分部積分推廣公式的應(yīng)用

崔立功

（江蘇財(cái)經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部 江蘇 淮安 223005）

0 引言

分部積分是重要的積分方法之一，可以用來求兩類不同的初等函數(shù)乘積的積分。可對于面對形如 ∫un（x）eaxdx，∫un（x）sinbxdx， ∫eaxsinbxdx，（其中 a,b 是不為零的常數(shù)， un（x）是x的多項(xiàng)式）的積分時按照傳統(tǒng)方法必須連續(xù)的使用分部積分法公式 ∫udv＝uv－ ∫vdu

當(dāng)n較大的時候雖然能算出結(jié)果，但是過程較為復(fù)雜，計(jì)算量大，式子較多容易出錯。因此運(yùn)用一種分部積分推廣公式不僅思路清晰，而且不易出錯，所以這是個不錯的方法。

1 重要的結(jié)論

下面給出兩個定理和一個推論

定理 1：（分部積分推廣公式）設(shè)函數(shù) u（x），v（x）在定義區(qū)間上有n+1階的各階導(dǎo)數(shù)，則

證明：當(dāng)n＝0時上式即為分部積分公式當(dāng)n≥1時由分部積分公式可得

把上面的n+1個式子從下向上代人就可以得到分部積分法的推廣公式

推論：如果 u（x）是 n 次多項(xiàng)式，v（x）是指數(shù)函數(shù)時，則

證明：令 eax＝v（n＋1）代人到分部積分的推廣公式得

定理 2：設(shè)函數(shù) u（x）是指數(shù)函數(shù)，v（x）是三角函數(shù)時，則

證明：

同理可以證明。

2 應(yīng)用

例1求不定積分 ∫(x2+2x+3)sin2xdx

解：令 u=x2+2x+3，v（n+1）=sin2x

由分部積分推廣公式得

例2求不定積分 ∫(x3+x2+2x)e2xdx

解：令 u=x3+x2+2x，v（n+1）=e2x

由分部積分推廣公式的推論得

3 結(jié)語

以上是筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來的一點(diǎn)心得，如果兩個有n+1階各階導(dǎo)數(shù)的初等函數(shù)中間有對數(shù)函數(shù)或者有反三角函數(shù)等等可以通過變量的代換然后再次用這個推廣公式也是可以的這里就不再詳細(xì)說明。

［1］陳光曙.大學(xué)文科數(shù)學(xué).2版.同濟(jì)大學(xué)出版社,2009.

［2］侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué).2版.高等教育出版社,2003.