一種基于Arnold 置亂的FRFT數(shù)字圖像水印方法

高寧寧，楊文考

（北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京100044）

隨著網(wǎng)絡(luò)化、信息化進(jìn)程的不斷加速，對數(shù)字產(chǎn)品版權(quán)保護(hù)的要求也日益迫切。因此，有關(guān)數(shù)字水印的研究發(fā)展迅速，王永杰、常志國均在無損數(shù)字水?。ㄒ卜Q為可逆水?。┓矫孀隽艘欢ǖ难芯浚謩e提出了具有自恢復(fù)和篡改定位能力的可逆數(shù)字水印方案及大容量可逆水印算法[1~2]。張峰、穆曉敏等人提出了在FRFT域內(nèi)Chirp類數(shù)字水印盲檢測算法[3]，其水印采用二維Chirp信號，算法實(shí)現(xiàn)了水印的盲檢測。F.Q.YU等人選取二維分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的中頻系數(shù)作為水印添加區(qū)域，以一維chirp信號作為水印，進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了算法的魯棒性[4]。華北電力大學(xué)張兆祥則提出了一種基于FRFT和紋理特征的數(shù)字水印算法，仿真證明了該算法具有很好的不可見性和魯棒性[5]。

作為信息隱藏領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，數(shù)字水印技術(shù)在數(shù)字產(chǎn)品版權(quán)保護(hù)、認(rèn)證與篡改舉證、秘密通信與特征標(biāo)記等方面均有重要應(yīng)用[6]。數(shù)字水印技術(shù)是將水印信息嵌入到圖像、音頻、視頻等數(shù)字載體中，成為可見或不可見的標(biāo)志。常用的水印嵌入算法是基于空域和變換域，在現(xiàn)代圖像處理技術(shù)中，通常用到的變換有離散傅里葉變換（DFT）、離散余弦變換（DCT）、離散小波變換（DWT）等。2001年，I.Djurovic等人提出了基于離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的數(shù)字水印技術(shù)[7]。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FRFT）在時頻平面上具有旋轉(zhuǎn)特性和角度連續(xù)性，加之變換角度提供的自由度，使之兼有空域和頻域的特性，可將水印分散到載體圖像的多個參數(shù)中，有利于保證水印的不可見性、保密性和魯棒性。此外，F(xiàn)RFT的階次可以作為檢測水印的密鑰，從而提高水印的安全性。

1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FRFT）

1.1 FRFT定義

一維連續(xù)信號s(t)的p階FRFT定義為：

其中，Kp(t,u)為變換核。

函數(shù)f(x)的p階FRFT的反變換定義如下：

二維連續(xù)信號s(x,y)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義為：

其中，px,py分別為橫軸和縱軸方向的變換階數(shù)，Kpx,py(x,y,u,v)是二維FRFT的變換核。

1.2 DFRFT

在工程上，必須采用離散形式的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（DFRFT），DFRFT的計算復(fù)雜度與快速傅立葉變換（FFT）具有可比性，若序列有效長度為N，則其計算量為O(Nlog2N)。

二維離散信號f(p,q)的DFRFT及其反變換定義為：

其中，（α,β）為二維DFRFT的階數(shù)，Kα,β(p,q,m,n)=Kα○Kβ是變換核，Kα，Kβ為一維DFRFT的變換核。

利用矩陣的特征值和特征向量來計算DFRFT，這種方法保持了連續(xù)FRFT的特征值—特征函數(shù)的關(guān)系，克服了特征值與特征向量不匹配的缺點(diǎn)。這種計算方法可以得到與連續(xù)FRFT相近的輸出結(jié)果，其計算復(fù)雜度為O(N2)。本文采用特征值和特征向量的計算方法。

從運(yùn)營投入指標(biāo)來看，機(jī)構(gòu)16、機(jī)構(gòu)15、機(jī)構(gòu)18的運(yùn)營投入冗余率皆超過了10%，其中機(jī)構(gòu)16冗余率最高，為21.95%，運(yùn)營投入冗余率最低的為機(jī)構(gòu)1，運(yùn)營投入冗余率為6.5%。

2 基于FRFT的數(shù)字水印嵌入和提取算法

2.1 水印預(yù)處理

本文采用灰度圖像作為水印信號，具有一定的標(biāo)記意義。因?yàn)橹苯忧度朐撍⌒盘柌焕谛畔㈦[藏，從而降低信息安全性，因此本文采用Arnold置亂對水印進(jìn)行預(yù)處理。置亂變換技術(shù)通常作為一種加密的手段應(yīng)用在水印的預(yù)處理中，將一幅有意義的圖像經(jīng)置亂變換變成一幅雜亂無章的圖像。在不知道置亂算法和密鑰的情況下，攻擊者無法恢復(fù)出水印，從而達(dá)到二次加密的目的。

此外，利用Arnold置亂對水印進(jìn)行預(yù)處理，可以降低水印圖像受到攻擊時信息的損壞或丟失，對提取的水印進(jìn)行反置亂處理，損壞或丟失會分散到整幅圖像中，從而減少對人眼視覺的影響，相應(yīng)地提高水印的魯棒性。Arnold置亂還具有周期性，所以可以找到一個相對的最佳置亂次數(shù)，并將其作為水印提取時的密鑰。

Arnold置亂[9]定義如下：

其中，x,y為原始空間像素點(diǎn)的坐標(biāo)，x',y'為經(jīng)過迭代運(yùn)算置亂后像素點(diǎn)的坐標(biāo)，N為圖像方陣的大小，也稱為階數(shù)。利用式（7），經(jīng)過多次迭代運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)圖像和矩陣的置亂變換。

本文對水印的預(yù)處理中，選取置亂次數(shù)為8，得到的置亂后的水印及恢復(fù)的水印仿真結(jié)果如圖1。

2.2 水印嵌入

圖1 水印的Arnold置亂及恢復(fù)

本文選擇將水印信息嵌入到FRFT后的幅度譜中，為保證水印不可見性和魯棒性的統(tǒng)一，選擇將水印嵌入到DFRFT的中頻系數(shù)。不選擇圖像的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)的原因在于，通常圖像的低頻系數(shù)較大，集中了大部分能量，如果被修改將影響水印的不可感知性，使圖像失真明顯。而高頻系數(shù)則容易受到傳輸過程中一些處理帶來的影響，如低通濾波和JPEG壓縮。水印嵌入框圖如圖2。

水印的嵌入步驟如下：

圖2 水印嵌入框圖

（1）選取大小為32×32的二值水印圖像，進(jìn)行Arnold置亂預(yù)處理。

（2）對載體圖像I進(jìn)行2D-DFRFT變換，選取變換階數(shù)為（α,β），得到變換后的系數(shù)矩陣F(u,v)，將該系數(shù)矩陣分解為幅度部分A(u,v)和相位部分P(u,v)的乘積。

（3）將置亂后的水印降為一維水印序列W'。

（4）選擇A(u,v)中間部分的L個較大系數(shù)Si作為顯著分量，將（3）中的一維水印信息序列疊加在這些顯著分量上，得到新的幅度部分A'(u,v)，嵌入方式為：

其中，λ為水印嵌入強(qiáng)度。

（5）將上述新的幅度部分A'(u,v)與原相位部分P(u,v)組合得到新的系數(shù)矩陣的矩陣F'(u,v)。最后經(jīng)過階數(shù)為（－α,－β）的逆分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，得到嵌入水印后的水印圖像，即：

2.3 水印提取

水印提取過程即為上述過程的逆過程。首先對水印圖像進(jìn)行階次為（α,β）的分?jǐn)?shù)

階傅立葉變換，將系數(shù)矩陣分解為幅度部分和相位部分的乘積。對幅度部分的中間L個系數(shù)進(jìn)行判斷得到置亂后的水印信息，最后經(jīng)過Arnold反置亂得到提取出的水印信息。

3 仿真試驗(yàn)及分析

本文采用MATLAB7.0進(jìn)行仿真，試驗(yàn)中取大小為256×256的灰度圖像為原始圖像，采用32×32的二值圖像作為原始水印，試驗(yàn)中取Arnold置亂次數(shù)為8，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階數(shù)為（0.85，0.5），水印嵌入強(qiáng)度λ為0.15。

3.1 嵌入水印的視覺效果評價

嵌入水印后的圖像質(zhì)量可以由峰值信噪比（PSNR）來評價，一般用PSNR來衡量嵌入水印后的圖像的失真程度。

其中，I為原圖像灰度值，I'為嵌入水印后的圖像灰度值，M為原圖像灰度值的最大值。PSNR值越高，原始圖像失真程度越小，視覺評價效果越好。

采用本文方法，得到的水印圖像峰值信噪比為PSNR=39.21 dB。從圖3可以看出，原始圖像在嵌入水印后，在視覺效果上基本沒有失真，具有良好的保真性和不可見性。

圖3 原始水印與嵌入水印后的水印圖像

為了對比效果，本文又依次采用了基于LSB變換、DWT變換及DCT變換的方法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，從仿真結(jié)果得知，本文方法不僅在運(yùn)行時間上具有一定的優(yōu)勢，且在視覺效果上具有更好的保真性。

3.2 抗攻擊性分析

為了驗(yàn)證本文算法的魯棒性，分別對水印圖像在JPEG壓縮、噪聲干擾、濾波、圖像剪切等幾種典型的攻擊下進(jìn)行了仿真分析。

提取的水印與原水印的失真程度通常用相關(guān)系數(shù)來度量，歸一化的相關(guān)系數(shù)（NC）定義為：

其中，w為原水印，v為提取的水印，水印的大小為M●N。當(dāng)NC大于一定值時，則表明可以有效地提取水印信號。

圖4與表1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對嵌入水印的圖像進(jìn)行JPEG壓縮、噪聲干擾、濾波以及圖像剪切等各種攻擊，都能有效地提取水印，具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖4 原始水印與提取的水印圖像

表1 各種攻擊下的水印魯棒性測試

4 結(jié)束語

本文將分?jǐn)?shù)階傅里葉變換與數(shù)字水印技術(shù)相結(jié)合，提出了一種基于Arnold置亂的FRFT域數(shù)字圖像水印方法。仿真結(jié)果表明，水印具有良好的不可見性和魯棒性，能夠很好地抵抗各種常見的圖像攻擊，如JPEG壓縮、圖像剪切、噪聲和濾波等。同時，對水印的Arnold置亂預(yù)處理將有意義的灰度圖像水印經(jīng)置亂變換變成一幅雜亂無章的圖像，使得水印信息更好地隱藏起來，提高了信息安全性。

[1] 王永杰. 無損數(shù)字水印技術(shù)研究[D] . 北京：北京交通大學(xué)，2006.

[2] 常志國. 可逆水印與圖像保護(hù)技術(shù)研究[D] . 上海：上海交通大學(xué)，2009.

[3] 張峰，穆曉敏，楊守義，齊 林. 基于FRFT盲檢測Chirp類數(shù)字水印算法[J] . 計算機(jī)工程與應(yīng)用，2006（27）：57-61.

[4] Yh.F.Q,Zhang. Z. K, Xu. M. H. A Digital Watermarking Algorithm for Image Based on Fractional Fourier Transform[J] .Singapore: 2006 IST IEEE Conference On Industrial Electronics and Applications，Vols l-3 2006: 1441-1445.

[5] 張兆祥. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的數(shù)字水印算法研究[D] .北京：華北電力大學(xué)，2007。

[6] 章春娥，裘正定. 信息隱藏與數(shù)字水印技術(shù)[J] . 鐵路計算機(jī)應(yīng)用，2001，10（12）:3-6.

[7] I.Djurovic，S.Stankovic，I.Pitas. Digital Watermarking in the Fractional Fourier Transformation Domain[J] . Journal of Network and Computer Applications，2001，24（2）:167-173.

[8] L.B.Almeida. The Fractional Fourier Transform and Timefrequency Representations[J] . IEEE Trans. Signal Processing，1994（11）：3084-3091

[9] Lingling Wu, Jianwei Zhang, Weitao Deng, Dongyan He. Arnold Transformation Algorithm and Anti-Arnold Transformation Algorithm[J] . Information Science and Engineering (ICISE),2009 1st International Conference on Digital Object Identifier，2009 : 1164 - 1167