分圓類在離散信號(hào)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

孫彩鋒，劉紅梅，邢經(jīng)緯

（1.山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.燕山大學(xué)里仁學(xué)院，河北秦皇島 066004）

分圓類在離散信號(hào)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

孫彩鋒1，劉紅梅1，邢經(jīng)緯2

（1.山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.燕山大學(xué)里仁學(xué)院，河北秦皇島 066004）

研究了利用分圓類構(gòu)造差集偶問題。首先，基于分圓類和差集偶概念和基本性質(zhì)，提出在一種分圓中用分圓類構(gòu)造差集偶的兩個(gè)定理，并給出證明過(guò)程和具體事例；然后，利用分圓類得到的差集偶構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的最佳二元序列偶；最后，把分圓類構(gòu)造的差集偶的這種數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到最佳離散信號(hào)設(shè)計(jì)中。

差集偶；分圓類；序列偶；離散信號(hào)設(shè)計(jì)

最佳離散信號(hào)設(shè)計(jì)問題不僅在通信、電子工程的設(shè)計(jì)起著極其重要的作用，而且還與許多數(shù)學(xué)學(xué)科有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展使最佳離散信號(hào)的設(shè)計(jì)［1］有更多的數(shù)學(xué)工具可用，從而極大地促進(jìn)了最佳離散信號(hào)設(shè)計(jì)發(fā)展。在過(guò)去的幾十年中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者經(jīng)過(guò)不斷地努力，成功地設(shè)計(jì)了許多類同時(shí)具有循環(huán)自相關(guān)和互相關(guān)特性的陣列（序列），同時(shí)由于具有良好循環(huán)自相關(guān)特性最佳離散信號(hào)，往往與一些著名的區(qū)組設(shè)計(jì)［2］（如差集、差集偶）具有等價(jià)關(guān)系。由于最佳二元序列偶選擇范圍是更廣泛的最佳離散信號(hào)，且為工程應(yīng)用提供了更大的信號(hào)選擇空間，而差集偶和最佳二元序列偶具有等價(jià)關(guān)系。文獻(xiàn)［3］中提出了利用差集構(gòu)造差集偶，以及利用差集偶的性質(zhì)可以構(gòu)造出大量的差集偶。文獻(xiàn)［4］和［5］是從軟件和硬件兩方面對(duì)信號(hào)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究?；谏厦娴姆治?，本文采用了分圓類構(gòu)造差集偶的新方法，并將得到的最小二進(jìn)序列偶應(yīng)用到最佳離散信號(hào)設(shè)計(jì)中，很好地滿足了多種工程的需要。

1 定義

定義1［6］：設(shè)D，D′是v階Abel群G的兩個(gè)子集，k，k′為集合D，D′中元素的個(gè)數(shù)，即：，，e為D，D′中相同元素的個(gè)數(shù)，即：e，若G中任意非零元，在此差表中恰好出現(xiàn)λ次，則稱（D，D′）為G上的（v，k，k′，e，λ）-差集偶，記作DSP（v，k，k′，e，λ）.

2 分圓類構(gòu)造差集偶

此方程的解數(shù)都是λ，由引理［6］得當(dāng)g∈時(shí)方程（1）的解數(shù)為（i，1）d，故對(duì)i=0，1，都有（i，1）=λ，且λ為整數(shù)，所以由λ=f/d得f為偶數(shù)，其中d=2故得必要性。

再證充分性：設(shè)f為偶數(shù)且式（i，1）d=f/d成立，則對(duì)中的任一元素g，由定理得方程（1）的解數(shù)都是f/d，從而構(gòu)成一個(gè)（q，f，k，0，f/d）—差集偶.即得結(jié)論。

100以內(nèi)是奇素?cái)?shù)并且f為偶數(shù)的有5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97。那么根據(jù)新提出的分圓類構(gòu)造差集偶的方法，找出q為這些奇素?cái)?shù)時(shí)Fq加法群中的差集偶，并用差集偶的定義來(lái)證明這差集偶的正確性。

例1.當(dāng)q為13時(shí)，素?cái)?shù)13的本原元是2，按照D=Hd= ｛1，w2，K，w2（f-1）｝D′＝＝ ｛w，w3，L，w2（f-1）+1｝，得出的差集偶為：

D= ｛20，22，24，26，28｝= ｛1，4，3，12，9，10｝

D′= ｛21，23，25，27，29｝= ｛2，8，6，11，5，7｝

用差值證明如表1所示。

表1 奇素?cái)?shù)13的兩個(gè)分圓類的差

f為偶數(shù)的奇素?cái)?shù)利用分圓類構(gòu)造的差集偶的實(shí)例就列舉這一個(gè)，其余都一樣，只要符合定理1的條件就可以找出其存在的差集偶。

證明 若D與D′為（v，k，k′，e，λ），則（v，k，k′，e，λ）＝（q，f+1，f，0，（f+1）/d）對(duì)于任意元素g∈，方程x-y＝g，都恰有λ個(gè)解。設(shè)時(shí)，方程（1）的解除（1，1）個(gè)滿足條件的解以外還有一個(gè)解（x，y）＝ （0，-g），因此1+（1，1）＝λ，因?yàn)榇藭r(shí)，當(dāng)i＝0時(shí)，方程滿足條件的解的個(gè)數(shù)為（0，1）＝λ據(jù)引理［6］得：（1，1）+（0，1）＝f而（1，1）+ （0，1）＝2λ-1為奇數(shù)，所以f為奇數(shù)。

再證充分性：設(shè)f為奇數(shù)，且1+（1，1）2＝（0，1）＝f+1/2成立，對(duì)于任意元素，方程x-y＝g，的解的個(gè)數(shù)都是相等的，因此D確實(shí)是滿足差集偶定義的一個(gè)差集偶，而得（v，k，k′，e，λ）＝（q，f+1，f，0，（f+1）/d）。

100以內(nèi)是奇素?cái)?shù)并且f為奇數(shù)的有3，7，11，19，23，31，47，59，67，71，79，83。根據(jù)新提出的分圓類構(gòu)造差集偶的方法，找出q為這些奇素?cái)?shù)時(shí)Fq加法群中的差集偶，并用差集偶的定義來(lái)直接證明這差集偶的正確性。

D=｛21，23，25，27，29｝U｛0｝=｛2，8，10，7，6，0｝

D′=｛20，22，24，26，28｝=｛1，4，5，9，3｝

最后集合中的元素是對(duì)11求余后的值。

用差值證明如表2所示。

表2 奇素?cái)?shù)11的兩個(gè)分圓類的差

f為奇數(shù)的分圓類構(gòu)造差集偶的例子就不再一一給出，只要滿足定理2的條件都可以用分圓類構(gòu)造出差集偶。

3 差集偶在最佳離散信號(hào)的應(yīng)用

在通信系統(tǒng)中可用序列偶的優(yōu)良的自相關(guān)特性提取有用信息。同時(shí)，若在碼分多址通信中使用序列偶作為地址碼，可提供兩個(gè)地址碼供兩個(gè)用戶使用。在信號(hào)處理中由于序列偶循環(huán)移位的方陣是正交的，所以可以用于信號(hào)交換，同時(shí)也可以用于信號(hào)實(shí)時(shí)處理［6］。而根據(jù)分圓類構(gòu)造差集偶的方法得到的差集偶，對(duì)應(yīng)能得到的是序列偶，最終把差集偶的研究應(yīng)用到最佳離散信號(hào)設(shè)計(jì)中。

例3。根據(jù)定理1得到參數(shù)為（13，6，6，0，3）的差集偶。根據(jù)差集偶和序列偶的關(guān)系可以構(gòu)造出存在的最佳二元序列偶。

D=｛1，4，3，12，9，10｝，D′=｛2，8，6，11，5，7｝構(gòu)造出的最佳二元序列偶為：

例4.根據(jù)定理2可構(gòu)造出的差集偶—，根據(jù)差集偶和序列偶的關(guān)系可以構(gòu)造出存在的最佳二元序列偶。

D=｛2，8，10，7，6，0｝

D′=｛1，4，5，9，3｝

構(gòu)造出的最佳二元序列偶為：

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要基于分圓類和差集偶概念和性質(zhì)，利用分圓類得到的差集偶構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的最佳而二進(jìn)序列偶；并把其應(yīng)用到最佳離散信號(hào)設(shè)計(jì)中。眾所周知，差集偶及其推廣形式差集偶族是剛提出不久的新概念，有關(guān)它們的性質(zhì)和構(gòu)造方法等很多深層次問題需要進(jìn)一步研究。這樣，不僅能開辟一個(gè)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，同時(shí)又將為新擴(kuò)頻通信地址碼設(shè)計(jì)提供數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而推進(jìn)擴(kuò)頻通信地址碼設(shè)計(jì)的研究，使擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有更廣泛的地址碼選擇范圍。

［1］Thomas Storer.Cyclotomy and difference sets［M］.Markham publish company.Chicago，1967.

［2］許成謙.差集偶與最佳二進(jìn)陣列偶的組合研究方法［J］.電子學(xué)報(bào)，2001，29（1）：86-89.

［3］賈彥國(guó).幾類最佳信號(hào)的研究［D］.秦皇島：燕山大學(xué)，2003.

［4］劉紅梅，姜曉云，劉桂枝.二進(jìn)制頻移鍵控的軟件實(shí)現(xiàn)［J］.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（4）：23-25.

［5］張楠，王麗霞.基于DSP的載波通信模塊設(shè)計(jì)［J］.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，25（4）：29-32.

［6］沈?yàn)?組合設(shè)計(jì)理論［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，1996.

〔編輯 李?！?/p>

Apply Cyclotomic Class to Signal Design

SUN Cai-feng1，LIU Hong-mei1，XING Jing-wei2
（1.School of Physics and Electronics Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009；2.Liren College，Yanshan University，Qinhuangdao Hebei，066004）

This paper studies the constructions of the difference set pairs.Firstly，states the basic definitions and some properties of the difference set pairs and cyclotomic class，constructs some families of difference set pairs by means of single cycloomic class，and meantime，takes some examples to surrport the clam；Secondly，it uses difference set pairs that is constructed cyclotomic class to construct perfect binary sequence pairs；Finally，meanwhile，applyies cyclotomic class to study perfect signals design based on pairs by using the modern mathematical theory was made as well.

difference set pairs；cyclotomic class；sequence pairs；signal design

TN911.2

A

1674-0874（2011）01-0030-03

2010-10-15

孫彩鋒（1981-），女，山西臨縣人，碩士，助教，研究方向：最佳離散信號(hào)設(shè)計(jì)。