泥巖滲流-應(yīng)力耦合蠕變損傷模型研究(Ⅰ):理論模型

賈善坡 ，陳衛(wèi)忠 ，于洪丹，李香玲

（1. 長(zhǎng)江大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)院，湖北 荊州 434023；2. 山東大學(xué) 巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心，濟(jì)南 250061；3. 中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071；4. Euridice, SCK·CEN, 比利時(shí) 摩爾 2400）

1 引 言

對(duì)于軟巖工程問題，流變學(xué)的研究非常重要，一方面是由于軟巖工程巖體本身的結(jié)構(gòu)和組成反映出明顯的流變性質(zhì)；另一方面也是由于長(zhǎng)期受力使流變性質(zhì)更為突出。大量的現(xiàn)場(chǎng)量測(cè)和室內(nèi)試驗(yàn)都表明，對(duì)于軟弱巖石以及含有泥質(zhì)充填物和夾層破碎帶的松散巖體，其流變屬性則十分顯著[1]。

地下工程圍巖在受到工程擾動(dòng)和環(huán)境變動(dòng)之后，由于圍巖內(nèi)部存在微裂隙，其蠕變過程往往是一個(gè)內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化、調(diào)整的非線性過程，必將帶來能量的耗散，使耗散能密度不斷增大，損傷逐漸積累，故蠕變過程是一個(gè)不可逆熱力學(xué)過程。繆協(xié)興[2]基于大量試驗(yàn)研究，建立了以能描述損傷歷史的蠕變模量為參數(shù)的巖石蠕變損傷方程，由該方程能方便地確定出任一時(shí)刻的損傷狀態(tài)。金豐年[3]從損傷角度研究巖石在拉壓作用下變形破壞的非線性特性，基于割線模量法定義損傷變量，建立巖石非線性流變損傷本構(gòu)方程。何開勝[4]根據(jù)黏土的微觀變形機(jī)制，建立了描述結(jié)構(gòu)性黏土變形的彈黏塑性損傷模型，并通過實(shí)例驗(yàn)證了該模型能夠較好地反映黏土的加載變形、固結(jié)變形和蠕變變形。陳沅江[5]從內(nèi)時(shí)理論出發(fā)，通過在內(nèi)蘊(yùn)時(shí)間中引入牛頓時(shí)間，在Helmholtz 自由能中引入損傷變量，利用連續(xù)介質(zhì)不可逆熱力學(xué)的基本原理推導(dǎo)了軟巖的內(nèi)時(shí)流變本構(gòu)方程。范慶忠[6]指出軟巖蠕變過程中微觀結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生變化，并導(dǎo)致軟巖形變行為產(chǎn)生相應(yīng)的改變，引入非線性損傷、硬化變量代替Burgers模型中的線性損傷、硬化變量，可以反映這種改變對(duì)軟巖蠕變的影響，建立了非線性蠕變模型，可以描述軟巖蠕變過程3個(gè)階段的變形特征。陳衛(wèi)忠[7]根據(jù)流變、低滲透率及損傷自我恢復(fù)等特性，結(jié)合金壇儲(chǔ)氣庫鹽巖三軸蠕變的研究成果，建立鹽巖三維蠕變損傷的本構(gòu)方程和損傷演化方程。王芝銀[8]提出了流變位移的反演模型以及巖體多場(chǎng)耦合流變模型。

核廢料的安全處置不僅關(guān)系到核電、核工業(yè)的可持續(xù)發(fā)展，而且也關(guān)系到人類生存環(huán)境和地球的保護(hù)。因此，世界許多有核國家都傾入大量人力、巨資開展核廢料處置研究工作。泥巖由于其低滲透性、良好的蠕變性和遇水損傷自修復(fù)的特性，被認(rèn)為是儲(chǔ)存核廢料的備選場(chǎng)地之一。在比利時(shí)，第三系 Boom泥巖層被選作處置高放廢物的場(chǎng)址，在Mol場(chǎng)地 223 m深的泥巖建造中建設(shè)了地下實(shí)驗(yàn)室，論證處置高放廢物的可行性[9－10]。本文以Boom Clay泥巖為研究對(duì)象，根據(jù)室內(nèi)和現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)成果，提出一個(gè)能反映泥巖蠕變?nèi)^程的泥巖蠕變損傷本構(gòu)關(guān)系，并且考慮蠕變過程中滲流-應(yīng)力的耦合作用。本文的第Ⅰ部分詳細(xì)介紹建議模型的基本公式；對(duì)于數(shù)值算法、模型參數(shù)的確定以及工程應(yīng)用將在第Ⅱ部分中給出。

2 Boom Clay泥巖蠕變損傷特性分析

Boom Clay泥巖非線性很強(qiáng)，在變形很小時(shí)就會(huì)產(chǎn)生塑性，塑性和流變同時(shí)產(chǎn)生，目前還沒有很好的本構(gòu)模型來描述其力學(xué)特性。

2.1 室內(nèi)蠕變?cè)囼?yàn)分析

試件尺寸和相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 室內(nèi)蠕變?cè)囼?yàn)試件尺寸及相關(guān)參數(shù)Table 1 Geometry, initial water content and void ratio for the specimens tested

在排水條件下，對(duì)泥巖試樣進(jìn)行在偏應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變?cè)囼?yàn)[1]，試驗(yàn)流程如下：①加載圍壓p到2.5 MPa，加載速率10-5MPa/s；②首次施加偏應(yīng)力q，施加到1 MPa；③保持應(yīng)力不變，持續(xù)時(shí)間為10 d；④第2次施加偏應(yīng)力，TR03增加到1.5 MPa，TR04增加2 MPa。

對(duì)試樣TR03和TR04進(jìn)行室內(nèi)蠕變?cè)囼?yàn)，軸向、徑向和體積應(yīng)變?nèi)鐖D1、2所示?？梢钥闯?，當(dāng)偏應(yīng)力q小于1 MPa時(shí)，泥巖幾乎不發(fā)生蠕變現(xiàn)象；試樣TR03在偏應(yīng)力q達(dá)到1.5 MPa時(shí)，出現(xiàn)較為明顯的蠕變現(xiàn)象，由于試驗(yàn)故障，該階段的蠕變持續(xù)時(shí)間較短；試樣TR04在偏應(yīng)力q達(dá)到1 MPa時(shí)，開始出現(xiàn)蠕變現(xiàn)象，但是蠕變現(xiàn)象不明顯，當(dāng)偏應(yīng)力q達(dá)到2 MPa時(shí)，出現(xiàn)較為明顯的蠕變現(xiàn)象，該級(jí)載荷施加約8 d后，蠕變由衰減蠕變階段進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)蠕變階段。

從這兩個(gè)試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，在圍壓p為2.5 MPa，偏應(yīng)力q小于1.0 MPa時(shí)，蠕變現(xiàn)象不明顯，初期蠕變與穩(wěn)態(tài)蠕變的界限約為1.5～2.0 MPa。

圖1 TR03在不同偏應(yīng)力下的蠕變曲線Fig.1 Results of creep test TR03

圖2 TR04在不同偏應(yīng)力下的蠕變曲線Fig.2 Results of creep test TR04

2.2 現(xiàn)場(chǎng)長(zhǎng)期變形監(jiān)測(cè)

長(zhǎng)期變形監(jiān)測(cè)主要布置在Test drift以及后期建設(shè)的Shaft02的襯砌變形[1]。

Test drift水平巷道的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)非常具有代表性，在襯砌編號(hào)為R15、R29、R43、R71、R83以及R105等位置布置了測(cè)點(diǎn)，連續(xù)監(jiān)測(cè)了近20年，其收斂變形如圖3所示，襯砌支護(hù)后，前2年內(nèi)襯砌變形迅速增加，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，襯砌的變形逐漸增大，并趨于平緩，18年后R15環(huán)的直徑收縮量約為 8 cm，而 R83和 R105環(huán)的直徑收縮量約為6 cm，可見，蠕變近20年后襯砌的收縮量約為6～8 cm。

Shaft02監(jiān)測(cè)的部位主要分布在豎井和connecting gallery交叉的位置，襯砌的變形較大，變形隨著時(shí)間的增長(zhǎng)逐漸增大，最大值約為15 cm，可見泥巖的蠕變效應(yīng)非常明顯。

圖3 Test drift襯砌直徑收縮量隨時(shí)間的變化Fig.3 Lining convergence of test drifts with time in 20 years

3 基于 Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的泥巖蠕變本構(gòu)關(guān)系

經(jīng)過對(duì)Boom Clay泥巖室內(nèi)三軸試驗(yàn)研究，認(rèn)為Mohr-Coulomb準(zhǔn)則能較好地反映該泥巖的彈塑性力學(xué)行為，因此，泥巖蠕變本構(gòu)關(guān)系是基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則而構(gòu)建的。定義基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的蠕變勢(shì)函數(shù)為

式中：c、?分別表示黏聚力和膨脹角；σm=為平均應(yīng)力；為等效應(yīng)力；J2為應(yīng)力偏量第二不變量，θ為L(zhǎng)ode角，K(θ)為Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的修正變量，具體見文獻(xiàn)[10]。

圖4 蠕變等勢(shì)面及其蠕變區(qū)域的定義Fig.4 Equivalent creep stress defined as the shear stress

對(duì)巖土材料的黏塑性模型而言，做如下假設(shè)：假定存在應(yīng)力點(diǎn)的蠕變等傾面，該等傾面具有相同的“蠕變強(qiáng)度”，并由等效應(yīng)力來確定；當(dāng)材料發(fā)生屈服時(shí)，等效蠕變面與屈服面一致，在未發(fā)生屈服時(shí)，等效蠕變面由屈服面等比例縮小得到。在子午面上蠕變面與屈服面平行，在π平面上兩者的截線也是平行的，蠕變面與屈服面的關(guān)系如圖4所示，可以看出，在子午面上存在一錐形空間，在該空間內(nèi)沒有蠕變，因?yàn)樵摽臻g內(nèi)的等效蠕變應(yīng)力為0。

同塑性勢(shì)函數(shù)一樣，蠕變勢(shì)函數(shù)為光滑連續(xù)的曲線，可以保證蠕變流動(dòng)方向惟一，蠕變流動(dòng)準(zhǔn)則可由蠕變勢(shì)函數(shù)得到，即

蠕應(yīng)變張量dεc明顯與應(yīng)力σ有關(guān)，fcr的定義如下：

4 泥巖非線性蠕變損傷模型與損傷演化方程

對(duì)地下工程而言，由于開挖擾動(dòng)區(qū)內(nèi)部存在微裂隙，其蠕變過程往往是一個(gè)內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化、調(diào)整的非線性過程，必將帶來能量的耗散，損傷逐漸積累。通過引入損傷變量描述巖石的蠕變[6,11－15]，本文認(rèn)為，泥巖的蠕變損傷是內(nèi)部新裂紋產(chǎn)生和不斷擴(kuò)展的結(jié)果，是變形損傷與時(shí)間損傷效應(yīng)的耦合。

4.1 泥巖蠕變損傷模型

泥巖的彈塑性變形相對(duì)于蠕變變形來說很小，蠕變損傷是泥巖在蠕變變形過程中發(fā)生的不可逆損傷，損傷變量是隨著時(shí)間逐漸變化的。瞬態(tài)蠕變階段持續(xù)的時(shí)間較短，并且變形量也較小，該階段的蠕變損傷也比較小。

在一維條件下巖體的蠕變可以表示為

式中：εc為總?cè)渥?；εt為瞬態(tài)蠕變；εs為穩(wěn)態(tài)蠕變，εd為損傷引起的蠕變。

泥巖損傷蠕變可以定義為[11]

式中：Ωc為蠕變損傷；H為Heaviside函數(shù)；εc0為出現(xiàn)蠕變損傷的蠕應(yīng)變閥值。且有：

若認(rèn)為在初始蠕變階段即出現(xiàn)損傷，即εc0≈ 0，則損傷蠕應(yīng)變可以簡(jiǎn)化為：

試驗(yàn)結(jié)果也表明：泥巖的蠕變速率不僅與時(shí)間相關(guān)，而且還與累積蠕變變形密切相關(guān)，非線性蠕變是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)在蠕變過程中的綜合表現(xiàn)，非線性蠕變損傷機(jī)制可更好地解釋泥巖蠕變過程中所顯現(xiàn)的非線性變形特征?？紤]累積蠕變的非線性蠕變模型可表示為

式中：A1、n、m、B1和C1為材料參數(shù)；m用于反映蠕變率的大小和變化情況，當(dāng) -1 ＜ m ＜ 0時(shí)，發(fā)生衰減蠕變；m=0時(shí)發(fā)生穩(wěn)態(tài)蠕變；當(dāng)m＞0可用于描述發(fā)生加速蠕變，m是累積蠕應(yīng)變?chǔ)與的函數(shù)，εc值越大，表明蠕變速度越高。

考慮到蠕變損傷，泥巖非線性蠕變損傷模型可表示為

從式（11）可發(fā)現(xiàn)，本模型共有4個(gè)未知參數(shù)，即 A1、n、B1和C1。

4.2 蠕變損傷演化方程

假定泥巖的損傷為各向同性時(shí)，可以推導(dǎo)出一維條件下的蠕變損傷變量[16]，即

式中：εc0為開始出現(xiàn)蠕變損傷的初始蠕變值，εc為總?cè)渥冎怠?/p>

可以認(rèn)為，在 εc＜εc0時(shí)，泥巖的蠕變損傷為0；當(dāng) εc≥ εc0時(shí)，蠕變損傷迅速增大，直到泥巖破壞為止。圖5給出了泥巖的蠕變損傷與蠕應(yīng)變之間的變化曲線。

在三維條件下，假設(shè)泥巖的蠕變損傷為各向同性損傷，這樣損傷變量可以用標(biāo)量來描述。泥巖蠕變過程中的總損傷ΩT包括開挖卸載損傷Ω和蠕變變形過程中產(chǎn)生的蠕變損傷Ωc，即

其中，開挖卸載損傷Ω的計(jì)算模型和演化方程詳見文獻(xiàn)[10]。

將式（12）描述的一維蠕變損傷演化方程推廣到三維情況，類似于等效塑性應(yīng)變的概念，引入等效蠕應(yīng)變具體計(jì)算公式為

圖5 泥巖蠕變損傷-等效蠕應(yīng)變的變化曲線Fig.5 Relation curves between creep damage and normalized parameter of equivalent creep strain for different values of v

由圖5可知，在v值較小時(shí)，在開始階段，損傷增長(zhǎng)較慢，此后隨著蠕應(yīng)變的增大，損傷迅速增大；而當(dāng)v接近1時(shí)，蠕變損傷與等效蠕應(yīng)變基本上呈線性關(guān)系。

5 泥巖蠕變過程中滲透性演化方程

Boom Clay泥巖巷道開挖擾動(dòng)區(qū)滲透性演化主要包括兩個(gè)過程：①開挖導(dǎo)致的圍巖損傷、開裂和局部化斷裂引起的滲透性增加；②支護(hù)后，由于裂隙的自愈合效應(yīng)導(dǎo)致圍巖的滲透性減小。

開挖引起應(yīng)力重分布，原有裂隙的張開、擴(kuò)大以及新破壞裂隙的形成，使其滲透性顯著提高，泥巖的滲透性演化方程可以描述為[1]

式中：k0和n0分別為未損傷泥巖的滲透率和孔隙度；εv為體積應(yīng)變；m為泥巖破裂時(shí)滲透系數(shù)升高的數(shù)量級(jí)；Ω為開挖施工導(dǎo)致的損傷；α為材料參數(shù)，可通過試驗(yàn)確定；

孔隙度演化方程可以描述為[1]

對(duì)Boom Clay泥巖而言，現(xiàn)場(chǎng)和室內(nèi)試驗(yàn)均證明：微裂隙閉合或自愈合現(xiàn)象非常明顯，裂隙的閉合與應(yīng)力狀態(tài)、固結(jié)以及蠕變等有關(guān)；在蠕變固結(jié)階段，由于化學(xué)作用裂隙在孔隙水的作用下會(huì)發(fā)生閉合，裂隙的自愈合引起泥巖的滲透性和孔隙度發(fā)生一定程度的恢復(fù)，但不會(huì)使損傷發(fā)生恢復(fù)。

裂隙的自愈合機(jī)制涉及許多因素，主要由泥巖組成成分與孔隙水之間的化學(xué)相互作用引起的，而從力學(xué)的角度來說，影響的主要因素是圍壓和孔隙水，即有效圍壓越大、飽水時(shí)間越長(zhǎng)，裂隙越容易自愈合。

通過比利時(shí)泥巖滲透性試驗(yàn)及相關(guān)研究可知，圍壓越大，裂隙越容易閉合和愈合[1]，定義愈合應(yīng)力σheal來描述應(yīng)力狀態(tài)對(duì)裂隙閉合和愈合的影響，愈合應(yīng)力σheal可表示為

式中：a1、a2為常數(shù)，本文主要研究在223 m處泥巖的水-力耦合行為，取a2=5 MPa，為前期固結(jié)壓力；a1用于反映圍壓效應(yīng)對(duì)愈合應(yīng)力的影響，取a1=1；σeq為圍巖Mises應(yīng)力；用于表明σeq對(duì)于裂隙愈合的削弱作用。

從式（19）可知，當(dāng) σheal≥ 0時(shí)才會(huì)發(fā)生裂隙閉合和愈合現(xiàn)象；而當(dāng)σheal＜0時(shí)不會(huì)發(fā)生裂隙自愈合現(xiàn)象。在隧道支護(hù)后，σ1越大（壓應(yīng)力），愈合應(yīng)力就越大，有利于裂隙的閉合；而有效應(yīng)力σeq越大，就越小，愈合應(yīng)力就小，不利于裂隙的愈合。

巷道支護(hù)后，在飽和狀態(tài)下孔隙水使得泥巖裂隙發(fā)生化學(xué)效應(yīng)產(chǎn)生愈合現(xiàn)象，定義水化學(xué)愈合因子cheal來描述泥巖愈合的化學(xué)特性。在一定圍壓下，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，裂隙逐漸愈合，愈合因子cheal的表達(dá)式為

式中：a3為待定參數(shù)。

引入愈合因子h來描述圍巖裂隙的自愈合性質(zhì)，裂隙的愈合程度與圍壓以及水的化學(xué)作用有關(guān)。泥巖滲透性愈合因子h是愈合應(yīng)力σheal和水化學(xué)愈合因子cheal的函數(shù)，愈合應(yīng)力σheal越大，愈合因子h越?。凰瘜W(xué)愈合因子cheal越大，愈合因子也越大。愈合因子h定義為

式中：a4為待定參數(shù)。

在泥巖巷道支護(hù)后，滲透性和孔隙度的演化方程可以表述為

從滲透性演化方程可以發(fā)現(xiàn)，愈合應(yīng)力越大，泥巖的滲透性越小；時(shí)間越長(zhǎng)，泥巖的滲透性越小。

6 結(jié) 論

（1）泥巖的彈塑性變形相對(duì)于蠕變變形來說很小，瞬態(tài)蠕變階段持續(xù)的時(shí)間較短，變形量較??；泥巖的蠕變速率不僅與應(yīng)力水平、時(shí)間相關(guān)，而且還與累積蠕變變形密切相關(guān)，蠕變損傷變量隨著時(shí)間逐漸變化，非線性蠕變損傷機(jī)制可較好地解釋泥巖蠕變過程中所顯現(xiàn)的非線性變形特征。

（2）泥巖圍巖滲透性演化包括兩個(gè)過程：開挖導(dǎo)致的圍巖損傷、開裂和局部化斷裂引起的滲透性增加；巷道支護(hù)后由于裂隙的自愈合效應(yīng)導(dǎo)致圍巖的滲透性減小。研究結(jié)果表明，圍壓、孔隙水和飽水時(shí)間是影響泥巖裂隙自愈合的主要因素。

（3）本文建立的蠕變損傷模型能夠很好地反映泥巖蠕變過程中的衰減蠕變階段、穩(wěn)態(tài)蠕變階段和加速蠕變階段，且材料常數(shù)較少，便于從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中獲得。

本文的第Ⅱ部分將詳細(xì)介紹蠕變損傷模型求解的有限元方程、數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法、模型參數(shù)確定的反演方法以及在地下工程分析中的應(yīng)用。

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