應(yīng)變Si/(001)Si1－xGex電子遷移率*

王曉艷張鶴鳴 宋建軍 馬建立 王冠宇 安久華

應(yīng)變Si/(001)Si1－xGex電子遷移率*

王曉艷1)2)張鶴鳴1)宋建軍1)馬建立1)王冠宇1)安久華1)

1)(西安電子科技大學(xué)微電子學(xué)院，寬禁帶半導(dǎo)體材料與器件重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710071)
2)(寶雞文理學(xué)院電子電氣工程系，寶雞721007)
(2010年8月3日收到;2010年10月16日收到修改稿)

依據(jù)離化雜質(zhì)散射、聲學(xué)聲子散射和谷間散射的散射模型，在考慮電子谷間占有率的基礎(chǔ)上，通過求解玻爾茲曼方程計(jì)算了不同鍺組分下，不同雜質(zhì)濃度時(shí)應(yīng)變Si/(001)Si1－xGex的電子遷移率．結(jié)果表明:當(dāng)鍺組分達(dá)到0.2時(shí)，電子幾乎全部占據(jù)Δ2能谷;低摻雜時(shí)，鍺組分為0.4的應(yīng)變Si電子遷移率與體硅相比增加約64%;對于張應(yīng)變Si NMOS器件，從電子遷移率角度來考慮不適合做垂直溝道．選擇相應(yīng)的參數(shù)，該方法同樣適用于應(yīng)變Si其他晶面任意方向電子遷移率的計(jì)算，為應(yīng)變Si器件、電路的設(shè)計(jì)提供了一定的設(shè)計(jì)依據(jù)．

電子谷間占有率，散射模型，鍺組分，電子遷移率

PACS:72．20．Fr，72．10．－d

1.引言

隨著Si器件特征尺寸減小、集成度和復(fù)雜性的增強(qiáng)，出現(xiàn)了一系列涉及材料、器件物理、器件結(jié)構(gòu)和工藝技術(shù)等方面的新問題．在傳統(tǒng)Si工藝技術(shù)基礎(chǔ)上，為了延續(xù)摩爾定律，需要理論與技術(shù)的創(chuàng)新．Si基(Si，Ge，Si1－xGex)應(yīng)變材料具有帶隙可調(diào)、載流子遷移率高、其應(yīng)用與Si工藝兼容等優(yōu)越的物理特性，已經(jīng)成為高速、高性能小尺寸CMOS器件與集成電路的研究發(fā)展重點(diǎn)［1，2］．

遷移率是應(yīng)變Si材料的重要參數(shù)，對遷移率的研究與能帶結(jié)構(gòu)［3，4］、本征載流子濃度［5］的研究同樣重要，是決定應(yīng)變Si器件電學(xué)特性及衡量器件性能的重要參量．關(guān)于應(yīng)變Si遷移率的計(jì)算多采用Monte Carlo方法［6，7］，本文從導(dǎo)帶散射模型出發(fā)，結(jié)合電子谷間占有率，得到的應(yīng)變Si電子遷移率計(jì)算模型物理過程更加清晰，且計(jì)算過程簡單．該方法同樣可適用于應(yīng)變Si及Si1－xGex其他晶面及晶向電子遷移率的計(jì)算．

2.散射模型

半導(dǎo)體中的散射機(jī)構(gòu)有以下幾種:離化雜質(zhì)散射、晶格振動(dòng)散射(聲學(xué)波和光學(xué)波散射)、谷間散射、中性雜質(zhì)散射、位錯(cuò)散射和載流子之間的相互作用等．由于1)光學(xué)波散射主要存在于離子型半導(dǎo)體如Ⅲ-Ⅴ族化合物半導(dǎo)體中;2)中性雜質(zhì)散射只有在重?fù)诫s半導(dǎo)體中，當(dāng)溫度低時(shí)，晶格振動(dòng)散射和離化雜質(zhì)散射都很微弱的情況下，才起主要作用; 3)位錯(cuò)密度低于104cm－2時(shí)，位錯(cuò)散射并不顯著，現(xiàn)在的半導(dǎo)體Si加工工藝是可以滿足這個(gè)條件的;4)載流子之間的散射只有在強(qiáng)簡并半導(dǎo)體中才顯著，本文研究情況不屬于強(qiáng)簡并的情況．所以研究室溫下應(yīng)變Si的導(dǎo)帶的散射機(jī)理時(shí)，考慮了離化雜質(zhì)散射、聲學(xué)聲子散射(聲學(xué)波晶格振動(dòng)散射)和谷間散射．

碰撞過程中只有動(dòng)能的交換，粒子內(nèi)部狀態(tài)并沒有改變的散射屬于彈性散射，如離化雜質(zhì)散射．另外，在實(shí)際問題處理中，某些類型的晶格散射吸收或發(fā)射聲子的能量較kBT很小，可視為準(zhǔn)彈性散射處理，如聲學(xué)聲子散射．而對于谷間散射所涉及的聲子能量在室溫下與kBT有相同數(shù)量級(jí)，因此這種散射必須作為非彈性散射處理．

2.1.彈性散射

對于彈性散射，在弛豫時(shí)間近似中，玻爾茲曼分布等式中的碰撞項(xiàng)可以表示為受擾分布函數(shù)除以弛豫時(shí)間τ，

f0是平衡態(tài)的Fermi-Dirac分布函數(shù)，f是非平衡態(tài)的分布函數(shù)．(1)式的廣義表達(dá)式可以寫成躍遷概率和非平衡態(tài)分布函數(shù)的表達(dá)式，即

Ω為晶體的體積，k態(tài)的電子分布函數(shù)為fk，而k'態(tài)的電子分布函數(shù)為fk'．k態(tài)到k'態(tài)的躍遷概率為pkk'，k'態(tài)到k態(tài)的躍遷概率為pk'k，且pk'k等于pkk'，單位時(shí)間內(nèi)k態(tài)到k'態(tài)的躍遷概率可表示為

為普朗克常數(shù)，δ(Ek'－Ek)函數(shù)當(dāng)Ek'=Ek時(shí)為1，其他情況下為0，此函數(shù)把能量守恒條件明顯地表示出來．對于彈性散射，散射過程中的能量變化與電子的平均能量相比較小，這種情況下，可認(rèn)為初態(tài)和末態(tài)的電子平均能量相等，即Ek'=Ek．(3)式中的矩陣元Hk'k可以表示為

H'是微擾哈密頓量，Φk是k態(tài)電子波函數(shù)，Φ*k'是k＇態(tài)電子波函數(shù)Φk'的虛部．

(2)式不做進(jìn)一步的近似，沒有辦法得到解析解．在小的擾動(dòng)(也就是低場的情況)情況下，非平衡態(tài)的分布函數(shù)可以表示為平衡態(tài)分布函數(shù)和一級(jí)擾動(dòng)分布函數(shù)，對于彈性散射，初態(tài)和末態(tài)的分布函數(shù)近似，假設(shè)散射過程是各向同性的，則初態(tài)和末態(tài)的一級(jí)擾動(dòng)分布函數(shù)之間的比例可以表示為cosθ'，θ'為k'和k之間的夾角，從而可以得到彈性散射動(dòng)量弛豫時(shí)間的倒數(shù)(即散射概率)為

2.2.非彈性散射

對于非彈性散射處理，此時(shí)k'態(tài)到k態(tài)的散射情況，k'=k+q將不同于k'=k－q．非簡并情況下，(2)式變?yōu)?/p>

其中躍遷概率p的下標(biāo)“+”“－”分別表示吸收和發(fā)射聲子．對非彈性散射，不能通過對末態(tài)函數(shù)作近似來求出τ．在Hkk'與q無關(guān)時(shí)，上式中電子分布函數(shù)f(k±q)可通過對q積分化為f0(k)的形式，而從可求出τ．對于谷間散射上述條件滿足，因此可得到動(dòng)量弛豫時(shí)間的倒數(shù)為

式中m*為電子的有效質(zhì)量，“+”表示從k躍遷到k +q吸收聲子ω0，這種情況下積分上下限分別為

其中

“－”表示從k躍遷到k－q發(fā)射聲子ω0，積分上下限為

其中，b=Re(1－ω0/E)1/2，Re表示取實(shí)部，由此知在E＜ω0時(shí)發(fā)射項(xiàng)為0．由積分得到非彈性散射動(dòng)量弛豫時(shí)間的倒數(shù)(即散射概率)為

2.3.散射模型

對于彈性散射，通過求解矩陣元Hk'k，進(jìn)而求解躍遷概率為pkk'，代入(5)式，采用BH模型［8］，可以得到離化雜質(zhì)散射的散射概率為

式中，kB為玻爾茲曼常數(shù)，T為熱力學(xué)溫度，ε0為真空介電常數(shù)，ε為Si的相對介電常數(shù)，ni為離化雜質(zhì)濃度，E為電子的能量．

同樣的方法，根據(jù)(5)式可得到聲學(xué)聲子散射的散射概率為縱彈性模量cL=ρv2s，ρ為硅晶體的密度，vs為聲子速度，Ξ為電子的形變勢常數(shù)，取值為6.25 eV［9］．

對于非彈性散射，根據(jù)(11)式，可以求得谷間散射概率為

其中，Zfi為末態(tài)等價(jià)能谷數(shù)目，ωi為谷間聲子角頻率，Di為谷間散射形變勢常數(shù)，Ni為聲子的數(shù)目，ΔEfi為初態(tài)與末態(tài)能谷之間的能量差．(14)式中最后一個(gè)括號(hào)中的“+”“－”分別表示吸收和發(fā)射聲子，前面括號(hào)中的“－”和“+”號(hào)分別與能量項(xiàng)的“+”“－”對應(yīng)，是兩種情況下對應(yīng)的聲學(xué)聲子數(shù)目．需要注意的是，式中有效質(zhì)量的取值是末態(tài)能谷的有效質(zhì)量．

對于Si的Δ型谷，有g(shù)型和f型兩種類型的谷間聲子．g型谷間散射指電子由某一能谷散射到同一坐標(biāo)軸上相對應(yīng)的另一能谷中;f型谷間散射指電子從該能谷散射到其余的一個(gè)能谷中去．能夠參與散射的聲子的種類決定于選擇定則．f型谷間散射和g型谷間散射各有3種，分別是:f1即TA (transverse-acoustic，橫聲學(xué)支)，f2是LA(longitudinal-acoustic，縱聲學(xué)支)，f3是TO(transverse-optical，縱光學(xué)支)，g1是TA(transverse-acoustic，橫聲學(xué)支)，g2是LA(longitudinal-acoustic，縱聲學(xué)支)和g3是LO(longitudinal-optical，縱光學(xué)支)．使用零階轉(zhuǎn)換矩陣，選擇定則只允許f2，f3和g3三種聲子散射［10］，其形變勢常數(shù)和對應(yīng)的能量ωi的取值見表1．

對于非應(yīng)變情況，g型散射的末態(tài)等價(jià)能谷數(shù)目Zf=1，f型散射Zf=4．應(yīng)變情況下，對于Δ2來說，g型散射的末態(tài)等價(jià)能谷數(shù)目Zf=1，f型散射Zf=4;對于Δ4能谷來說，g型散射末態(tài)等價(jià)能谷數(shù)目Zf=1，等效能谷間的f型散射(除g型散射外的Δ4能谷之間的散射)Zf=2，非等效能谷間的f型散射(Δ4能谷到Δ2能谷之間的散射)Zf=2．

聲子數(shù)目Ni遵循玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，其表達(dá)式為

Δ2能谷與Δ4能谷之間的能量差為［12］

3.遷移率的計(jì)算及仿真結(jié)果

3.1.遷移率計(jì)算模型

從前面公式可以看出，散射概率跟電子的動(dòng)能E有關(guān)，因?yàn)殡娮拥乃俣炔皇浅?shù)，所以E也是變值．因此，通過對能量E進(jìn)行積分，來求解平均動(dòng)量弛豫時(shí)間〈τ〉，

Ec為導(dǎo)帶底的能量，E'c為導(dǎo)帶頂?shù)哪芰?，g(E)為導(dǎo)帶狀態(tài)密度函數(shù)，f(E)為電子的費(fèi)米分布函數(shù)．利用數(shù)學(xué)變換及e指數(shù)的特性，上式可化簡為

根據(jù)上式，分別求出離化雜質(zhì)散射、聲學(xué)聲子散射和谷間散射的平均動(dòng)量弛豫時(shí)間〈τ〉，然后，利用遷移率的計(jì)算公式為電子的電導(dǎo)有效質(zhì)量)可求出其遷移率，總的遷移率與各遷移率的關(guān)系為

其中，μⅡ?yàn)殡x化雜質(zhì)散射引起的遷移率，μac為聲學(xué)聲子散射引起的遷移率，μin為谷間散射引起的遷移率．

設(shè)電子濃度為n，［001］方向的Δ2能谷電子占有率為p，則［100］，［010］方向的Δ4能谷電子占有率各為(1－p)/2，這樣，沿電場E方向的電流密度為

仍令

與(20)式相比，得到

由此可見，能谷對中電子的占有率對遷移率有一定的影響，其表達(dá)式為

其中

本文計(jì)算了常溫，即T=300 K時(shí)的電子遷移率，計(jì)算中需用的基本物理參數(shù)取值如表2．

不同鍺組分下，應(yīng)變Si導(dǎo)帶單個(gè)能谷的電子有效質(zhì)量及態(tài)密度有效質(zhì)量見表3．mΔ2l，mΔ2t，mΔ2分別為Δ2能谷的縱向有效質(zhì)量、橫向有效質(zhì)量和態(tài)密度有效質(zhì)量，mΔ4l，mΔ4tp，mΔ4tv，mΔ4為別為Δ4能谷的縱向有效質(zhì)量、橫向平行有效質(zhì)量、橫向垂直有效質(zhì)量和態(tài)密度有效質(zhì)量．

根據(jù)(23)式，計(jì)算得到Δ2能谷的電子占有率如圖1所示．可以看出，未應(yīng)變情況下，各能谷對的電子占有率相等;隨著鍺組分的增加，Δ2能谷的電子占有率增加，當(dāng)鍺組分達(dá)到0．2時(shí)，電子幾乎全部占據(jù)Δ2能谷．這說明Δ2能谷與Δ4能谷之間的能量差越大，電子越容易占據(jù)能量較低的Δ2能谷．

取電場分別位于和垂直xy平面，如圖2所示，根據(jù)遷移率的公式，應(yīng)變Si/(001)Si1－xGex電子遷移率的計(jì)算結(jié)果如圖3和圖4所示．

圖3和圖4中，“—”線為電場位于xy平面的仿真結(jié)果，“*—”線為電場垂直xy平面的仿真結(jié)果．由圖3可以看出，未應(yīng)變時(shí)，由于各能谷對的電子占有率相同，所以電場位于xy平面的電子遷移率和電場垂直于xy平面的遷移率相差不多，當(dāng)電場位于xy面時(shí)，沿著［110］方向(圖3中極坐標(biāo)為45°)的遷移率較［100］，［010］高約10%，差別不是很大．這是由電子的有效質(zhì)量各向異性引起的．

隨著應(yīng)力增加，當(dāng)電場位于xy平面時(shí)，電子遷移率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電場垂直于xy平面時(shí)的遷移率，如圖4所示為鍺組分為0.05的應(yīng)變Si遷移率．這是由于前者的電導(dǎo)有效質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于后者，同時(shí)電子占據(jù)Δ2能谷的概率增大，如果電場垂直于xy平面，由于其電導(dǎo)有效質(zhì)量較高，電子遷移率會(huì)較未應(yīng)變時(shí)更加減?。妶龃怪庇趚y平面在應(yīng)變Si NMOS器件中即為垂直溝道的情況，所以從電子遷移率方面來考慮，張應(yīng)變Si NMOS器件不適合做垂直溝道．因此，對于電子遷移率與雜質(zhì)濃度之間的關(guān)系只考慮電場位于xy平面的情況，且由于在這個(gè)平面內(nèi)電子的遷移率與電場的方向關(guān)系不是很大，選取電場方向?yàn)閤方向．

體Si電子遷移率與雜質(zhì)濃度之間的關(guān)系如圖5所示．仿真結(jié)果表明，摻雜濃度在1016—4× 1017cm－3時(shí)，電子的遷移率比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［14］要大，這是由于BH模型對離化雜質(zhì)散射引起的遷移率的影響估計(jì)過高．BH模型是基于以下幾點(diǎn):1)屏蔽庫侖勢跟動(dòng)量沒有關(guān)系;2)散射中心之間沒有相互作用;3)一級(jí)玻爾近似;4)雜質(zhì)中心被處理為點(diǎn)電荷．正因?yàn)檫@些假設(shè)，對離化雜質(zhì)的散射影響估計(jì)太低．

當(dāng)摻雜濃度低于1016cm－3時(shí)，離化雜質(zhì)散射引起的遷移率較小，因此對總遷移率的影響不大，而當(dāng)雜質(zhì)濃度大于4×1017cm－3時(shí)，雜質(zhì)離子之間的相互作用增強(qiáng)，會(huì)對電子遷移率會(huì)產(chǎn)生一定的影響．當(dāng)雜質(zhì)濃度高于1018cm－3時(shí)，如文獻(xiàn)［8］所言，由于簡并的發(fā)生，BH模型不再適用．

應(yīng)變Si電子遷移率與雜質(zhì)濃度之間的關(guān)系如圖6所示．當(dāng)鍺組分為0.4時(shí)，遷移率增強(qiáng)約64%，與文獻(xiàn)［15］所報(bào)道的增強(qiáng)因子1.68接近．當(dāng)鍺組分大于0.2時(shí)，電子幾乎全部占據(jù)Δ2能谷，另外，電子的有效質(zhì)量隨鍺組分的變化不大，因此電子遷移率變化較小．電子遷移率的增加主要是由于Δ2能谷電子占有率的增加和Δ2，Δ4能谷之間能量差變大引起的谷間散射減小．

4.結(jié)論

依據(jù)離化雜質(zhì)散射、聲學(xué)聲子散射和谷間散射的散射模型，在考慮電子谷間占有率的基礎(chǔ)上，計(jì)算了不同鍺組分下，不同雜質(zhì)濃度時(shí)應(yīng)變Si/(001) Si1－xGex的電子遷移率．結(jié)果表明:鍺組分x＜0.2時(shí)，Δ2能谷谷間占有率隨鍺組分的增加而增加，鍺組分達(dá)到0.2時(shí)，所有電子幾乎全部占據(jù)能級(jí)較低的Δ2能谷，此后遷移率的增加幅度不是很大;低摻雜時(shí)，應(yīng)變Si在鍺組分為0.4時(shí)遷移率增加約64%;并且由于Δ2能谷電子占有率的增加，垂直xy平面的電子遷移率由于電導(dǎo)有效質(zhì)量較大而比xy平面的電子遷移率小，因此，對于張應(yīng)變Si NMOS器件，就遷移率而言不適合做垂直溝道器件．

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PACS:72．20．Fr，72．10．－d

*Project supported by the National Ministries and Commisions(Grant Nos．51308040203，9140 A08060407 DZ0103，6139801)． E-mail:wxyswallow7907@163．com

Electron mobility of strained Si/(001)Si Ge*
1－xx

Wang Xiao-Yan1)2)Zhang He-Ming1)Song Jian-Jun1)Ma Jian-Li1)Wang Guan-Yu1)An Jiu-Hua1)
1)(Key Laboratory for Wide Band-Gap Semiconductor Materials and Devices，School of Microelectronics，Xidian University，Xi’an 710071，China)
2)(Department of Electron and Elect
r
icity Engineering，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721007，China)
(Received 3 August 2010;revised manuscript received 16 October 2010)

According to the model of ionized impurity scattering，acoustic phonon intravalley scattering and optical phonon intervalley scattering，the dependences of electron mobility of strained Si/(001)Si1－xGexwith different germanium constituents on impurity concentration are studied based on Subband occupation by solving Boltzmann equation．The results show that electrons almost totally occupy theΔ2valley when germanium constituent is up to 0.2，and the mobility with germanium constituent 0.4 is 64%higher than that of the unstrained silicon at low impurity concentration;and vertical channel is not so good for tensile stained Si devices．The model can also be used to calculate the electron mobility of other crystal face with an arbitrarily orientation if the parameters are correctly chosen，so the model offers some useful foundation for strained silicon devices and circuits．

subband occupancy，scattering model，germanium constituent，electron mobility

*國家部委項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):51308040203，9140 A08060407 DZ0103，6139801)資助的課題．

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