土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中柔度矩陣的研究

盧 曦，施維成

(1.江蘇技術(shù)師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州213001;2.常州工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，江蘇 常州213002)

在描述土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系時(shí)，經(jīng)常使用下式:{ dε}=[C]· { dσ}，式中:{dε}為應(yīng)變?cè)隽?［C］為柔度矩陣;{dσ}為應(yīng)力增量。

主應(yīng)力空間中的柔度矩陣［C］第i行第j列的元素Cij表示當(dāng)j方向施加單位應(yīng)力增量，而其它方向應(yīng)力增量為0時(shí)，在i方向所產(chǎn)生的應(yīng)變?cè)隽浚?］。主對(duì)角線元素Cii表示在i方向單向加荷時(shí)該方向上所產(chǎn)生的變形，非主對(duì)角線元素Cij(i≠j)表示在j方向單向加荷時(shí)i方向上所產(chǎn)生的變形。大量試驗(yàn)結(jié)果表明，在單向加荷的應(yīng)力路徑下，加荷向產(chǎn)生壓縮變形［2］，且側(cè)向變形量一般要小于加荷向變形量，所以土的柔度矩陣［C］要滿足主對(duì)角線元素為正和主對(duì)角線元素占優(yōu)勢(shì)這2個(gè)條件［3-4］。殷宗澤等從塑性柔度矩陣主對(duì)角線元素與非主對(duì)角線元素之間的關(guān)系出發(fā)，證明了以經(jīng)典塑性理論為基礎(chǔ)的彈塑性模型的土體應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)岫染仃嚥荒軡M足主對(duì)角線元素應(yīng)占優(yōu)的條件［5］。筆者將從代數(shù)學(xué)角度得出柔度矩陣同時(shí)滿足主對(duì)角線元素為正和主對(duì)角線元素占優(yōu)勢(shì)這2個(gè)條件時(shí)，柔度矩陣行列式的特點(diǎn)。

1 土的柔度矩陣行列式特點(diǎn)

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里研究用主應(yīng)力表示的柔度矩陣［C］，其可寫(xiě)成一個(gè)3×3的矩陣:

在描述土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系時(shí)，［C］需要滿足主對(duì)角線元素為正和主對(duì)角線元素占優(yōu)勢(shì)這兩個(gè)條件，用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示成:

下面探討此時(shí)柔度矩陣［C］的行列式特點(diǎn)。

1.1 行列式非0

將式(3)展開(kāi)并移項(xiàng)可得:

將式(4)等式兩邊取絕對(duì)值，并由絕對(duì)值三角不等式可得:

1.2 行列式大于0

根據(jù)行列式的定義，不妨按［C］的行列式第1行展開(kāi)，可得:

對(duì)不等式(10)、式(11)兩端同時(shí)乘以 -1，可得:

由式(2)可知，柔度矩陣主對(duì)角線元素占優(yōu)時(shí)，有:

由絕對(duì)值三角不等式，并結(jié)合式(12)、式(13)可得:

由式(9)、式(14)、式(15)可知:

而根據(jù)行列式的性質(zhì)，有:

式(16)與式(17)矛盾，故不可能是3者中的最大值。

由式(2)可知，主對(duì)角線元素為正時(shí)，Cii＞0，即主對(duì)角線元素C11＞0，C22＞0，C33＞0。主對(duì)角線元素為正且主對(duì)角線元素占優(yōu)時(shí)，有C22＞，因此:

由絕對(duì)值三角不等式，并結(jié)合式(12)、式(13)可得:

由式(2)可知，柔度矩陣主對(duì)角線元素占優(yōu)時(shí)，有:

結(jié)合式(18)～式(20)，可得:

以上證明過(guò)程顯示，［C］需要滿足主對(duì)角線元素為正和主對(duì)角線元素占優(yōu)勢(shì)這兩個(gè)條件，則其行列式必定大于0。

2 傳統(tǒng)彈塑性模型的塑性柔度矩陣

由以上分析可見(jiàn)，式(21)可以作為評(píng)價(jià)土的本構(gòu)模型合理性的一個(gè)方法。對(duì)于土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系［6］，應(yīng)用研究最為廣泛、最被普遍認(rèn)可的是彈塑性理論，在該理論框架內(nèi)已經(jīng)建立了包括劍橋模型［7］在內(nèi)的很多模型。下面對(duì)傳統(tǒng)彈塑性模型的塑性柔度矩陣［Cp］［8］進(jìn)行分析:

［Cp］的行列式為:

將式(23)進(jìn)行行列式展開(kāi)，可得:

可見(jiàn)，傳統(tǒng)彈塑性模型的塑性柔度矩陣行列式等于0，不能滿足主對(duì)角線元素占優(yōu)的條件，因此基于傳統(tǒng)彈塑性理論建立的本構(gòu)模型在描述土的力學(xué)性質(zhì)時(shí)有其局限性。

3 結(jié)語(yǔ)

土體的力學(xué)性質(zhì)決定了其柔度矩陣要滿足主對(duì)角線元素為正和主對(duì)角線元素占優(yōu)這2個(gè)條件。使用代數(shù)學(xué)方法研究了主應(yīng)力表示的柔度矩陣，證明了這2個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，土的柔度矩陣行列式必大于0。因而，行列式是否大于0就可以作為判斷土的本構(gòu)模型合理性的一個(gè)方法。用這種方法對(duì)傳統(tǒng)彈塑性模型的塑性柔度矩陣進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)彈塑性模型的塑性柔度矩陣行列式等于0，不能滿足主對(duì)角線元素占優(yōu)的條件，在描述土的力學(xué)性質(zhì)時(shí)有其局限性。

［1］張坤勇.考慮應(yīng)力各向異性土體本構(gòu)模型及其應(yīng)用研究［D］.南京:河海大學(xué)，2004:54-55.

［2］施維成，朱俊高，何順賓，等.粗粒土應(yīng)力誘導(dǎo)各向異性真三軸試驗(yàn)研究［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2010，32(5):810-814.SHI Wei-cheng，ZHU Jun-gao，HE Shun-bin，et al.Stress induced anisotropy of coarse-grained soil by true tri-axial tests［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2010，32(5):810-814.

［3］殷宗澤，徐志偉.土體的各向異性及近似模擬［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2002，24(5):547-551.YIN Zong-ze，XU Zhi-wei.Anisotropy of soils and its approximate simulation［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，24(5):547-551.

［4］錢(qián)家歡，殷宗澤.土工原理與計(jì)算［M］.2版.北京:中國(guó)水利水電出版社，1996:73-74.

［5］殷宗澤，盧海華，朱俊高.土體的橢圓-拋物雙屈服面模型及其柔度矩陣［J］.水利學(xué)報(bào)，1996(12):23-28.YIN Zong-ze，LU Hai-hua，ZHU Jun-gao.The elliptic-parabolic yield surfaces model and its softness matrix［J］.Shuili Xuebao，1996(12):23-28.

［6］沈珠江.土的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的合理形式［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，1980，2(2):11-19.SHEN Zhu-jiang.The rational form of stress-strain relationship of soils based on elasto-plasticity theory［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1980，2(2):11-19.

［7］徐舜華，徐光黎，程瑤.土的劍橋模型發(fā)展綜述［J］.長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2007，24(3):27-32.XU Shun-hua，XU Guang-li，CHENG Yao.Review of Cam-Clay model for soils［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2007，24(3):27-32.

［8］殷宗澤，朱俊高，劉漢龍，等.土工原理［M］.北京:中國(guó)水利水電出版社，2007:247-249.