基于偏最小二乘回歸法的大壩滲漏分析與預(yù)測(cè)

魏迎奇，張 申

（中國(guó)水利水電科學(xué)研究院 巖土工程研究所，北京 100048）

目前，對(duì)大壩滲流資料的統(tǒng)計(jì)回歸分析中，通常采用普通多元回歸分析法，利用該方法進(jìn)行建模的前提條件是自變量因子之間不存在多重相關(guān)性，而大壩滲流過程的滯后效應(yīng)使得自變量間存在共線性的現(xiàn)象，如果強(qiáng)制運(yùn)用該方法進(jìn)行回歸建模，將會(huì)破壞參數(shù)的估計(jì)，擴(kuò)大模型誤差，無法對(duì)研究對(duì)象做出合理有效的預(yù)測(cè)。另外，采用普通多元回歸分析法時(shí)，需要的樣本數(shù)較多，有時(shí)這在工程實(shí)際中是很難實(shí)現(xiàn)的。鑒于此，采用偏最小二乘法對(duì)滲流變量進(jìn)行回歸建模，解決了變量間共線，樣本少等諸多問題，進(jìn)而可對(duì)大壩的運(yùn)行狀態(tài)做出合理的預(yù)測(cè)和評(píng)價(jià)。

1 偏最小二乘回歸方法的基本原理

1.1 建模方法偏最小二乘回歸分別在自變量X和因變量Y中提取成分t1和u1，二者必須盡可能多地?cái)y帶它們各自數(shù)據(jù)表中的變異信息，且相關(guān)程度能夠達(dá)到最大[1]。在第一成分t1和u1被提取后，偏最小二乘回歸分別實(shí)施X對(duì)t1的回歸以及Y對(duì)u1的回歸。如果回歸方程已經(jīng)達(dá)到滿意的精度，則算法終止；否則，將利用X被t1解釋后的殘余信息進(jìn)行第二輪的成分提取。如此往復(fù)，直到能達(dá)到一個(gè)較滿意的精度為止。

1.2 模型因子的選擇大壩滲流主要受上下游水位差、水位升降速率及降雨量等因素的影響。另外，筑壩材料在庫(kù)區(qū)蓄水過程中，土體結(jié)構(gòu)在滲流過程中發(fā)生相應(yīng)變化，這使得大壩滲流具有時(shí)效性的特點(diǎn)。因此，壩體滲流與水頭和時(shí)效因素等息息相關(guān)。由于這些分量相互獨(dú)立，無交互作用，按各因素對(duì)滲流水頭的作用形式，其分析模型可表達(dá)如下[2-3]：

式中：

式（2）中涉及的待估系數(shù)a（ii=1，2，3）可以通過式（5）求得：

式中：r為相關(guān)系數(shù)；m為提取主成分的個(gè)數(shù)；

同理，可求出待估系數(shù)b（ii=1，2，…，6）、c（ii=1，2，…，6）、d（ii=1，2）。

利用式（1）求得的滲流水頭來測(cè)算大壩的滲漏量，即：

式中：h為滲流水頭，m；a、b為待估參數(shù)，可由觀測(cè)庫(kù)水位和滲漏量求出。

2 偏最小二乘回歸的輔助分析技術(shù)

2.1 精度分析在偏最小二乘回歸計(jì)算過程中，測(cè)量th對(duì)X和Y的解釋能力做如下定義[4]：

（1）th對(duì)某自變量xj的解釋能力為

式中：r為相關(guān)系數(shù)。

（2）th對(duì)X的解釋能力為

式中：p為自變量個(gè)數(shù)。

（3）th對(duì)Y的解釋能力為

式中：q為因變量個(gè)數(shù)。

2.2 自變量xj在解釋因變量集合Y時(shí)的作用分析自變量X與因變量Y之間的關(guān)系時(shí)，引入變量投影重要性指標(biāo)（VIP）來測(cè)度二者的關(guān)系。

式中：p為自變量個(gè)數(shù)；ωhj為軸ωh的第j分量。

通過計(jì)算不同的VIP值可以定性地分析自變量X對(duì)因變量Y的影響作用。

2.3 T2橢圓圖與特異點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)樣本中的奇異點(diǎn)就是在95%的檢驗(yàn)水平上，樣本點(diǎn)i對(duì)成分t1，t2，…，tm的貢獻(xiàn)過大，超出了樣本總體的平均水平。當(dāng)提取成分個(gè)數(shù)為2時(shí)，則有：

在t1/t2平面圖上做出T2橢圓圖后，若所有的樣本點(diǎn)都落在橢圓區(qū)內(nèi)，則認(rèn)為所有樣本點(diǎn)的分布是均勻的；否則，認(rèn)為落在橢圓區(qū)外的樣本點(diǎn)為奇異點(diǎn)。

3 基于偏最小二乘的滲流模型分析

根據(jù)吉林臺(tái)面板堆石壩工程滲漏實(shí)測(cè)資料[5]，首先計(jì)算出水頭H、H2、H3、H5（ii=1，2，…，6）、及θ。θ從測(cè)算日起取零，以后每天遞增0.01。為方便計(jì)算說明，令：x1=H，x2=H2，…，x17=ln(1 +θ)。

從變量因子間的相關(guān)系數(shù)中可以看出，大壩滲流統(tǒng)計(jì)模型中所選的水位因子和時(shí)效因子之間存在很強(qiáng)的相關(guān)性，采用偏最小二乘回歸方法進(jìn)行建模，它能夠較好地解決這一問題。

3.1 模型計(jì)算通過對(duì)該大壩滲流資料的計(jì)算分析，建立偏最小二乘回歸統(tǒng)計(jì)模型如下：

從能量觀點(diǎn)看，滲流邊界條件一定的情況下，滲流區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)的滲流水頭與上、下游水位差有關(guān)的變量間的關(guān)系只能成正比，而不能成反比，否則就違反了能量觀點(diǎn)。從式（12）中可以看出，滲流水頭與各水頭因子成正比，且均介于0和1之間，這與工程實(shí)際相符合。

在水頭變量因子間存在很強(qiáng)相關(guān)性的情況下，采用常規(guī)的最小二乘法對(duì)滲流觀測(cè)資料進(jìn)行回歸建模，結(jié)果如下：

從式（13）中可以看出，采用常規(guī)的最小二乘法對(duì)滲流觀測(cè)資料進(jìn)行回歸建模后，滲流水頭與多個(gè)變量因子成反比，即：當(dāng)庫(kù)水頭增加時(shí)，大壩滲流水頭反而減小，這顯然與實(shí)際情況不相符。由此說明了在變量因子間存在強(qiáng)相關(guān)性的情況下，運(yùn)用偏最小二乘法進(jìn)行回歸建模是可行的。

3.2 滲流統(tǒng)計(jì)模型的輔助分析

3.2.1 模型的精度分析 在該工程實(shí)例計(jì)算中，從自變量系統(tǒng)中提取了兩個(gè)成分t1與t2，并計(jì)算出它們對(duì)自變量和因變量的累計(jì)解釋能力，結(jié)果如表1所示：

表1 成分t1、t2累計(jì)解釋能力

從表1中可以看出，提取的兩個(gè)成分t1與t2對(duì)自變量和因變量的累計(jì)解釋能力分別為97%和96%，可以認(rèn)為這兩個(gè)成分t1與t2的綜合信息能代替17個(gè)變量因子的信息。

3.2.2 自變量在解釋因變量時(shí)的測(cè)度 用變量投影重要性指標(biāo)VIPj來測(cè)度各個(gè)自變量xj對(duì)解釋因變量y的作用，通過計(jì)算可得到不同自變量的VIPj值。如圖1所示。

從圖1中可以看出，大壩的滲漏量主要受當(dāng)日水頭因子、平均水頭因子和時(shí)效因子的影響，而平均水頭升降速率對(duì)滲漏的影響相對(duì)較弱。

3.2.3 對(duì)樣本點(diǎn)分布結(jié)構(gòu)的觀察與特異點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)通過計(jì)算成分t1與t2所對(duì)應(yīng)的方差s1與s2，進(jìn)而求出c值，并在t1/t2平面圖上做出T2橢圓圖，結(jié)果見圖2。

從圖2中可以看出，大部分樣本點(diǎn)都落在橢圓區(qū)內(nèi)，但是，還有5個(gè)樣本點(diǎn)落在橢圓區(qū)外，由此可以認(rèn)為總體上各測(cè)值樣本點(diǎn)的分布是均勻的；在橢圓區(qū)外的樣本點(diǎn)取值遠(yuǎn)離了總體樣本點(diǎn)的平均水平，它們對(duì)應(yīng)的滲流測(cè)值為奇異值，這一般由觀測(cè)過程中的偶然誤差所致，在建模時(shí)，應(yīng)將這些測(cè)值剔除，以免影響模型的精度。

3.2.4 統(tǒng)計(jì)模型的結(jié)果評(píng)價(jià) 利用偏最小二乘法與常規(guī)預(yù)測(cè)法分別預(yù)測(cè)出滲漏量，并計(jì)算出它們與觀測(cè)滲漏量的誤差值，將其繪制成滲漏量的誤差分布圖，結(jié)果見圖3。

從圖3中可以看出，通過偏最小二乘模型預(yù)測(cè)的滲漏量誤差明顯更接近于X軸，這表明利用該方法對(duì)滲流觀測(cè)資料分析時(shí)弱化了隨機(jī)模糊不確定性因素的影響，從而提高了模型的預(yù)測(cè)精度，也更加充分地反映了大壩滲流的實(shí)際狀態(tài)。

4 結(jié)論

本文根據(jù)大壩滲流變量的特點(diǎn)，研究了采用偏最小二乘法對(duì)其建模的可行性和優(yōu)越性。從計(jì)算結(jié)果可以看出該方法能夠在樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少、自變量因子存在強(qiáng)相關(guān)性的情況下進(jìn)行回歸建模，利用該方法能夠較好地對(duì)滲流水頭做出合理預(yù)測(cè)；另外，通過輔助性分析計(jì)算，檢驗(yàn)了模型的擬合精度、辨析了因變量與各自變量之間的關(guān)系、剔除了影響模型精度的奇異點(diǎn)，從而達(dá)到對(duì)該大壩滲漏量進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)的目的。

[1]王惠文.偏最小二乘回歸方法及其應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1999.

[2]酈能惠.土石壩安全監(jiān)測(cè)分析評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)系統(tǒng)[M].北京：中國(guó)水利水電出版社，2001.

[3]柳利利.偏最小二乘回歸在大壩安全監(jiān)測(cè)資料分析中的應(yīng)用研究[D].西安：西安理工大學(xué)，2008.

[4]王惠文，吳載斌.偏最小二乘回歸的線性與非線性方法[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2006.

[5]魏迎奇.新疆吉林臺(tái)一級(jí)水電站混凝土面板堆石壩滲流分析[R].中國(guó)水利水電科學(xué)研究院，2005.

[6]高祥寶，董寒青.數(shù)據(jù)分析與SPSS應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.