－Ggeneralized convex functions；condition P1；condition P2

Strictly F－G Generalized Convex Functions

ZHAO Yu，HUANG Jin－ying，LIU Chun－yan
（College of Science，Jiamusi University，Jiamusi 154007，China）

O174．13 MSC2010：90C25；26B25

A

1674－232X（2011）01－0020－07

10．3969／j．issn．1674－232X．2011．01．005

2010－05－10

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目（11551499）．

趙 宇（1980—），女，黑龍江佳木斯人，講師，碩士，主要從事凸分析與凸規(guī)劃研究．E－mail：zhaoyu19800801＠sina．com