基于逆繞射拋物方程法的輻射源定位技術(shù)研究

李德鑫 楊日杰 王鴻吉 蔣志忠

（1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，山東 煙臺(tái)264001；2.空軍哈爾濱飛行仿真技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱150001）

1.引 言

輻射源無(wú)源定位技術(shù)是電子戰(zhàn)的一個(gè)重要組成部分，無(wú)論是傳統(tǒng)的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)電子偵察，還是電子干擾，都離不開(kāi)利用目標(biāo)輻射源的信號(hào)或外輻射源的信號(hào)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位。目前的無(wú)源定位系統(tǒng)采用的基本技術(shù)有到達(dá)角（AOA，Angle of Arrival）定位技術(shù)、到達(dá)時(shí)差（TDOA，Time Difference of Arrival）定位技術(shù)、到達(dá)頻差（FDOA，F(xiàn)requency Difference of Arrival）定位技術(shù)，以及聯(lián)合定位技術(shù)等[1－2]。受環(huán)境因素影響，傳統(tǒng)的定位算法對(duì)于復(fù)雜環(huán)境非合作輻射源信號(hào)的來(lái)波方向、傳播時(shí)間、距離等參數(shù)的估計(jì)將會(huì)變得十分復(fù)雜。

拋物方程法是一種前向全波法，能夠處理垂直與水平方向上介質(zhì)非均勻分布的環(huán)境，可方便地用于分析地形起伏變化、地表電磁特性變化及傳播空間媒質(zhì)折射率變化等條件下的電波傳播問(wèn)題[3－4]。澳大利亞Spencer等人在此基礎(chǔ)上提出了逆繞射拋物方程定位系統(tǒng)（IDPELS，Inverse Diffraction Parabolic Wave Equation Localization System），能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)雜環(huán)境下的輻射源定位，在實(shí)測(cè)中具有很好的收斂效果[5－6]。

傳統(tǒng)的IDPELS沒(méi)有考慮遠(yuǎn)距離、大范圍的輻射源定位、誤差橢圓、電磁剖面取值方法等問(wèn)題，限制了該方法的實(shí)際應(yīng)用。本文將在理想大氣輻射源定位的基礎(chǔ)上，對(duì)一個(gè)和兩個(gè)輻射源在標(biāo)準(zhǔn)大氣、地形遮蔽條件下的定位問(wèn)題進(jìn)行分析，對(duì)定位誤差、數(shù)據(jù)點(diǎn)取值、誤差橢圓的繪制等問(wèn)題進(jìn)行研究。

2.逆繞射拋物方程法

設(shè)電磁場(chǎng)時(shí)諧因子為e－ikx，標(biāo)量ψ表示電磁場(chǎng)分量，k為真空中傳播常數(shù)，n為折射指數(shù)，直角坐標(biāo)系（x，y，z）下，假設(shè)ψ與y無(wú)關(guān)，即大氣沿水平方向均勻分布，只隨距離（x軸）和高度（z軸）變化，則水平極化波中只有Ey為非零電場(chǎng)分量（ψ（x，z）＝Ey（x，z）），垂直極化波中只有Hy為非零磁場(chǎng)分量（ψ（x，z）＝Hy（x，z））。電波傳播過(guò)程中，ψ（x，z）滿(mǎn)足以下二維標(biāo)量波動(dòng)方程。

定義沿x軸正向傳播的衰減函數(shù)為

將式（2）代入式（1），并作適當(dāng)近似即可得到高度－距離空間的二維標(biāo)量拋物方程，采用Feit－Fleck近似法[7]，得到 Feit－Fleck型拋物方程

采用Leontovich邊界條件[8]，視地海面為光滑理想邊界。將 Cosine－taper（Tukey）窗函數(shù)[9]作為計(jì)算域的上邊界，利用分步傅立葉變換（SSFT，Split－step Fourier transform）算法求解得

式中：ae為地球半徑。定義反映路徑上障礙物的繞射效應(yīng)，N＝ eik（n－2＋z/ae）Δx反映傳播媒介的折射效應(yīng)，對(duì)于不規(guī)則地形條件N＝eik（n－2＋z/a＋z·?2T/?x2）Δx. e

拋物方程法是已知發(fā)射源初始場(chǎng)求解電波的空間分布；逆繞射拋物方程法與之相反，是由遠(yuǎn)場(chǎng)某一觀測(cè)區(qū)域的場(chǎng)分布出發(fā)，求解電波的逆繞射問(wèn)題，由于輻射源初始場(chǎng)是收斂的，從而可估計(jì)發(fā)射源的位置信息。電波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，部分能量向空中輻射或被媒質(zhì)和傳播邊界吸收導(dǎo)致?lián)p耗，且拋物方程是對(duì)橢圓型波動(dòng)方程忽略后向傳播的前向近似，因此無(wú)法對(duì)電波傳播完全求逆。但是當(dāng)邊界條件已知時(shí)，該算法具有很好的收斂性。

對(duì)式（4）做逆函數(shù)推導(dǎo)可得電波傳播的逆繞射拋物方程公式為

式（5）中的初始場(chǎng)u（x0，z）與式（4）中的不同，為遠(yuǎn)場(chǎng)截獲的某一區(qū)域的場(chǎng)分布。

用逆繞射拋物方程模型計(jì)算水平極化條件下，電磁波在光滑海面上視距傳播時(shí)的場(chǎng)分布特性。Leontovich邊界條件中，海水介電常數(shù)εr＝80，海水導(dǎo)電率σ＝4 S/m；其它仿真條件，輻射源1高度z0＝300 m，電波頻率f＝1 GHz，高斯方向圖，天線(xiàn)增益35 dB，天線(xiàn)3 dB帶寬為3.5°，觀測(cè)距離為30 km.輻射源2高度z0＝100 m，電波頻率f＝1.8 GHz，高斯方向圖，天線(xiàn)增益29.5 dB，天線(xiàn)3 dB帶寬為3°，觀測(cè)距離為20 km.海面上為理想均勻大氣n＝1。

圖1（a）為輻射源1的逆繞射場(chǎng)強(qiáng)分布圖，圖1（b）為場(chǎng)強(qiáng)等高線(xiàn)圖。圖中u為折射脊線(xiàn)（主要由折射場(chǎng)分量疊加而成），v為反射脊線(xiàn)（主要由海面反射場(chǎng)分量疊加而成），A（x＝30000，z＝300.79）為場(chǎng)強(qiáng)極大值點(diǎn)亦為兩條測(cè)向線(xiàn)的收斂點(diǎn)，即算法的估值點(diǎn)。由于算法步長(zhǎng)（Δz≈1.6 m）的影響，對(duì)于高度z的估算產(chǎn)生了誤差。由圖1可以看出理想條件下算法具有很好的收斂性和估值精度。

圖2為兩個(gè)輻射源的場(chǎng)強(qiáng)分布圖和等高線(xiàn)圖，共有兩個(gè)收斂點(diǎn)（20000，100.31），（29600，299.35）；由于兩個(gè)輻射源相互干涉，對(duì)于輻射源1的距離估算產(chǎn)生了誤差。由圖2可以看出，對(duì)于兩個(gè)輻射源的定位問(wèn)題，算法仍具有很好的收斂性。

3.數(shù)據(jù)點(diǎn)的選取

選取觀測(cè)位置垂直剖面上的一組場(chǎng)分布數(shù)據(jù)作為觀測(cè)數(shù)據(jù)，在實(shí)際情況下，大范圍數(shù)據(jù)點(diǎn)的獲取需要大型天線(xiàn)和平臺(tái)的大范圍機(jī)動(dòng)（如車(chē)載[5－6]或機(jī)載），并獲取重點(diǎn)區(qū)域的電磁數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)點(diǎn)的取值范圍及選取的位置會(huì)對(duì)定位造成誤差，以標(biāo)準(zhǔn)大氣條件下對(duì)輻射源1的定位為例，數(shù)據(jù)點(diǎn)的選取區(qū)域如圖3所示，橢圓圈定的垂直剖面為觀測(cè)數(shù)據(jù)，仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)由上下兩邊界向中點(diǎn)遞減（圖中標(biāo)出了1024和512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的取值區(qū)域），對(duì)于不同數(shù)據(jù)點(diǎn)情況下算法的估計(jì)值如表1所示。

數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為1024時(shí)，由于大氣折射的影響，折射定位線(xiàn)給估值帶來(lái)了誤差，同時(shí)由于海面反射的干涉和疊加，使得對(duì)于高度z的估計(jì)有較大的誤差。數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為512時(shí)，由于截取數(shù)據(jù)點(diǎn)距海面較遠(yuǎn)，受海面反射效應(yīng)的影響減弱，對(duì)于z估計(jì)的精度提高；但由于精度較高的電波直線(xiàn)傳播數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的減少，對(duì)于距離x的估計(jì)誤差增加。中部數(shù)據(jù)點(diǎn)所含位置信息相類(lèi)似，減少數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目對(duì)于估值并沒(méi)有太大的影響，體現(xiàn)出算法具有很好的穩(wěn)定性。算法的誤差在32個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)開(kāi)始急劇增加，小于16點(diǎn)時(shí)，算法失效。數(shù)據(jù)點(diǎn)的選取與輻射源的高度和觀測(cè)距離有關(guān)，隨著觀測(cè)距離的增加受海面反射影響逐步減弱，但同時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)所含位置信息也在減少。

表1 單個(gè)輻射源不同數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的估計(jì)值

兩個(gè)輻射源定位的數(shù)據(jù)點(diǎn)選取情況與單個(gè)輻射源定位時(shí)相類(lèi)似，不同之處在于，兩個(gè)輻射源之間的干涉和疊加會(huì)對(duì)彼此的定位造成誤差。輻射場(chǎng)范圍較小的輻射源由于完全包含在大范圍輻射源的輻射場(chǎng)中，受干涉影響其誤差相對(duì)較大。對(duì)于輻射場(chǎng)范圍較大的輻射源，選取干涉臨界點(diǎn)以上的數(shù)據(jù)點(diǎn)會(huì)提高其定位精度，但同時(shí)會(huì)降低輻射場(chǎng)范圍較小的輻射源定位精度。兩個(gè)輻射源數(shù)據(jù)點(diǎn)選取與輻射源的高度、電波傳播仰角、觀測(cè)距離有關(guān)。需要指出的是，算法僅能解決不相干輻射源的多點(diǎn)定位問(wèn)題，對(duì)于相干輻射源，由于輻射場(chǎng)之間相互干擾，導(dǎo)致算法失效。

對(duì)于大氣折射的特殊情況——大氣波導(dǎo)，由于其形成具有區(qū)域性、不均勻和不確定性，對(duì)于非合作輻射源的定位，很難估算大范圍波導(dǎo)的真實(shí)折射和陷獲情況。常見(jiàn)的大氣波導(dǎo)陷獲角一般很小，電波異常傳播的區(qū)域一般局限在貼海面較低區(qū)域，為獲取較高精度的估值，應(yīng)盡量選取遠(yuǎn)離波導(dǎo)區(qū)域的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

因此，關(guān)于數(shù)據(jù)點(diǎn)的選取，應(yīng)選擇盡量遠(yuǎn)離海面反射的較高區(qū)域，同時(shí)盡可能多的獲得位置信息含量高的數(shù)據(jù)點(diǎn)，以提高定位精度。

4.誤差橢圓

對(duì)于定位誤差，可利用誤差橢圓來(lái)說(shuō)明定位區(qū)域和收斂范圍。圖4中，定義u為折射脊線(xiàn)，v為反射脊線(xiàn)，A為輻射源真值點(diǎn)，O為估算的收斂點(diǎn)，θ為u、v的交角，γ為v、x的交角，E1、E2為測(cè)向線(xiàn)誤差。

圖4 定位誤差分析

式（6）為uOv坐標(biāo)系下的橢圓，與xOy坐標(biāo)系的變換公式為

其中：

將式（7）代入式（6）即可獲得直角坐標(biāo)系下的誤差橢圓公式。

對(duì)于地球表面大氣條件下的輻射源定位問(wèn)題，按照國(guó)際電訊聯(lián)盟（ITU－R）[10]規(guī)定的對(duì)流層標(biāo)準(zhǔn)大氣條件?n/?h≈－40×10－6計(jì)算折射指數(shù)n，對(duì)單個(gè)輻射源和兩個(gè)輻射源的定位情況進(jìn)行仿真，其余仿真條件與理想大氣情況相同。繪制定位區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)等高線(xiàn)圖，圖5為表1中512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)情況；圖6為兩個(gè)輻射源1024個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)情況；圖7為兩個(gè)輻射源選取靠近上邊界的512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)情況（注意與圖5取值區(qū)域不同）。

圖5～6中“＊”為算法的估值點(diǎn)，“Δ”為輻射源真實(shí)位置，由兩圖可以看出，誤差橢圓隨著估計(jì)誤差的增大面積隨之增大，能夠反映出收斂域的面積、方向等信息，很好地說(shuō)明了估值點(diǎn)與真值點(diǎn)的關(guān)系，直觀顯示出算法的收斂區(qū)域和定位精度。

需要說(shuō)明的是，圖5～7繪制的是場(chǎng)強(qiáng)等高線(xiàn)圖，由于折射、反射疊加效應(yīng)的影響，折射脊線(xiàn)與反射脊線(xiàn)不再是圖1中理想情況下的等高線(xiàn)，而是一條收斂帶中各區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)極大值疊加而成的收斂線(xiàn)（由于各極值不相等，故不再是一條等高線(xiàn)），三維圖可以很好地顯示出這種收斂的趨勢(shì)。

如前文所述，由于兩個(gè)輻射源間的相互干涉和疊加，對(duì)各自的定位估值帶來(lái)了較大的誤差。圖5與圖6中關(guān)于輻射源1的定位估值點(diǎn)分別為（29500，296.16）和（29400，278.65），相應(yīng)的誤差橢圓面積與方向有所不同，誤差橢圓面積隨誤差增加而增大，橢圓的傾角說(shuō)明定位值的誤差朝向；圖6輻射源2的定位值為（19900，85.98），該輻射源的輻射區(qū)域完全被輻射源1覆蓋，由反射折射疊加帶來(lái)的誤差較大，驗(yàn)證了前文的論述。

圖7為兩個(gè)輻射源512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)的定位情況，其余仿真條件與圖6相同，此處的數(shù)據(jù)點(diǎn)由于選取上部的512個(gè)點(diǎn)，剔除了受海面反射影響較為強(qiáng)烈的下部數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此，定位線(xiàn)收斂性強(qiáng)，定位效果較好。兩個(gè)輻射源的定位值分別為（29400，283.43），（19600，101.91），與圖6的定位值相比，高度估值精度有較大提高；但是由于剔除掉了部分?jǐn)y有反射距離信息的數(shù)據(jù)點(diǎn)，受折射效應(yīng)的影響，距離誤差有所增加。兩個(gè)輻射源相互間的干涉影響主要體現(xiàn)在海面反射效應(yīng)上，上述仿真實(shí)驗(yàn)中，輻射源2高度較低，觀測(cè)數(shù)據(jù)中由于海面反射效應(yīng)的混疊導(dǎo)致誤差增加，因而定位誤差增大。

5.地形遮蔽條件下的輻射源定位

對(duì)流層電波傳播中，不規(guī)則地形是影響電波傳播特性的另一主要因素，可利用類(lèi)似正弦包絡(luò)形狀的不規(guī)則地形分析地形遮蔽對(duì)定位算法的影響。地形模型為

式中：h為包絡(luò)的最大高度；x1為包絡(luò)半高程所在的距離；w為包絡(luò)的半寬度。仿真設(shè)定值，地形1為h＝600 m，x1＝20000 m，w＝1000 m；地形2為h＝200 m，x1＝10000 m，w＝1000 m（此處設(shè)定值是相對(duì)于觀測(cè)區(qū)域而定）。

標(biāo)準(zhǔn)大氣條件下，受地形遮蔽影響的兩個(gè)輻射源輻射場(chǎng)分布如圖8所示，此處為地形1，其它仿真條件與圖6相同。利用逆繞射拋物方程法的場(chǎng)分布圖如圖9所示。

依前例，“＊”為算法的估值點(diǎn)，“Δ”為輻射源真實(shí)位置；由圖9可以看出，在地形遮蔽條件下，算法仍有很好的收斂性。圖10中，受地形遮蔽影響，下部分觀測(cè)值的信息損失很大，對(duì)于輻射源1的定位值為（29400，277.06），與圖6的精度相當(dāng)，輻射源2的位置信息損失過(guò)大，無(wú)法定位。

輻射源定位精度與地形最大高度有關(guān)，一般情況下當(dāng)山峰的高度高于輻射源天線(xiàn)3 dB帶寬角所能達(dá)到的最大視距高度時(shí)，定位精度將會(huì)急劇變差，直至算法失效。圖9中，山峰的高度高于3 d B帶寬角所能達(dá)到的最大視距高度，低于電波傳播的最大仰角視距高度，定位失效。

圖10為圖9的等高線(xiàn)場(chǎng)分布圖，兩圖山峰位置處均有一個(gè)明顯的劈尖，利用該劈尖信息可以估算地形的最大高度。因此，當(dāng)輻射源位置已知情況下，該算法還可應(yīng)用于地形的估算。

圖11為地形2條件下的局部等高線(xiàn)場(chǎng)分布圖，兩個(gè)輻射源的定位值分別為（29600，277.06）和（19900，82.80），由定位誤差橢圓可以看出，算法在較低山峰遮蓋下的定位精度與標(biāo)準(zhǔn)大氣條件下相當(dāng)，體現(xiàn)了算法的穩(wěn)定性和實(shí)用性。

6.結(jié) 論

在理想大氣輻射源定位的基礎(chǔ)上，對(duì)一個(gè)和兩個(gè)輻射源在標(biāo)準(zhǔn)大氣、地形遮蔽條件下的定位問(wèn)題進(jìn)行了分析，研究了定位誤差、數(shù)據(jù)點(diǎn)取值、誤差橢圓繪制等問(wèn)題，提高了算法的定位精度，擴(kuò)大了算法的應(yīng)用范圍。

逆繞射拋物方程法可對(duì)遠(yuǎn)距離、大范圍復(fù)雜條件下的電波傳播進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)非合作輻射源進(jìn)行定位，對(duì)未知地形進(jìn)行估算，具有很好的應(yīng)用前景。

逆繞射拋物方程法有著自身的缺陷，需要觀測(cè)大范圍的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)來(lái)保證估值的精度，進(jìn)而需要大型天線(xiàn)和平臺(tái)的大范圍機(jī)動(dòng)來(lái)保障。算法的收斂性與計(jì)算步長(zhǎng)有關(guān)，步長(zhǎng)越小估值精度越高，但是算法的復(fù)雜度隨之增加，計(jì)算時(shí)間增大，實(shí)時(shí)性變差。

后續(xù)的工作應(yīng)當(dāng)包括數(shù)據(jù)點(diǎn)選取建模、誤差概率統(tǒng)計(jì)及動(dòng)態(tài)海面、雜波、復(fù)雜地形條件下的建模，以期在最佳高度、距離觀測(cè)最少的數(shù)據(jù)點(diǎn)獲得較高的定位精度，提高算法的適用性和穩(wěn)定性。

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