基于坐標(biāo)變換的制導(dǎo)炮彈攻角側(cè)滑角觀測(cè)器

楊榮軍，王良明，楊 樺

（1.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.中國(guó)北方工業(yè)公司，北京 100053）

0 引言

為提高制導(dǎo)炮彈的控制精度，近年來國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者將反饋線性化、狀態(tài)依賴Riccati方程和滑?？刂频确蔷€性理論應(yīng)用于飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，取得了較好的效果［1－3］。值得注意的是，這些高性能飛行控制系統(tǒng)需要反饋更多的系統(tǒng)狀態(tài)變量信息。然而實(shí)際中受彈體空間、造價(jià)等條件的限制，制導(dǎo)炮彈的彈載測(cè)量設(shè)備有限，在應(yīng)用非線性控制方法時(shí)所需的攻角、側(cè)滑角等狀態(tài)量是不易直接精確測(cè)量的，這樣很自然地就提出了制導(dǎo)炮彈系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)（或狀態(tài)重構(gòu)）問題［4］。目前非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)還沒有系統(tǒng)的方法，文獻(xiàn)［5］利用輸入輸出線性化理論研究了非線性系統(tǒng)的拓展龍伯格觀測(cè)器；文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了基于高超聲速飛行器縱向動(dòng)力學(xué)模型的滑模觀測(cè)器，但是制導(dǎo)炮彈縱向和側(cè)向的耦合特性使得構(gòu)造合適的滑模面較為困難；文獻(xiàn)［7］提出了一種適用于具有分塊矩陣形式多輸入多輸出系統(tǒng)的高增益觀測(cè)器，而該方法要求系統(tǒng)具有嚴(yán)格的反饋形式，且繁瑣的設(shè)計(jì)過程難以實(shí)際運(yùn)用。為此，本文提出一種基于坐標(biāo)變換的制導(dǎo)炮彈攻角、側(cè)滑角觀測(cè)器。

1 非線性系統(tǒng)坐標(biāo)變換方法

制導(dǎo)炮彈是一個(gè)復(fù)雜的多輸入多輸出耦合的非線性系統(tǒng)，在觀測(cè)器設(shè)計(jì)時(shí)難以運(yùn)用常規(guī)的線性理論。微分幾何理論的發(fā)展為處理該類問題提供了有效的方法，通過合適的非線性坐標(biāo)變換，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的精確線性化。

設(shè)狀態(tài)向量x∈Rn，控制輸入向量u∈Rm，輸出向量y∈Rm，f、h為光滑向量場(chǎng)，考慮如下形式的m輸入m輸出非線性系統(tǒng)

若系統(tǒng)的相對(duì)階ρ1，…，ρm滿足存在零動(dòng)態(tài)，定義坐標(biāo)變換向量

非奇異，則Φ（x）是系統(tǒng)的一個(gè)微分同胚，即可由式（2）的坐標(biāo)變換將原系統(tǒng)等價(jià)轉(zhuǎn)化成如下解耦的線性系統(tǒng)：

2 制導(dǎo)炮彈攻角側(cè)滑角觀測(cè)器

由于實(shí)際測(cè)量條件的限制，制導(dǎo)炮彈在應(yīng)用先進(jìn)的非線性控制方法時(shí)所需的攻角、側(cè)滑角等狀態(tài)是不易直接精確測(cè)量的，本文提出了一種基于坐標(biāo)變換的狀態(tài)觀測(cè)器來估計(jì)飛行中的攻角與側(cè)滑角姿態(tài)。該觀測(cè)器采用了降階的系統(tǒng)模型，針對(duì)該模型存在的非線性耦合問題，采用了坐標(biāo)變換方法將其轉(zhuǎn)化為解耦的線性系統(tǒng)，進(jìn)而參考線性系統(tǒng)理論構(gòu)造了利用角速度、加速度信息的攻角、側(cè)滑角觀測(cè)器，其增益矩陣可按期望的誤差動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行配置。

2.1 制導(dǎo)炮彈攻角、側(cè)滑角觀測(cè)系統(tǒng)模型

由制導(dǎo)炮彈角速度向量的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系可得

式（5）中，α、β為準(zhǔn)速度與準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系之間的攻角和側(cè)滑角［1］；L（α、β）為相應(yīng)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣；ωx、ωy和ωz分別為彈體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的投影為滾轉(zhuǎn)角變化速率；Ω ＝ ［ΩxΩyΩz］T為準(zhǔn)速度坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在準(zhǔn)速度坐標(biāo)系上的投影。

取觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量x＝［αβ］T，輸入變量u＝ ［ωzωy］T，將式（6）展開并化簡(jiǎn)得到形如式（1）的攻角、側(cè)滑角系統(tǒng)狀態(tài)方程中各項(xiàng)

式（6）中，氣動(dòng)升力Y＝qSCy，側(cè)向力Z＝qSCz，q為動(dòng)壓，S為彈箭特征面積，Cy、Cz分別為升力和側(cè)向力系數(shù)，θ為彈道傾角，v為彈箭飛行速度。

由彈體所受力的投影關(guān)系可得到制導(dǎo)炮彈加速度的量測(cè)方程為：

式（7）中，ay和az為視加速度在準(zhǔn)彈體系下的投影，m為彈箭質(zhì)量，氣動(dòng)阻力X＝qSCx，Cx為阻力系數(shù)。

在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，通常視舵偏為輸入量，那么描述制導(dǎo)炮彈對(duì)象的攻角、側(cè)滑角模型是耦合的四階系統(tǒng)。這里假設(shè)可以通過加速度計(jì)、陀螺儀測(cè)得準(zhǔn)彈體的加速度和角速度，并把角速度看成輸入量，那么式（6）和式（7）便構(gòu)成攻角、側(cè)滑角的二階觀測(cè)系統(tǒng)模型，從而降低了觀測(cè)器維數(shù)。

2.2 觀測(cè)器結(jié)構(gòu)與增益矩陣配置算法

由觀測(cè)系統(tǒng)式（6）、式（7）可知相對(duì)階ρ1＝ρ2＝1，與系統(tǒng)的階數(shù)相同，不存在零動(dòng)態(tài)。參考式（2）取Φ（x）＝ ［h1h2］T，將原非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為式（4）的形式，然后參考線性系統(tǒng)的龍伯格觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法，可得到觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程［5］：

此觀測(cè)器利用攻角與側(cè)滑角動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型、彈體角速度和加速度測(cè)量預(yù)測(cè)誤差等信息來重構(gòu)制導(dǎo)炮彈的攻角、側(cè)滑角。

觀測(cè)器式（8）中的增益矩陣K反映了測(cè)量值對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)值的修正情況。設(shè)觀測(cè)器誤差~x＝x－＾x，則動(dòng)態(tài)誤差方程為

式（9）中，A＝?f／?x｜x＝＾x，C＝?h／?x｜x＝＾x。由式（9）可知，通過合理地調(diào)整增益矩陣K，可使動(dòng)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)定，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量精確重構(gòu)的目的?？紤]到本文建立了關(guān)于攻角、側(cè)滑角的雙輸入雙輸出二階觀測(cè)系統(tǒng)的特點(diǎn)，若欲使動(dòng)態(tài)誤差按期望特性（~x＝eΛt~x0）快速收斂，對(duì)應(yīng)的觀測(cè)器增益矩陣K可按式（10）簡(jiǎn)單計(jì)算

式（10）中，Λ ＝diag（λ1，λ2），λ1、λ2為期望的負(fù)實(shí)數(shù)。

3 非線性仿真與分析

設(shè)仿真初始條件：制導(dǎo)炮彈質(zhì)量m＝40 kg，轉(zhuǎn)速ωx＝11 r／s，初始速度v＝280 m／s，攻角α＝－5°、側(cè)滑角β＝0.35°。同時(shí)假設(shè)含有較大的初始誤差，觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程式（8）的初始值為＾α＝5.73°，＾β＝5.73°。為了考核觀測(cè)器的性能，使等效舵偏δy按階躍指令、δz按正弦指令偏轉(zhuǎn)，圖1、圖2分別為該舵偏控制下產(chǎn)生的角速度變化和彈體視加速度測(cè)量曲線。

觀察圖1可知，在初始時(shí)刻與5 s時(shí)的階躍偏航舵偏指令，將引起角速度的振蕩，同時(shí)由于彈體的滾轉(zhuǎn)使俯仰和偏航運(yùn)動(dòng)存在較強(qiáng)耦合，并引起圖2所示的彈體受力情況。

觀測(cè)器增益矩陣對(duì)攻角、側(cè)滑角的重構(gòu)效果有較大的影響。式（9）、式（10）可看出觀測(cè)器指數(shù)矩陣Λ的對(duì)角元素絕對(duì)值越小，則觀測(cè)器的時(shí)間常數(shù)越大，對(duì)真實(shí)值逼近的速度較慢，在對(duì)攻角重構(gòu)時(shí)存在滯后，并且接受階躍偏航舵控指令時(shí)，存在較大的動(dòng)態(tài)誤差。圖3、圖4為Λ＝diag（－15，－15）時(shí)的重構(gòu)效果圖，觀測(cè)器估計(jì)值能快速逼近真實(shí)的攻角、側(cè)滑角，改善了階躍舵偏指令時(shí)的高頻動(dòng)態(tài)重構(gòu)效果。值得注意的是，增大Λ雖可改善觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)特性，但同時(shí)也降低了對(duì)噪聲的抑制能力，因而在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)應(yīng)盡量避免控制律的階躍突變。

圖1 彈體角速度曲線Fig.1 Curves of angle rate

圖2 彈體加速度曲線Fig.2 Curves of acceleration

圖3 側(cè)滑角估計(jì)Fig.3 Side-slip angle esti mate

圖4 攻角估計(jì)Fig.4 Angle of attack esti mate

4 結(jié)論

本文提出了一種基于坐標(biāo)變換的制導(dǎo)炮彈攻角、側(cè)滑角觀測(cè)器。該觀測(cè)器在采用了降階的觀測(cè)系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上通過坐標(biāo)變換的方法將系統(tǒng)解耦線性化，利用角速度、加速度信息實(shí)現(xiàn)對(duì)攻角側(cè)滑角的估計(jì)，所對(duì)應(yīng)的增益矩陣配置方法簡(jiǎn)便。數(shù)值仿真表明：該觀測(cè)器能夠有效地估計(jì)出制導(dǎo)炮彈的攻角與側(cè)滑角，并且觀測(cè)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，參數(shù)的物理意義明確，可合理調(diào)節(jié)使觀測(cè)器具有期望的動(dòng)態(tài)性能，易于工程實(shí)現(xiàn)。此外，考慮到通常制導(dǎo)炮彈的彈體頻率較高，為較好地重構(gòu)攻角、側(cè)滑角，在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量避免產(chǎn)生階躍舵偏指令。

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