具有連續(xù)分布時(shí)滯的二階中立型方程的振動(dòng)性

趙嬛嬛，劉有軍

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

具有連續(xù)分布時(shí)滯的二階中立型方程的振動(dòng)性

趙嬛嬛，劉有軍

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

考慮一類具有連續(xù)分布時(shí)滯的二階非線性中立型方程，獲得了其所有解振動(dòng)的充分條件。

中立型；振動(dòng)性；連續(xù)分布時(shí)滯

近來，人們對具有連續(xù)分布時(shí)滯微分方程的討論很多，得到了一些好的結(jié)果，見文獻(xiàn)［1-6］。本文在文獻(xiàn)［1］的基礎(chǔ)上討論了一類具連續(xù)分布滯量的二階非線性中立型泛函微分方程有

解的振動(dòng)性問題。

在本文討論中始終假設(shè)下列條件成立：

（H2）g（t，ξ）∈C（［t0，+∞）×［c，d］，R+）；

（H3）σ（ξ）∈C（［c，d］，R），且σ（ξ）關(guān)于ξ非減；方程（1）中的積分是Stieltjes積分。

若方程（1）的一個(gè)解有任意大的零點(diǎn)，則稱其為方程（1）的振動(dòng)解；否則稱為非振動(dòng)解。

本文的目的是給出方程（1）在一定條件下所有解振動(dòng)的準(zhǔn)則。

且

則方程（1）的所有解振動(dòng)。

證明 設(shè)x（t）是方程（1）的非振動(dòng)解，不妨設(shè)x（t）＞0，t≥t0.令

x（t-τi）＞0，x（g（t，ξ））＞0，t≥t1，ξ∈［a，b］，

顯然有

由（5）得，

即有

所以ety′（t）在［t1，+∞）上單調(diào)減少，從而y′（t）單調(diào)減少，即y″（t）≤0，t≥t1事實(shí)上，對?α＜β，eβy′（β）≤eαy′（α），有y′（β）≤eα-βy′（α）≤y′（α）。

下面證明y′（t）＞0，t≥t1。若不成立，則存在T≥t1使y′（T）＜0，由y′（t）是單調(diào)減少函數(shù)可得

由（3）式，我們有

進(jìn)一步有

注意到y(tǒng)（t）≥x（t），得

因y（t）在［t1，+∞）上為增函數(shù)，可得

選取常數(shù)M＞0，使得y（M）＞0，由假設(shè)條件（H2）知存在t2≥t1，使得g（t，ξ）＞M，t2≥t1，再由y′（t）≥0，得y（g（t，ξ））≥y（M）。

從而有（ety′（t））′+

對上不等式從t2到t積分，得

即

這與（4）矛盾。

若x（t）＜0，則可作變換z（t）＝-x（t），則z（t）也滿足方程（1）。亦可推出矛盾，定理證畢。

注：特別地，當(dāng)a（t）≡1，m＝1時(shí)，就得到了文獻(xiàn)［1］中的結(jié)果。因此，本文結(jié)果更具有一般性，適用范圍更廣。

［1］林文賢.具連續(xù)分布滯量的二階中立型方程的振動(dòng)性定理［J］.應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2003，5（2），174-177.

［2］Dahiya R S.Oscillatory Behavior of n-Order Neutral Differential Equtions with Continuous Deviating Arguments［J］.Mathematical and Comfuter Modelling.2004（40）：1131-1139.

［3］張立琴，傅希林.具連續(xù)分布滯量的非線性雙曲偏微分方程解的振動(dòng)準(zhǔn)則［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1996，16（s1）：12-15.

［4］李偉年，崔寶同.具連續(xù)分布滯量的拋物方程解的振動(dòng)性［J］.山西大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1999，22（2）：8-11.

［5］傅希林.具連續(xù)分布型滯量的二階中立型泛函微分方程的漸近性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1991，11（3）：24-28.

［6］羅李平.具連續(xù)分布滯量的非線性拋物型偏微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則［J］.海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，19（2）：15-19.

〔編輯 高?！?/p>

Oscillatory Criteria for a Class of Second Order Neutral Equations with Continuous Distributed Delay

ZHAO Huan-huan，LIU You-jun
（School of Mathematics and Computer Sciences，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

This paper consider a class of second order nonlinear neutral differential equation with continuous distributed delay，sufficient conditions of the oscillation for solutions are obtained.

neutral；oscillation；distributed delay

O175.14

A

1674-0874（2011）01-0001-02

2010-08-20

山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目［2008011002-1］；山西大同大學(xué)青年科研基金資助項(xiàng)目［2008Q7］

趙嬛嬛（1979-），女，山西左云人，碩士，講師，研究方向：微分方程。