小波方法在水資源趨勢(shì)分析中的能力檢驗(yàn)

陳 杰，秦 毅，李懷恩，張 靜

（1.北京江河瑞通技術(shù)發(fā)展有限公司，北京 100097；2.西安理工大學(xué)西北水資源與環(huán)境生態(tài)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710048）

水資源作為一個(gè)地區(qū)甚至國(guó)家的發(fā)展基礎(chǔ)，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中占有重要的地位。因此，準(zhǔn)確并合理地分析水資源變化趨勢(shì)，從而對(duì)未來做出預(yù)測(cè)，具有重要意義。但由于水文循環(huán)的復(fù)雜性，其發(fā)展演化呈現(xiàn)出高度的非線性，這給預(yù)測(cè)問題特別是中長(zhǎng)期趨勢(shì)預(yù)測(cè)帶來了很大的困難。小波分析作為非線性科學(xué)中強(qiáng)有力的工具，在預(yù)測(cè)領(lǐng)域中得到了越來越多的應(yīng)用，各種預(yù)測(cè)方法層出不窮，特別是小波多分辨分析水文時(shí)間序列趨勢(shì)的應(yīng)用研究取得了迅速的發(fā)展。但從實(shí)際應(yīng)用的做法看，尚存在一些值得討論的問題。我們知道，形成水文序列趨勢(shì)的原因很多，有天然狀態(tài)下自身的機(jī)理因素，又有氣候變化和人類活動(dòng)的影響；趨勢(shì)形態(tài)表現(xiàn)出復(fù)雜多變性，且這種趨勢(shì)同時(shí)還隱含在其它變化特性之中，如周期性和隨機(jī)性。因此，僅將小波分析得出的最低頻信號(hào)視為趨勢(shì)，它是否真實(shí)可靠？隨著小波分析的層次提高，一個(gè)信號(hào)序列的低頻部分逐漸顯現(xiàn)出來，并由弱到強(qiáng)，但當(dāng)層次繼續(xù)升高，以低頻信號(hào)表達(dá)的趨勢(shì)逐漸變?yōu)橐粭l水平直線，那么，實(shí)用中哪一層分析結(jié)果才是合理的趨勢(shì)？分析結(jié)果受哪些因素影響？本文通過Monte Carlo模擬試驗(yàn)，著重對(duì)小波分析趨勢(shì)的效果進(jìn)行檢驗(yàn)，從而回答上述問題。

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

從水文過程的物理成因知，水文物理過程可以表示為趨勢(shì)成分 A（t）、周期成分 P（t）和隨機(jī)成分 R（t）的組合：

因此試驗(yàn)時(shí)，我們可以用M-C方法，人工生成多種方案的 X（t）如下：

1） X（t）=R（t），純隨機(jī)過程。 以此代表水文特征值序列。根據(jù)水文序列統(tǒng)計(jì)特性，取為正態(tài)分布過程和皮爾迅Ⅲ型分布過程。

2） X（t）=P（t）， 純周期過程。 以此代表水文月徑流等周期性變化的時(shí)間序列，用正弦函數(shù)表示。

3） X（t）=A（t）+R（t）， 隨機(jī)趨勢(shì)過程。 以此代表某一時(shí)段的水文時(shí)間序列，其中趨勢(shì)過程采用水文上常出現(xiàn)的型式：直線型y1=t、指數(shù)型y2=2.5e0.04t和S型，其中 t=1,2,3,…,n。

4） X（t）=A（t）+P（t）+R（t）,顯然它是水文序列更一般的型式。

對(duì)上述假設(shè)水文序列，利用廣泛采用的小波多分辨分析方法進(jìn)行分解與重構(gòu)，從而得到小波分析的趨勢(shì)系列。由于上述X（t）序列的趨勢(shì)型式A（t）已知，這里稱其為真實(shí)趨勢(shì)，則可以根據(jù)小波分析出的趨勢(shì)系列對(duì)真實(shí)趨勢(shì)A（t）的描述效果，決定小波分解尺度a的大小。這也正是為什么采用M-C方法的原因。設(shè)描述效果達(dá)到要求時(shí)的a=a0，那么在確定a0的同時(shí)，觀察在a從0變化到a0過程中，小波趨勢(shì)形狀的變化，從而為判定小波分析的趨勢(shì)提供視覺依據(jù)。另外，水文上常采用的直線趨勢(shì)分析和多項(xiàng)式擬合方法也將同時(shí)用來對(duì)X（t）進(jìn)行趨勢(shì)分析，以便對(duì)小波分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比評(píng)價(jià)。

小波分析所用到的函數(shù) （即小波函數(shù)）具有不唯一性，同一個(gè)工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問題，目前往往是通過經(jīng)驗(yàn)來選擇小波函數(shù)。而各種不同類型的小波基函數(shù)主要分成兩類，一類為正交小波基函數(shù)，另一類為非正交小波基函數(shù)。根據(jù)正交小波與非正交小波的對(duì)比研究結(jié)果，非正交小波的各個(gè)時(shí)間尺度小波系數(shù)間會(huì)受到重復(fù)信息的影響，在一定程度上不能很好地反映信號(hào)的變化情況。而正交小波因其具有正交性，使得所分解出來的各成分之間兩兩正交，沒有線性相關(guān)關(guān)系，沒有信息冗余。若提取各個(gè)時(shí)間尺度的相互正交的高低頻小波系數(shù)，對(duì)這些各個(gè)層次的系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，就能清晰地分析出各個(gè)層次的信號(hào)變化及進(jìn)行進(jìn)一步的分析，更好地了解整個(gè)信號(hào)的變化情況[7]。

本文采用Daubechies-16（DB16）小波進(jìn)行分析研究。DB16為近似對(duì)稱的緊支雙正交二進(jìn)小波，它由32個(gè)系數(shù)標(biāo)定，沒有明確的表達(dá)式，其支撐長(zhǎng)度和濾波器長(zhǎng)度分別為31和32，且尺度函數(shù)也是緊支正交的，這使得它們作為多分辨分析的基函數(shù)具有很好的局部化特征[7]。將DB16與其他正交小波進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，得出DB16小波在一定程度上過濾一些 “噪音”，卻又嚴(yán)格保持了原信號(hào)的特性，而且能揭示出信號(hào)的細(xì)微變化情況。因此，在以下的分析中采用DB16小波進(jìn)行探討。值得說明的是，采用不同的小波分析所得的結(jié)果會(huì)有所差異，這個(gè)問題不在本文的討論范圍。

2 小波多分辨率法識(shí)別趨勢(shì)能力檢驗(yàn)

2.1 純隨機(jī)序列 X（t）＝R（t）的小波多分辨率趨勢(shì)分析

本次研究的純隨機(jī)序列采用正態(tài)分布序列和皮爾遜-Ш分布序列。檢驗(yàn)步驟如下：

1） 生成正態(tài) N(0,1)、N(0,50)和N(0,100)的隨機(jī)序列，樣本容量均取n=100。

2）生成皮爾遜-Ш隨機(jī)序列E(R)=100，變差系數(shù)Cv(R)分別為 0.2、0.5、0.8，偏差系數(shù)Cs(R)=3Cv(R)，樣本容量同樣取100。

3）對(duì)生成的時(shí)間序列進(jìn)行小波多分辨趨勢(shì)分析，確定分解尺度a，對(duì)重構(gòu)序列寫出趨勢(shì)方程。

4）對(duì)趨勢(shì)方程的回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，分析結(jié)果列于表1。從該表可以看出，對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)序列而言，無論是正態(tài)分布還是偏態(tài)的皮爾遜-Ш分布，小波多分辨分析與直線擬合相差無幾，得出的趨勢(shì)也都為0，說明小波趨勢(shì)分析不受平穩(wěn)隨機(jī)因素的影響。

表1 平穩(wěn)隨機(jī)序列趨勢(shì)的小波多分辨分析

2.2 周期序列 X（t）＝P（t）的小波多分辨率趨勢(shì)分析

本次研究的周期函數(shù)取為正弦曲線，如圖1所示。首先生成樣本容量n=88的正弦周期時(shí)間序列P（t），再對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行小波多分辨趨勢(shì)分析，確定分解尺度a，對(duì)重構(gòu)序列寫出趨勢(shì)方程。

表2 周期序列趨勢(shì)的小波多分辨分析

從圖1及表2可以看出，對(duì)于純周期序列，線性回歸和小波多分辨分析結(jié)果依然相當(dāng)，沒有大的差別。趨勢(shì)的強(qiáng)弱只與序列終止時(shí)的相位有關(guān)，當(dāng)終止相位與起始相位相同或相差180度時(shí)，序列沒有趨勢(shì)，如圖1a所示；當(dāng)相差270度時(shí)，趨勢(shì)最大，如圖1b所示，顯然這是個(gè)偽趨勢(shì)。同時(shí)還可以看到，分解尺度也會(huì)隨相位的不同而不同。所以，從上面的分析可以得知，若用多分辨小波分析法，以最低頻信號(hào)視為周期性水文序列的趨勢(shì)是不可靠的。

2.3 正態(tài)噪音時(shí)間序列趨勢(shì)試驗(yàn)

為了進(jìn)一步了解小波多分辨率分析對(duì)時(shí)間序列趨勢(shì)的識(shí)別能力，這里僅就確定性的非周期成分和平穩(wěn)隨機(jī)成分合成的時(shí)間序列X(t)=A(t)+R(t)進(jìn)行檢驗(yàn)。其中R(t)采用生成的正態(tài)N(0,σ2)分布隨機(jī)序列，考慮三種情況，即σ2分別取為1.0、50、100。生成樣本容量為n=100。A(t)分別采用水文上常見的趨勢(shì)成分：

式中 t=1,2,3,…,n。

對(duì)X(t)進(jìn)行小波多分辨趨勢(shì)分析時(shí)，為了反映對(duì)趨勢(shì)成分的識(shí)別能力，將識(shí)別能力的表征量定義為：

式中：Se——趨勢(shì)值擬合誤差的均方差；

σy——趨勢(shì)值的均方差；

yt——趨勢(shì)真值；

y——趨勢(shì)方程給出的擬合值；

n——趨勢(shì)值序列的長(zhǎng)度。

識(shí)別能力的表征量power的取值域?yàn)?燮power燮1，其值越接近1，識(shí)別能力就越好。

正態(tài)噪音序列趨勢(shì)檢驗(yàn)結(jié)果見圖2和表3。

在圖2中，我們可以看到小波多分辨分析和最小二乘法分析所得結(jié)果的不同，不管確定性成分是線性還是非線性趨勢(shì)，小波多分辨分析識(shí)別時(shí)間序列趨勢(shì)的能力都很強(qiáng)，可以將X(t)中的確定性成分幾乎完全識(shí)別出來。根據(jù)表3的蒙特卡洛試驗(yàn)得知，與常用的趨勢(shì)分析方法比較，對(duì)于含有確定趨勢(shì)成分的正態(tài)隨機(jī)序列而言，與線性回歸和多項(xiàng)式擬合趨勢(shì)分析法比較，三者中小波多分辨趨勢(shì)分析法表現(xiàn)最好，其次為多項(xiàng)式擬合。這說明小波多分辨分析在頻域中分析趨勢(shì)比其他方法在時(shí)域中分析趨勢(shì)更具有優(yōu)勢(shì)，同時(shí)小波多分辨分析所具有的時(shí)頻局部化特征，能夠合理地反映出時(shí)間序列在時(shí)間域中的變化特點(diǎn)，因此更能準(zhǔn)確地捕捉時(shí)間序列的發(fā)展演化規(guī)律 （如圖2c所示）。

需要強(qiáng)調(diào)的是，小波分析所認(rèn)定的序列趨勢(shì)是系列中某一尺度a所對(duì)應(yīng)的低頻部分，如果趨勢(shì)序列本身包含有很陡的變化 （突變或跳躍），那么在多尺度小波變換的低頻部分中，顯示的信號(hào)則越來越不像原始信號(hào)，因?yàn)樗鼘⑿盘?hào)本身的陡峭變化當(dāng)作高頻濾掉了。這就是為什么在指數(shù)型趨勢(shì)中，小波趨勢(shì)分析的結(jié)果偏差相對(duì)較大的原因（見表3）。這一結(jié)果也告訴我們，在用小波進(jìn)行趨勢(shì)分析前，應(yīng)分析序列中是否存在突變，以保證小波趨勢(shì)分析對(duì)水文物理過程的正確反映。

2.4 非正態(tài)噪音時(shí)間序列趨勢(shì)試驗(yàn)

一般而言，水文隨機(jī)分布的統(tǒng)計(jì)特征是偏態(tài)的。這里將X(t)的隨機(jī)成分R(t)取為皮爾遜Ⅲ型（PⅢ），其統(tǒng)計(jì)參數(shù)為：均值 E(R)=100，變差系數(shù)Cv分別取 0.2、 0.5、 0.8，偏態(tài)系數(shù) Cs=3Cv，樣本長(zhǎng)度n=100；趨勢(shì)成分 A(t)的生成方法同“2.3”節(jié)的正態(tài)噪音時(shí)間序列。試驗(yàn)分析方法同上。限于篇幅，圖3僅給出部分試驗(yàn)的結(jié)果，詳情見表4。

對(duì)非正態(tài)噪音趨勢(shì)成分系列，在直線型趨勢(shì)情況下三種趨勢(shì)分析方法都是穩(wěn)健的，相差無幾。對(duì)指數(shù)型趨勢(shì)情形，線性擬合最差，二階多項(xiàng)式擬合則要比線性回歸好得多，而小波多分辨分析趨勢(shì)還要優(yōu)于多項(xiàng)式擬合，其所具有的時(shí)頻局部化特征更能反映趨勢(shì)的真實(shí)情況，這可從圖3c中的S型趨勢(shì)分析看出。小波多分辨分析所具有的時(shí)頻局部化特征的優(yōu)點(diǎn)是非常明顯的，能夠把整個(gè)時(shí)間序列的趨勢(shì)變化比較完整地反映出來，而線性回歸和二階多項(xiàng)式擬合僅僅是對(duì)趨勢(shì)變化的最小二乘近似逼近。這說明小波多分辨分析比線性回歸、多項(xiàng)式擬合具有更強(qiáng)的適用性，且與所給的趨勢(shì)類型無關(guān)。另外，從表3、表4可以看出，對(duì)于給定的趨勢(shì)線類型，小波趨勢(shì)分析對(duì)正態(tài)噪音或非正態(tài)噪音的識(shí)別能力相當(dāng)，也即小波趨勢(shì)分析能力與序列服從的分布類型無關(guān)。這兩個(gè)特點(diǎn)使得小波多分辨分析在水文時(shí)間序列的分析上，具有更強(qiáng)的實(shí)用性。

2.5 X(t)=A(t)+P(t)+R(t)序列趨勢(shì)試驗(yàn)

針對(duì)更一般的情況，模擬生成隨機(jī)水文序列。這里將X(t)的隨機(jī)成分R(t)取為皮爾遜Ⅲ型（PⅢ），其統(tǒng)計(jì)參數(shù)為：均值E(R)=100，變差系數(shù)Cv取0.5，偏態(tài)系數(shù)Cs=3Cv，樣本長(zhǎng)度n=100；趨勢(shì)成分A(t)的生成方法同“2.3”節(jié)的正態(tài)噪音時(shí)間序列；周期成分采用P(t)=100+50sin(t/pi)，趨勢(shì)分析的試驗(yàn)方法同上。限于篇幅，圖4僅給出部分試驗(yàn)的結(jié)果，詳情見表5。

從圖4和表5可以清晰的看出，在同等情況下，小波多分辨趨勢(shì)分析方法具有很強(qiáng)的識(shí)別能力。這也再一次說明小波多分辨分析比線性回歸、多項(xiàng)式擬合具有更強(qiáng)的適用性，且與所給的趨勢(shì)類型無關(guān)。對(duì)于給定的趨勢(shì)線類型，小波趨勢(shì)分析對(duì)正態(tài)噪音或非正態(tài)噪音的識(shí)別能力相

當(dāng)，也即小波趨勢(shì)分析能力與序列服從的分布類型無關(guān)。

表3 不同趨勢(shì)類型下正態(tài)隨機(jī)序列的小波多分辨分析

表4 不同趨勢(shì)類型下各種分析非正態(tài)隨機(jī)時(shí)間序列的趨勢(shì)方法對(duì)比

表5 不同趨勢(shì)類型下各種分析非正態(tài)隨機(jī)時(shí)間序列的趨勢(shì)方法對(duì)比

3 關(guān)于分解尺度

從表1、表2、表3和表4可以看到，小波多分辨分析的識(shí)別能力是最穩(wěn)健的，即識(shí)別能力并不隨序列方差的增大而發(fā)生顯著的降低，但分解尺度卻隨序列性質(zhì)的不同而變化。當(dāng)序列為純隨機(jī)時(shí)，分解尺度隨方差的增加而加大，一般要在a=7以上。這其實(shí)是因?yàn)樾蛄械姆讲罡淖凅w現(xiàn)在序列高頻成分的加強(qiáng)，而高頻部分恰恰可以通過調(diào)節(jié)尺度因子a來實(shí)現(xiàn)高頻濾波。所以實(shí)用中，只要進(jìn)行高尺度的多分辨分析，就可以比較明顯地反映序列的趨勢(shì)而又不失代表性。當(dāng)序列為部分隨機(jī)時(shí)，尤其是隨機(jī)成分所占比例不大時(shí)（均值較小），則a的大小與Cv無關(guān)，一般a=5，同時(shí)，根據(jù)對(duì)a的跟蹤對(duì)比發(fā)現(xiàn)，多分辨分析的分解尺度a=5是生成時(shí)間序列被分解到趨勢(shì)線接近光滑且沒有大的波動(dòng)時(shí)（接近單增或是單減）所對(duì)應(yīng)的尺度，因此，它可作為判定小波分析趨勢(shì)的視覺依據(jù)。由于水文序列中的隨機(jī)成分所占比重取法準(zhǔn)確確定，實(shí)用中可以考慮a取5～6。

4 應(yīng)用實(shí)例

為檢驗(yàn)本文所描述的小波多分辨分析技術(shù)在水文趨勢(shì)性分析中的應(yīng)用效果，現(xiàn)采用渭河下游咸陽水文站及涇河張家山水文站1961～2001實(shí)測(cè)年徑流資料進(jìn)行水文時(shí)間序列趨勢(shì)分析說明。首先，對(duì)原始實(shí)測(cè)年徑流值X(t)的距平系列dx(t)（去除各種成分的量級(jí)影響）進(jìn)行周期分析，并重構(gòu)確定性周期成分P(t)，然后在原實(shí)測(cè)系列中減去周期成分，再利用其差值dx(t)-P(t)進(jìn)行小波多分辨趨勢(shì)分析。由于隨機(jī)成分所占比例不大，取調(diào)節(jié)尺度因子a=5，且觀察得到實(shí)測(cè)水文時(shí)間序列被分解后的趨勢(shì)線接近光滑，沒有大的波動(dòng)，因此可以認(rèn)為這就是所要提取的趨勢(shì)成分A(t)。對(duì)比分析結(jié)果如圖4和圖5所示。

表6 渭河下游實(shí)測(cè)年徑流趨勢(shì)分析對(duì)比

從圖4和圖5可以看出，采用小波多分辨分析方法能夠分析出進(jìn)入90年代后，實(shí)測(cè)年徑流下降的趨勢(shì)有所變緩，而不是如線性回歸或者二階多項(xiàng)式擬合趨勢(shì)預(yù)測(cè)的那樣仍存在繼續(xù)下降的趨勢(shì)。同時(shí)，通過分析2000年后渭河下游實(shí)測(cè)的年徑流資料可知，渭河下游年徑流量為平穩(wěn)發(fā)展演變，并非持續(xù)下降的態(tài)勢(shì)。這也從側(cè)面說明小波多分辨分析所具有的時(shí)頻局部化特征，能夠合理地反映出水文時(shí)間序列在時(shí)間域中的變化特點(diǎn)，比現(xiàn)有水文領(lǐng)域所用的趨勢(shì)分析方法更具可靠性，特別是在趨勢(shì)外延預(yù)測(cè)上。

為了進(jìn)一步說明多分辨分析方法的合理性，同樣我們采用常用的Mann-Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)方法分析以上兩站1961～2001年時(shí)段的變化趨勢(shì)的顯著性。當(dāng)檢驗(yàn)值的絕對(duì)值大于1.96時(shí)，變化趨勢(shì)可達(dá)到95%的信度檢驗(yàn)，因而認(rèn)為存在顯著的變化趨勢(shì)；正值表示增大趨勢(shì)，反之為減小趨勢(shì)。由表6可以看出，張家山站實(shí)測(cè)年徑流采用小波多分辨分析方法在剔除周期成分后所檢驗(yàn)的趨勢(shì)貢獻(xiàn)值為11.23%，與Mann-Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)方法的檢驗(yàn)結(jié)果是一致，其發(fā)展趨勢(shì)主要是由于水文循環(huán)的周期演變引起的。這也從側(cè)面說明了，對(duì)于存在確定性周期成分的水文時(shí)間序列而言，在進(jìn)行趨勢(shì)分析之前，應(yīng)先剔除周期成分，否則，將會(huì)得出如張家山站采用直線擬合分析所得的趨勢(shì)值貢獻(xiàn)達(dá)到32.56%，而Mann-Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)卻不顯著的錯(cuò)誤結(jié)果。實(shí)際上，如前文所述，周期成分的存在會(huì)產(chǎn)生偽趨勢(shì)，而當(dāng)前在水文領(lǐng)域?qū)λ臅r(shí)間序列進(jìn)行趨勢(shì)分析并進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，并沒有剔除周期成分再進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，而是直接擬合趨勢(shì)分析預(yù)測(cè)。這種做法顯然是不合理。另外，咸陽站小波多分辨趨勢(shì)分析，趨勢(shì)貢獻(xiàn)值僅為23.76%時(shí)，對(duì)應(yīng)的Mann-Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)為顯著下降，兩者吻合比較好?？梢?，采用小波多分辨趨勢(shì)分析的定量方法和Mann-Kendall趨勢(shì)檢驗(yàn)的定性分析方法相結(jié)合的模式可以得到比其他方法更合理的結(jié)果，其結(jié)果也更可靠。

5 結(jié)論

1）Monte Carlo模擬試驗(yàn)表明，用小波分析得出的某一尺度a所對(duì)應(yīng)的低頻信號(hào)作為時(shí)間序列的趨勢(shì)是可行的。

2）小波多分辨分析在頻域中分析趨勢(shì)比其他方法 （如線性回歸或多項(xiàng)式擬合法），在時(shí)域中分析趨勢(shì)更具有優(yōu)勢(shì)，同時(shí)小波多分辨分析所具有的時(shí)頻局部化特征，能夠合理地反映出時(shí)間序列在時(shí)間域中的變化特點(diǎn)，因此更能捕捉時(shí)間序列的發(fā)展演化規(guī)律。

3）小波趨勢(shì)分析的識(shí)別能力與所給定的趨勢(shì)線類型及時(shí)間序列所含噪音的分布類型無關(guān)，只要進(jìn)行有限尺度的多分辨分析，就可以比較明顯地反映序列的趨勢(shì)而又不失代表性。

4）一般分解尺度a的選擇取決于序列隨機(jī)成分所占比重，比重越大，a值越大。實(shí)用中可以考慮a取5～6。過度加大a值，將使分析出的趨勢(shì)失真。

5）由于小波方法是以濾去高頻信號(hào)為手段分析趨勢(shì)，周期成分或突變成分的存在都將影響小波多分法分析趨勢(shì)的可靠性，因此，在對(duì)實(shí)測(cè)序列進(jìn)行趨勢(shì)分析前，應(yīng)首先剔除這些成分。

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