基于分枝模態(tài)法的面對稱布局飛行器結(jié)構動力學建模

史曉鳴,許 泉,楊炳淵,唐國安

(1.復旦大學 力學與工程科學系,上海 200433;2.上海機電工程研究所,上海 200233)

0 引言

對大型復雜的多自由度結(jié)構,雖可整體建立有限元模型,直接進行動力學分析,但模型的單元數(shù)和自由度數(shù)常多達數(shù)十萬甚至數(shù)百萬,需要很大的計算規(guī)模和機時。特別是顫振等耦合動力學問題,由于氣動矩陣的非稀疏性和非對稱性,計算規(guī)模和機時更是令人難以容忍。采用動態(tài)子結(jié)構方法是解決此類問題的有效途徑[1～5]。20世紀60年代,國外對將部件模態(tài)引入整體的動力學分析進行了研究[6]。文獻[7]提出了分枝模態(tài)法,對復雜結(jié)構的各部件施加一定的約束,使其局部剛化,形成各個分枝系統(tǒng),并確保各分枝的運動型態(tài)組合能表征整體結(jié)構的運動型態(tài)[7]。此后,文獻[8～11]等先后提出并改進了約束界面和自由界面的模態(tài)綜合法。文獻[12]用模態(tài)坐標表達約束界面的位移,發(fā)展了約束界面模態(tài)綜合法。文獻[13]對自由界面模態(tài)綜合法作了改進,發(fā)展了雙協(xié)調(diào)動態(tài)子結(jié)構法。

分枝模態(tài)法在工程實踐中應用較多,其分枝變形不重迭原則使模態(tài)剛度矩陣解耦,但模態(tài)質(zhì)量矩陣在分枝間一般仍存在慣性耦合。本文利用整體有限元模型計算面對稱布局飛行器固有模態(tài),根據(jù)整體模態(tài)具對稱或反對稱特征,按對稱和反對稱模態(tài)劃分分枝,用分枝模態(tài)法建立的結(jié)構運動方程在不同分枝間也可實現(xiàn)慣性解耦,這利于問題的簡化,以及自由度和計算規(guī)模的縮小。為此,本文對基于分枝模態(tài)法的面對稱布局飛行器結(jié)構動力學建模進行了研究。

1 飛行器模態(tài)分析

設飛行器外形如圖1所示。其中：機身、機翼、垂尾組成面對稱布局,機身、機翼和垂尾均為有縱向和橫向加勁的半硬殼式結(jié)構。機身內(nèi)部除結(jié)構件外,還安裝儀器設備、貯箱、發(fā)動機和有效載荷等非結(jié)構質(zhì)量。

圖1 飛行器外形Fig.1 Vehicle conf iguration

1.1 飛行器有限元建模及模態(tài)計算

根據(jù)飛行器的結(jié)構特點,用MSC.Patran軟件建立飛行器整體的有限元模型。其中：半硬殼式結(jié)構用殼單元與梁單元混合建模,蒙皮部分用6自由度的殼單元模擬,桁條、翼肋和隔框等加勁部分用相同自由度的梁單元模擬。非結(jié)構質(zhì)量則建立點質(zhì)量單元,通過多點約束(MPC)分散固定在對應彈身艙段的結(jié)點上,量值和位置由杠桿原理算得。

用MSC.Nastran軟件的求解器解廣義特征值問題

即可得到固有模態(tài)。此處：k,m為結(jié)構的剛度和質(zhì)量陣;ω2為系統(tǒng)特征值;φ為系統(tǒng)特征向量。

1.2 模態(tài)結(jié)果分析

飛行器的固有模態(tài)計算結(jié)果見表1。其中振型形態(tài)主要有關于機身垂直子午面對稱、關于機身垂直子午面反對稱和垂尾變形為主的三種(如圖2～4所示)?？砂l(fā)現(xiàn)：對稱振型中兩片機翼作關于機身垂直子午面對稱的垂向振動,機身作垂向彎曲振動,且兩者耦合程度很高,無顯著的純機身或純機翼的振動模態(tài),而垂尾基本無垂直于垂尾平面的側(cè)向振動,只隨機身的振動作垂直方向的剛體運動;反對稱振型中兩片機翼作關于機身垂直子午面反對稱的垂向振動,機身作繞縱軸的扭轉(zhuǎn)振動,兩者耦合程度也很高,垂尾除隨機身扭轉(zhuǎn)作垂直于垂尾平面的剛體側(cè)向振動外,還存在一定的側(cè)向彈性振動;垂尾變形為主的振型中垂尾作垂直于垂尾平面的側(cè)向彈性振動,機身和機翼只有量級很小的局部振動。此外,僅在頻率86 Hz以上出現(xiàn)機身側(cè)向彎曲為主的側(cè)彎一階振型,低階模態(tài)中無明顯的機身或機翼側(cè)向彎曲。

表1 固有模態(tài)Tab.1 Natural modal

圖2 對稱振型形態(tài)振型Fig.2 Symmetrical mode shape

圖3 反對稱振型形態(tài)振型Fig.3 Antisymmetrical mode shape

圖4 垂尾振型形態(tài)振型Fig.4 Vertical tail mode shape

2 分枝模態(tài)法建模

采用分枝模態(tài)法建模。對本文的飛行器構型,傳統(tǒng)方法是按自然結(jié)構部件劃分分枝,如文獻[2、3]劃分為機身、機翼和尾翼三個分枝。但本文飛行器的機翼和機身融為一體,對將機翼剛化形成的機身分枝或?qū)C身約束形成的機翼分枝,獲取分枝模態(tài)的試驗或計算均較難。另外,機翼機身間靜不定的連接,模態(tài)綜合時要求考慮約束模態(tài),計算繁瑣且增加多個自由度[14]。根據(jù)上述模態(tài)分析結(jié)果面對稱飛行器對稱反對稱振型的特征,本文的分枝劃分除在垂尾與機身的結(jié)合部仍將機身約束形成垂尾分枝外,對融為一體的機身機翼部分不按自然部件劃分為機身和機翼兩個分枝,而按對稱和反對稱振型劃分分枝。這樣不但克服了上述缺點,分枝模態(tài)的獲取簡單易行,而且由于對稱和反對稱振型屬于同一結(jié)構組成的主模態(tài),兩個分枝間也實現(xiàn)了慣性解耦。

2.1 分枝劃分

根據(jù)上述考慮,按分枝模態(tài)法分枝變形不重迭原則,全機可分為三個分枝。

a)機身機翼對稱振型分枝：包括簡化為自由梁的機身在xoz平面內(nèi)的彎曲振動、簡化為平板的兩片機翼關于xoz平面對稱的彈性振動,以及全機的剛體沉浮、俯仰運動。垂尾作為剛體附連在機身上隨機身運動。

b)機身機翼反對稱振型分枝：包括簡化為扭轉(zhuǎn)軸的機身繞ox軸的扭轉(zhuǎn)、簡化為平板的兩片機翼關于xoz平面反對稱的彈性振動,以及全機剛體側(cè)移、偏航和滾轉(zhuǎn)運動。垂尾作為剛體附連在機身上隨機身扭轉(zhuǎn)作牽連運動。

c)垂尾分枝：垂尾簡化為彈性平板固定于不動的機身軸線上。

在這三個分枝中,未考慮機身在xoy平面內(nèi)的側(cè)向彈性振動。這是因為兩片機翼與機身融為一體,機身在側(cè)向的剛度很大,側(cè)向振動模態(tài)的頻率很高(大于表1中所有的頻率),在全機的低頻段上幾乎不存在側(cè)向的彈性變形。

2.2 結(jié)構運動方程

根據(jù)三個分枝的劃分,飛行器結(jié)構物理坐標下的運動可表示為三個分枝模態(tài)振型的疊加,有

式中：t為時間;

ξ為全機結(jié)構模態(tài)坐標矢量,且

此處：Φs,Φa,Φt分別為由機身機翼對稱振型分枝ns個模態(tài)、機身機翼反對稱振型分枝na個模態(tài)和垂尾分枝nt個模態(tài)振型函數(shù)組成的矩陣;上標(z)、(y)分別表示垂向振動和側(cè)向振動。

忽略工程中常見的小阻尼影響,由拉格朗日方程可導出結(jié)構的運動微分方程為

式中：M,K分別為結(jié)構的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度陣;QA為廣義力矢量,由各分枝對應的分量Qs,Qa,Qt構成。設作用于飛行器表面單位面積dσ的載荷為Δp,則

2.3 運動方程解耦

模態(tài)質(zhì)量陣可表示為

式中：m(x,y,z)是局部質(zhì)量密度函數(shù);Φ(x,y,z)為振型函數(shù);d V為局部單元體積。

將模態(tài)質(zhì)量矩陣按三個分枝分塊,有

式中：下標s,a,t分別表示機身機翼對稱振型分枝、機身機翼反對稱振型分枝和垂尾分枝模態(tài)對應的行和列。

同一分枝內(nèi)的固有模態(tài)對質(zhì)量具加權正交性,故子矩陣Mss,Maa,Mtt均為對角線陣,可由各分枝結(jié)構的模態(tài)計算或模態(tài)試驗獲得。

機身機翼對稱振型分枝和機身機翼反對稱振型分枝同屬機身機翼結(jié)構的主模態(tài),它們之間也滿足正交性條件,交叉項的模態(tài)質(zhì)量矩陣為零矩陣。即

垂尾分枝模態(tài)振型在機身機翼物理坐標z向的數(shù)值為零,而機身機翼對稱振型分枝在垂尾物理坐標y向的數(shù)值也為零,故有關機身機翼對稱振型分枝和垂尾分枝交叉項模態(tài)質(zhì)量陣為零矩陣,即

機身機翼反對稱振型分枝在垂尾物理坐標上的數(shù)值不為零,故機身機翼反對稱振型分枝與垂尾分枝間存在慣性耦合,即

則模態(tài)質(zhì)量矩陣可表示為

由于分枝的選擇滿足變形不重迭原則,故模態(tài)剛度陣為一無剛度耦合的對角陣,即

式中：Kss,Kaa,Ktt為各分枝的模態(tài)剛度陣,可由各分枝結(jié)構的模態(tài)計算或模態(tài)試驗獲得。

對一般的動力響應問題,如發(fā)動機脈動、突風、分離、姿控噴流等響應,載荷Δp=Δp(t)只是時間的函數(shù),由式(6)表示的廣義力矢量對應各分枝的分量互相獨立,結(jié)構運動微分方程式(5)可分為兩組互相獨立的微分方程

對顫振、伺服氣彈等運動穩(wěn)定性問題,廣義力矢量是與運動有關的參數(shù),則

式中：

此處：AB(σ),AC(σ)為與流場相關的參數(shù);σ為飛行器表面任意點;l為氣流方向。

同樣可將B,C如式(8)按三個分枝分為3×3塊。因固有模態(tài)對氣動力不具加權正交性,故此處的對角線子矩陣是非對角線陣,且C為非對稱陣。但機身機翼對稱和反對稱振型分枝的交叉項因?qū)C身和左右兩片機翼積分之和為零,仍有

由于垂尾分枝模態(tài)在機身物理坐標上的位移為零,機身機翼對稱振型分枝在垂尾側(cè)向坐標上的位移為零,故

因此,B,C也有與式(12)的M相同的形式,即

由此,對顫振、伺服氣彈等運動穩(wěn)定性問題,結(jié)構運動微分方程式(5)同樣可轉(zhuǎn)化為式(14)、(15)表示的兩組互相獨立的運動微分方程。

3 驗證

為驗證本文分枝模態(tài)法的建模精度,對圖1所示飛行器,按劃分的三個分枝分別建立有限元模型計算得到三個分枝的模態(tài)參數(shù),取機翼機身對稱振型分枝、機翼機身反對稱振型分枝和垂尾分枝前3階或4階模態(tài),建立式(14)、(15)的分枝模態(tài)法運動方程,令方程右端廣義力矢量為零,計算其固有頻率和振型,并與本文按飛行器整體建立有限元模型的計算結(jié)果進行比較。固有頻率的計算結(jié)果見表2、3。由表可知：除個別階序偏差稍大外,多數(shù)模態(tài)階序的偏差小于5%,精度滿足工程設計要求,同時振差異亦很小,因篇幅所限文中未列出。

表2 直接法與分枝模態(tài)法計算固有頻率比較(對稱分枝)Tab.2 Some frequencies results by direct and branch mode method(symmetry branch)

表3 直接法與分枝模態(tài)法計算固有頻率比較(反對稱與垂尾分枝)Tab.3 Some frequencies results by direct and branch mode method(antisymmetry&vertical tail branches)

4 結(jié)束語

本文根據(jù)面對稱布局飛行器模態(tài)振型的特征,按對稱和反對稱形態(tài)劃分分枝,建立分枝模態(tài)法結(jié)構動力學模型。通過理論推導獲得只有機身機翼反對稱振型分枝與垂尾分枝存在慣性耦合,而對稱振型分枝不與垂尾分枝耦合,由此得到對部分分枝解耦的兩組互相獨立的運動微分方程。本文方法對大型復雜多自由度的面對稱布局飛行器結(jié)構的動力響應分析和氣動彈性穩(wěn)定性分析有一定的參考價值,可用于減縮自由度和計算規(guī)模。

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