風(fēng)暴潮災(zāi)害綜合財產(chǎn)險精算定價模型探析

趙 昕，王曉婷

（中國海洋大學(xué)，山東青島 266100）

0 引言

中國海岸線漫長，南北跨度較大，且面臨臺風(fēng)多發(fā)的太平洋洋面，每年會遭受多次臺風(fēng)風(fēng)暴潮。同時由于沿海城市多是我國經(jīng)濟發(fā)達省份，風(fēng)暴潮往往給沿海城市及居民等造成巨大經(jīng)濟損失，對我國災(zāi)害管理體系提出巨大考驗與挑戰(zhàn)。目前我國在自然災(zāi)害管理過程中具有典型的政府主體性、資金配置財政性、管理方式計劃性等特點。這種風(fēng)險管理機制固然有其自身的優(yōu)越性，例如國家對救災(zāi)資源調(diào)動較為迅速和集中等。但相對而言，政府面臨巨大的財政壓力，且僅依靠社會救助無法滿足災(zāi)害損失的補償。面對風(fēng)暴潮災(zāi)害頻發(fā)的現(xiàn)狀，迫切需要依托經(jīng)濟市場的手段解決自然災(zāi)害所帶來的損失，風(fēng)暴潮災(zāi)害保險成為應(yīng)對風(fēng)暴潮災(zāi)害的首要選擇。

風(fēng)暴潮災(zāi)害保險沒有成立主要是由于我國保險市場發(fā)展不完善，但更重要的是風(fēng)暴潮災(zāi)害一直被視為一種巨災(zāi)保險，單純依靠市場化保險公司無法承擔(dān)如此巨大風(fēng)險。但從風(fēng)暴潮災(zāi)害常造成的巨大損失來看似乎如此，但與地震等自然災(zāi)害不同的是，由于風(fēng)暴潮災(zāi)害的多發(fā)性，其造成大額損失的概率極低，并且每次損失的地理分布也不集中，并不符合巨災(zāi)的特點。本文擬從風(fēng)暴潮損失的分布擬合入手，判別風(fēng)暴潮損失的損失特征，并討論風(fēng)暴潮災(zāi)害保險建立的可行性，進而依據(jù)保險精算理論對風(fēng)暴潮災(zāi)害保險進行定價研究，從而探討風(fēng)暴潮災(zāi)害保險的現(xiàn)實可行性，為相關(guān)部門提供對策建議。

1 風(fēng)暴潮災(zāi)害損失特征分析

在風(fēng)暴潮災(zāi)害保險進行定價時，首先需要確定風(fēng)暴潮災(zāi)害保險的損失特征，即此種自然災(zāi)害保險是否具有右尾特征，也就是說是否屬于巨災(zāi)保險，進而確定是否需要對保險分布的尾部進行處理，從而選擇適合的保險精算方法進行保險定價。傳統(tǒng)保險一般認(rèn)為風(fēng)暴潮災(zāi)害屬于巨災(zāi)風(fēng)險，但一直未給出相關(guān)證明，本文從損失分布擬合的角度探尋風(fēng)暴潮災(zāi)害保險的損失分布特點，以確定風(fēng)暴潮災(zāi)害保險的尾部特征是否真正屬于巨災(zāi)風(fēng)險的范疇，為后文風(fēng)暴潮災(zāi)害保險定價提供依據(jù)。

損失分布理論主要研究在以致發(fā)生某一損失的條件下，相應(yīng)損失量的分布情況。其主要目的是確定風(fēng)險的嚴(yán)重程度以便管理。分布擬合要解決三個主要問題：

第一是要判斷所研究的數(shù)據(jù)來自哪一種分布模型；

第二是確定分布中的未知參數(shù)。也就是在假設(shè)數(shù)據(jù)來自某類分布模型時，如何確定其中的未知參數(shù)；

第三是指出擬合的效果，通常通過統(tǒng)計顯著性檢驗來完成。

1.1 損失分布的擬合

第一步，根據(jù)經(jīng)驗分布[1]以及經(jīng)驗剩余期望函數(shù)[2]形狀選擇合適的分布模型，主要有帕累托分布、伽馬分布、威布爾分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。

1.1.1 經(jīng)驗分布

經(jīng)驗分布就是累計頻率，設(shè)有樣本X1,…,Xn，及x軸的分割點c0＜c1＜c2＜…＜ck-1＜ck，且一般有：c0≤min(xi)，ck≥max(xi)，cj(j=1,2…,k-1)不與任何樣本xi重合。分割點c0＜c1＜c2＜…＜ck-1＜ck不要求等距離，但必須使連接[c0,Fn(c0)=0]，[c1,Fn(c1)]，…[ck-1,Fn(ck-1)],[ck,Fn(ck)]等點的折線較好地擬合經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)。

Fn(x)是x的跳躍增函數(shù)，在每個無重復(fù)值xi處跳躍1n，0≤Fn(x)≤1。當(dāng)x1,…,xn互不相等時，把這n個值按從小到大的順序排列，記為x(1)＜x(2)＜…＜x(n)，則

當(dāng)X1,…,Xn是某總體X～F(x)的獨立同分布的樣本時，統(tǒng)計學(xué)上可以證明Fn(x)依概率收斂到F(x)，所以當(dāng)n比較大時，可以用Fn(x)近似代替F(x)。

1.1.2 經(jīng)驗密度函數(shù)

對于分組數(shù)據(jù)，按照前面的定義構(gòu)造經(jīng)驗分布函數(shù)是不可能的。但是仍然能夠估計函數(shù)的分布情況。定義分組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗密度函數(shù)為

其中，nj為區(qū)間[cj-1,cj)內(nèi)函數(shù)值的頻數(shù)。

由此得到的圖形稱為直方圖，這種方法的最大優(yōu)點在于，直方圖代表了密度函數(shù)，并且直方圖下方圖形的面積可以用來得到經(jīng)驗概率值。

1.1.3 剩余期望函數(shù)

由于非壽險中常考慮巨災(zāi)損失引起的準(zhǔn)備金、再保險安排等問題，損失分布的尾部常常受到特別關(guān)注，常常只考慮一定金額值以上的期望值，即用尾部期望函數(shù)也就是剩余期望函數(shù)來描述它。

設(shè)X是一個隨機變量，密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，對給定的實數(shù)d，定義剩余期望函數(shù)為

e[X;d]表示隨機變量X比d的高出值的平均水平，也就是在X≥d的條件下求X-d的期望值。如果X表示產(chǎn)品的使用壽命，則e[X;d]就表示產(chǎn)品使用時間d后剩余的平均壽命。因此e[X;d]反映的是隨機變量尾部的性質(zhì)，是對隨機變量做了“掐頭”的處理。剩余期望函數(shù)e[X;d]的增減性與分布的具體形式有關(guān)，這條性質(zhì)對分布擬合中選擇模型很有幫助。

以下介紹由樣本值計算經(jīng)驗剩余期望函數(shù)值的方法，根據(jù)總體剩余期望函數(shù)的計算公式，得經(jīng)驗剩余期望函數(shù)的計算公式為

當(dāng)xi互不相等時，順序統(tǒng)計量x(1)＜x(2)＜…＜x(n)，上式在d=x(k)的值為

第二步，對選用的分布中的參數(shù)做出初步估計，一般采用矩估計法或百分位數(shù)法等。如果原始數(shù)據(jù)數(shù)目較多，可以考慮采用分組數(shù)據(jù)進行簡化計算。另外也可以運用相關(guān)軟件對參數(shù)進行精確估計，例如極大似然估計法、最小距離法、最小Χ2法等，不過這些方法都有其適用范圍，應(yīng)該視具體情況而定。

第三步，檢驗損失分布擬合。對未分組數(shù)據(jù)可以采用剩余期望函數(shù)值比較法，對于分組數(shù)據(jù)可以對損失分布進行擬合優(yōu)度檢驗。

1.2 風(fēng)暴潮損失特征的判別

中國是全球少數(shù)幾個同時受臺風(fēng)風(fēng)暴潮和溫帶風(fēng)暴潮危害的國家之一，風(fēng)暴潮災(zāi)一年四季、從南到北均可發(fā)生，風(fēng)暴潮災(zāi)害每年給我國帶來巨大損失。下文根據(jù)國家公布的風(fēng)暴潮災(zāi)害損失數(shù)據(jù)，采用自2000年以來連續(xù)54次風(fēng)暴潮災(zāi)害的直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)對其分布進行擬合。值得說明的是，風(fēng)暴潮災(zāi)害的直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)包含了眾多標(biāo)的物的損失，包括漁船保險、船東保險這普遍意義上的漁業(yè)互助險所承保的損失，同時包括了被保險界認(rèn)為是不可保的海水養(yǎng)殖等在內(nèi)的其他標(biāo)的物損失?？傊L(fēng)暴潮災(zāi)害直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)屬于風(fēng)暴潮災(zāi)害綜合保險的經(jīng)驗損失數(shù)據(jù)，給我們提供了一種用綜合保險來補償風(fēng)暴潮損失的新的保險保障思路。

首先對發(fā)生的54次致災(zāi)風(fēng)暴潮損失數(shù)據(jù)進行去通脹處理，以使不同年份數(shù)據(jù)之間具有可比性。并將數(shù)據(jù)從小到大排列如表1。

根據(jù)公式（1）及（4）計算經(jīng)驗分布和經(jīng)驗剩余期望。運用SPSS 軟件繪制出二者的散點圖（圖1、圖2），通過二者的散點圖可以較好地選擇適合的分布模型[3],[4]。

表1 處理后的風(fēng)暴潮損失數(shù)據(jù)

圖1 損失分布的散點圖

圖2 經(jīng)驗剩余期望散點圖

圖3 各分布的剩余期望函數(shù)曲線

通過比較兩幅散點圖可以看出，累計概率的尾部趨向平坦，密度概率呈下降趨勢。由圖2風(fēng)暴潮損失數(shù)據(jù)的剩余期望可以看出，尾部并沒有表現(xiàn)出明顯的變化趨勢，很難看出同圖3中常見分布函數(shù)的剩余期望函數(shù)曲線相似，或許表明風(fēng)暴潮損失分布不具有厚尾特征。因此可以考慮采用密度函數(shù)對風(fēng)暴潮損失數(shù)據(jù)進行進一步分析。

將初始數(shù)據(jù)按照Sturges提出的經(jīng)驗公式（5）確定組數(shù)，并根據(jù)實際情況采取非等距型將數(shù)據(jù)分成下列6組：(0,1]、(1,10]、(10,30]、(30,50]、(50,100]、(100,114]。得到其概率分布為

K=1+lgnlg2 （5）

通過圖4可以看出其概率分布符合保險精算常用分布中的對數(shù)正態(tài)分布趨勢，因此根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布進行擬合。運用1stOpt1.0軟件，采用牛頓迭代法經(jīng)過11次迭代，所得擬合結(jié)果為

其中，a=5.9123，b=-5.4594，R2=0.9979，曲線擬合圖如圖5。

進而對對數(shù)正態(tài)擬合函數(shù)進行參數(shù)檢驗，χ2=0.001798，F(xiàn)=1873.7779，順利通過擬合優(yōu)度檢驗，由此可以判斷對數(shù)正態(tài)分布是風(fēng)暴潮損失分布的有效擬合曲線。

通過上文對風(fēng)暴潮災(zāi)害損失分布的擬合分析可知，潮災(zāi)害損失分布屬于對數(shù)正態(tài)分布，由對數(shù)正態(tài)分布的矩存在性可以看出其尾部較輕，不符合巨災(zāi)風(fēng)險所常有的右尾特征，因此風(fēng)暴潮災(zāi)害風(fēng)險不屬于巨災(zāi)風(fēng)險，可以用一般非壽險精算方法對其進行定價研究。

圖4 頻率分布直方圖

圖5 對數(shù)正態(tài)分布擬合圖

2 風(fēng)暴潮災(zāi)害保險的定價

通過上文的研究發(fā)現(xiàn)，風(fēng)暴潮災(zāi)害損失分布的有效分布為對數(shù)正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布是財產(chǎn)險的常用分布之一，根據(jù)其矩存在性可以推出對數(shù)正態(tài)分布的尾部較輕，不屬于巨災(zāi)風(fēng)險分布的范疇[5]，可以采用一般非壽險精算方法對其進行定價研究。由于風(fēng)暴潮災(zāi)害保險僅屬于理論研究階段，未投入實際應(yīng)用，其附加風(fēng)險保費無法確定。因此，本文主要對風(fēng)暴潮災(zāi)害保險的純保費進行定價研究。

根據(jù)非壽險精算理論相關(guān)結(jié)論，理論純保費根據(jù)其平均賠款額確定，設(shè)賠償金額Y是一個隨機變量，它是另一個隨機變量——損失金額X的總數(shù)，即Y=f(x)，設(shè)X的概率密度為p(x)，則每一賠案的評價賠款額為

在實際財產(chǎn)保險中，若被保險人將標(biāo)的足額投保，即保險金額等于標(biāo)的的實際價值，標(biāo)的的總價值為S，則賠償金額的評價賠款額為

另外，被保險人也可以采取絕對免配額、相對免賠額、不足額投保等方式，本文暫不討論。

同時根據(jù)信度理論可以對平均賠款額進行校正，推導(dǎo)略，可得校正后的平均賠款額m

其中，Z=n(n+k)，μ為先驗估計，xˉ為通過觀察得到的平均值。

通過原始數(shù)據(jù)易得xˉ=21.3237①，Z=0.9643。μ可以根據(jù)前文擬合所得的對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)以及公式（6）得到。其中S值的確定成為關(guān)鍵，理論上保險標(biāo)的上限S應(yīng)該是無窮大的，根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的一階矩為

顯然實際情況下市場無法承擔(dān)如此龐大的災(zāi)害損失。風(fēng)暴潮災(zāi)害畢竟屬于自然災(zāi)害的一種形式，不可避免的會出現(xiàn)損失極端大的情況，在我國目前保險市場不發(fā)達的情況下，為了避免風(fēng)險極大狀況下保險公司紛紛倒閉的情況，可以對風(fēng)暴潮災(zāi)害損失賠付設(shè)定一個上限，當(dāng)損失超過此上限后，超過部分由國家財政或者民間團體救助等方式進行，以此來保證風(fēng)暴潮災(zāi)害保險的順利開展。

鑒于對54次風(fēng)暴潮損失數(shù)據(jù)的分析，可以采取S=200。通過MATLAB 2008編程計算，μ=3.5329，根據(jù)式（7）可得，每次風(fēng)暴潮損失的平均賠款額為20.6883億元。為粗略估算沿海個體居民所繳保費，可假設(shè)保費籌集區(qū)域為風(fēng)暴潮災(zāi)害頻發(fā)的南方七省（臺灣省除外），同時不考慮企業(yè)或政府等個體購買保單情況，以七省總?cè)丝跀?shù)α來近似作為被保險人購買保單總數(shù)，且保單為同質(zhì)保單，則沿海七省2009年底總?cè)丝跒棣?3.35億人。由此可得每人在每次風(fēng)暴潮發(fā)生時僅需付給y=mα=6.17元。即沿海7省每人僅需付6.17元即可享受一次風(fēng)暴潮災(zāi)害帶來的損失補償；另外以平均每年n=5次臺風(fēng)計算，則沿海居民每年所需繳納的風(fēng)暴潮保險保費為

即沿海7省每人每年僅付30.88元可應(yīng)對單次風(fēng)暴潮總損失最高達200億元的保險補償。這對沿海飽受風(fēng)暴潮影響的居民來說具有重要意義，同時可以大大減少國家財政壓力。

3 結(jié)論

本文將風(fēng)暴潮造成的直接經(jīng)濟損失都包括在內(nèi)，即包括了漁船、沿海養(yǎng)殖、陸上財產(chǎn)等的風(fēng)險，所發(fā)行的風(fēng)暴潮災(zāi)害保險屬于財產(chǎn)綜合險。經(jīng)過擬合發(fā)現(xiàn)風(fēng)暴潮災(zāi)害并不具有巨災(zāi)的性質(zhì)，可以按照一般非壽險精算方法進行保險定價。這樣可避免因單獨承保沿海養(yǎng)殖等保險所存在的巨災(zāi)的性質(zhì)，通過綜合保險的形式最大程度的包含了眾多風(fēng)暴潮災(zāi)害風(fēng)險，為科學(xué)確定沿海居民的風(fēng)暴潮災(zāi)害損失補償。

在此基礎(chǔ)上，本文利用非壽險精算方法對風(fēng)暴潮災(zāi)害保險進行定價，研究發(fā)現(xiàn)沿海居民每年所需繳納的風(fēng)暴潮保險保費30.88元即可應(yīng)對總損失最高達200億元的保險補償，明顯增強了沿海居民對風(fēng)暴潮災(zāi)害保險的應(yīng)對能力，通過市場化手段提高了對風(fēng)暴潮災(zāi)害的災(zāi)后補償。

[1]卓志,李恒琦,張運剛等.保險精算通論[M].成都：西南財經(jīng)大學(xué)出版社，2006.

[2]王曉軍等.保險精算學(xué)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,1999.

[3]姚眾志.論精算方法在火災(zāi)等可保風(fēng)險中的預(yù)警作用[J].保險研究,2008，（增刊2）.