在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力

徐國(guó)安

（武警警官學(xué)院 四川 成都 610213）

數(shù)學(xué)常被形象地稱為“思維的體操”，數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心。因此，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，積極培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是我們每一位數(shù)學(xué)教師的職責(zé)。但是，由于現(xiàn)行教學(xué)大綱要求高，學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，課時(shí)少、內(nèi)容多的矛盾讓教師注重的只是單一的知識(shí)傳授，忽視了思維品質(zhì)的培養(yǎng)；注重了解題技巧的訓(xùn)練，忽視了思維能力的訓(xùn)練，造成了學(xué)生知識(shí)的增長(zhǎng)與思維能力發(fā)展不同步的狀態(tài)。要全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)迫在眉睫，勢(shì)在必行。下面結(jié)合本人的工作實(shí)際，就幾種常用的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)談幾點(diǎn)個(gè)人看法。

1 通過概念教學(xué)，提高抽象思維能力

高等數(shù)學(xué)的概念教學(xué)是本學(xué)科教學(xué)的基礎(chǔ)工程。在高數(shù)的概念教學(xué)中，抽象思維占有相當(dāng)大的比重，即使是以形象思維表述的內(nèi)容最終形式還是抽象思維的產(chǎn)物。

概念的形成與概括包含了許多復(fù)雜的思維活動(dòng)與數(shù)學(xué)發(fā)展過程，在教學(xué)中不僅要重視概念的理解，解決“是什么”的問題，而且還應(yīng)解決“是怎樣想到與形成的”。在概念教學(xué)中要下功夫去剖析概念的內(nèi)涵與外延。下定義是揭示內(nèi)涵的邏輯方法,要通過下定義使學(xué)生獲得關(guān)于概念所反映的對(duì)象具有的共同本質(zhì)屬性。比如通過求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的位移，曲邊梯形的面積這兩類具體問題的演示，可以發(fā)現(xiàn)通過任意分割、近似計(jì)算、求和、取極限四個(gè)步驟完美地解決了實(shí)際問題，產(chǎn)生了微元法的思想，引入了定積分的概念。通過定義的教學(xué),要使學(xué)生明確定積分是一個(gè)特殊的和式極限?！胺指睢斌w現(xiàn)了所求量在區(qū)間上具有可加性,“近似”是關(guān)鍵,表示所求量在每一個(gè)小區(qū)間上可以用近似來代替,后兩步給出了所求量的精確值,揭示了概念的本質(zhì)屬性。特殊的和式極限存在是核心,只有該極限存在才稱函數(shù)在區(qū)間上可積，進(jìn)而指出定積分是個(gè)數(shù)值,最后給予幾何解釋以形象思維加深理解。這樣,通過教學(xué)不僅明確了定積分所指的對(duì)象及本質(zhì)屬性,而且為定積分的應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

概念教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生在各類現(xiàn)象間建立聯(lián)系的能力，分離出問題的核心和實(shí)質(zhì)的能力，由特殊到一般的能力，從非本質(zhì)的細(xì)節(jié)中使自己擺脫出來的能力，把本質(zhì)的與非本質(zhì)的東西區(qū)分開來的能力，善于把具體問題抽象為數(shù)學(xué)模型的能力。

2 通過一題多解、一題多變，一法多用來提高發(fā)散思維能力

我們都很重視把知識(shí)正確地、全面地傳授給學(xué)生，可是僅僅如此是否就夠了?在課堂上我們認(rèn)真地、嚴(yán)格地對(duì)每一個(gè)定理加以證明，對(duì)每一個(gè)公式給以推導(dǎo)，卻往往忽略了采用這樣的證明和推導(dǎo)方法的原因。在講例題時(shí)，把解題過程寫得很詳細(xì)，卻不太重視解題的思維過程。造成學(xué)生只注意單純模仿，而缺乏獨(dú)立分析問題的能力，遇到新問題時(shí)往往束手無策。要克服教學(xué)中這些缺陷，就應(yīng)隨時(shí)地、自覺地注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。思維的靈活性，具體地講就是根據(jù)客觀條件發(fā)展變化及時(shí)改變思維過程、尋求新的解題途徑。首先抓好發(fā)散思維的訓(xùn)練，通過一題多解、一題多變、一法多用，來訓(xùn)練思維的靈活性，其次是抓好思維起點(diǎn)和思維過程的靈活性，制定考慮問題的總體方向，善于隨機(jī)應(yīng)變，轉(zhuǎn)換策略。

解數(shù)學(xué)題，就是在于探索問題的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，通過已有的知識(shí)體系，不同的人選擇不同的對(duì)接路徑，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。一題多解是從同一題設(shè)中，探求不同的思維過程，它要求思維方向發(fā)散于不同的方面，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和廣闊性。一題多解對(duì)于開闊視野、開發(fā)智力、啟迪思維都大有裨益。通過多題演算，加深對(duì)問題的理解，逐步掌握常用解題方法與基本解題規(guī)律，不斷提高分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通的本領(lǐng)。例如求空間立體的體積，可以利用定積分，也可以利用重積分，還可以利用高斯公式等。

通過一題多解、一題多變、一題多用、多題一法”的變式教學(xué)能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，因而能產(chǎn)生主動(dòng)參與的動(dòng)力，保持其參與教學(xué)過程的興趣和熱情?！耙活}多解，達(dá)到熟悉；多解歸一，挖掘共同本質(zhì)；多題歸一，歸納思考規(guī)律。“一題多解、“一題多變”的訓(xùn)練，通過觀察、分析、歸納、聯(lián)想、類比等方法讓學(xué)生從多個(gè)角度多個(gè)方面以各種觀點(diǎn)去分析思考，擴(kuò)充思維領(lǐng)域，從多渠道尋求解題途徑，探索解題方法，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性和創(chuàng)造性的目的。教師要善于挖掘和選取高等數(shù)學(xué)中知識(shí)點(diǎn)與題目中的發(fā)散素材，確定恰當(dāng)?shù)陌l(fā)散對(duì)象或選取發(fā)散點(diǎn)，適度地把發(fā)散思維的培養(yǎng)貫穿于平時(shí)的教學(xué)之中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

3 通過逆推法、反證法、舉反例，提高逆向思維能力

逆向思維是從已有的習(xí)慣思路的反方向去思考和分析問題，是擺脫思維定勢(shì)，突破舊思想，產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式。逆向思維在數(shù)學(xué)方法上主要表現(xiàn)為逆推法，是以待解決的問題為出發(fā)點(diǎn)，逐步往前分析遞推，最終達(dá)到問題解決的思路的推理方法，這種推理方法有助于在一堆表面上看似錯(cuò)綜復(fù)雜、毫無聯(lián)系的已知條件中準(zhǔn)確有效地找到解決問題的突破口。

逆向思維對(duì)于學(xué)生深入認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)有著重要作用，在高等數(shù)學(xué)中有著較多的應(yīng)用。例如，函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與可微是互為充要條件，可微函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)函數(shù)一定可積；但是，連續(xù)函數(shù)未必可微，可積函數(shù)未必連續(xù)。而正如我們所熟知的，對(duì)于“連續(xù)性”、“可微性”“可積性”等概念的明確區(qū)分在數(shù)學(xué)發(fā)展史中具有十分重要的地位。這種引導(dǎo)學(xué)生從不同方向思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、反問，在教學(xué)中有意識(shí)地反過來去思考研究其逆問題，一方面有助于對(duì)相關(guān)概念的更深刻理解，另一方面有助于提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

高等數(shù)學(xué)中提供了大量可逆的素材，互為逆否命題、互逆定理、互逆公式、互逆運(yùn)算、互逆變換、互逆證法等。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生不僅能正確地進(jìn)行正向思維，而且還能靈活地運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行逆向思維解決相應(yīng)的問題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和從正向思維到逆向思維的轉(zhuǎn)換能力。逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和多向性，它是擺脫思維定勢(shì)，突破舊有思維框架，產(chǎn)生新思維，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式。

此外，在高等數(shù)學(xué)中存在大量的反例，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了它的具體內(nèi)容，要舉出不同層次數(shù)學(xué)對(duì)象的反例需要很高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。尋求反例的過程既需要數(shù)學(xué)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的積累，也要發(fā)揮諸如觀察與比較、聯(lián)想與猜想、邏輯與直覺、逆推、反設(shè)、反證以及歸納計(jì)算構(gòu)造等一系列辨證的互補(bǔ)的逆向思維方法。

4 通過數(shù)學(xué)建模，提高創(chuàng)新思維能力

高等數(shù)學(xué)具有較高的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到枯燥無味，許多學(xué)生認(rèn)識(shí)不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。由于數(shù)學(xué)建模過程是社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、生活當(dāng)中的實(shí)際問題經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化、抽象而形成數(shù)學(xué)公式、方程、函數(shù)式或幾何問題等，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的過程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主，教師利用一些事先設(shè)計(jì)好的問題啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料學(xué)習(xí)新知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，形成一個(gè)生動(dòng)活潑的環(huán)境和氣氛。教學(xué)過程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個(gè)環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)。它強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識(shí)的能力，是解決問題的過程，而不是知識(shí)與結(jié)果。如在極值課題中可以通過數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型中最優(yōu)經(jīng)濟(jì)決策的選擇、國(guó)民經(jīng)濟(jì)計(jì)劃的確定、經(jīng)濟(jì)靜態(tài)平衡與動(dòng)態(tài)平衡模型的建立，得出解決最優(yōu)化問題的主要數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)規(guī)劃，即多變量約束情況下如何尋求一個(gè) X（X＝X1，X2…Xn）使某個(gè)（或n個(gè)）函數(shù)在該處達(dá)到極大值或極小值。在微分課題中，可以將微分思想引入到自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程技術(shù)中。

當(dāng)然高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中除了培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、發(fā)散思維、逆向思維、創(chuàng)新思維能力以外，還可以提高形象思維、邏輯思維、歸納、類比思維等其它思維能力。這些能力對(duì)學(xué)生以后的工作、生活有著很大的影響，掌握好了可以受用終生。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，這是每位教師的一個(gè)長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù)，需要我們?cè)诮虒W(xué)過程中不斷地摸索，不斷地總結(jié)，不斷地實(shí)踐。

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，編.高等數(shù)學(xué).北京:高等教育出版社,2006.

［2］姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社,1993,8.