基于Kriging代理模型的主軸箱穩(wěn)健設計

陳永亮，劉 雙，王漢濤，張 健，顧佩華

(1. 天津大學機械工程學院，天津 300072 2. 汕頭大學工學院，汕頭 510063)

機械機構的材料特性、結構參數(shù)以及所受載荷等的不確定性將導致其性能產(chǎn)生波動．為進一步提高機械結構的性能，需要引入穩(wěn)健設計方法[1-3]，達到既提高產(chǎn)品質(zhì)量，又可降低成本的目的．

分析性穩(wěn)健設計方法[4-6]是一種分析研究系統(tǒng)穩(wěn)健性的方法，設計者可以根據(jù)產(chǎn)品的功能需求，建立不確定因素、設計參數(shù)以及結構特性與產(chǎn)品功能特性之間的映射關系，對系統(tǒng)敏感性進行分析，并且按照所提供的優(yōu)化模型對系統(tǒng)進行穩(wěn)健優(yōu)化設計，從而得到穩(wěn)健的產(chǎn)品設計方案．不僅如此，該理論能夠建立相應的穩(wěn)健靈敏性矩陣，這就使系統(tǒng)敏感性問題得以量化解決．

分析性穩(wěn)健設計需要有明確的公式來反映功能需求及性能約束與設計變量之間的關系，對于簡單問題可以直接得到解析公式，而復雜工程問題難以直接建立公式，則須通過“采樣-試驗-擬合”的方式來構造代理模型(也稱元模型，近似模型)．代理模型技術主要包含2方面的內(nèi)容：①構造模型的樣本點如何選取，這與代理模型的取樣策略有關，屬于試驗設計的范圍；②數(shù)據(jù)擬合與預測模型的建模，這是代理模型的主體，在數(shù)學上屬于近似方法的范圍．所有代理模型的建模都是圍繞這2方面內(nèi)容展開的，如響應曲面模型、徑向基函數(shù)、Kriging模型和非參數(shù)雙響應曲面法[7]等．

Kriging模型是一種估計方差最小的無偏估計模型，它通過相關函數(shù)的作用，具有局部估計的特點，可對區(qū)域化變量求最優(yōu)、線性、無偏內(nèi)插估計值，具有平滑效應及估計方差最小的統(tǒng)計特征．由于Kriging建模技術可以提供最佳的無偏差預測法，所以它作為近似確定計算機模型越來越受到歡迎．同時，基于Matlab的Kriging工具箱——DACE[8]的開發(fā)，為使用Kriging提供極大的方便．目前Kriging模型已經(jīng)成為多學科設計優(yōu)化中比較有代表性的一種代理模型近似方法． Kriging方法已被廣泛用于許多近似模擬確定的計算機模型響應．謝延敏[9]在其博士論文中將Kriging模型和灰色關聯(lián)分析應用于板料成形工藝穩(wěn)健優(yōu)化設計中；瓦西姆拉扎和光永金[10]用Kriging建模技術對線裝燃料組件進行形狀優(yōu)化；黃風立等[11]將關聯(lián)度和 Kriging代理模型應用于注塑成型的穩(wěn)健設計中；高月華等[12]將雙重Kriging 代理模型和多點加點準則結合進行穩(wěn)健優(yōu)化設計．

本文主要研究基于Kriging代理模型的分析性穩(wěn)健設計方法，采用 Kriging代理模型法，開發(fā)基于DACE的符號計算功能，擬合動靜剛度對各個設計變量的關系公式，建立方差穩(wěn)健設計模型，并進行穩(wěn)健性分析和優(yōu)化，最后以數(shù)控圓柱內(nèi)齒輪銑齒機主軸箱穩(wěn)健設計為例進行驗證．

1 Kriging代理模型與分析性穩(wěn)健設計集成過程

如圖1所示，利用代理模型進行穩(wěn)健設計首先需要根據(jù)設計要求確定設計參數(shù)(各個結構尺寸等)及響應變量(變形、質(zhì)量、頻率等)，建立參數(shù)化有限元模型．然后設計正交試驗，得到各組試驗對應的響應值后，便可建立 Kriging代理模型．利用代理模型求解各個響應變量的均值及方差，構建穩(wěn)健性分析模型，這是穩(wěn)健設計的關鍵．進而可以進行穩(wěn)健優(yōu)化獲取優(yōu)化解．當然，最終的優(yōu)化解需要多次重復以上過程并對比結果才能得到．由于最終的解是利用擬合公式(代理模型)優(yōu)化而來，并不一定能很好地反映實際模型在最優(yōu)值處的情況，所以最后需要對優(yōu)化解進行有限元驗證，驗證結果與優(yōu)化結果相差較大時，須重新設計正交試驗，或提高擬合公式的精度．

由于所建立的代理模型公式表達式的復雜性，利用 DACE工具箱和自行開發(fā)的分析性穩(wěn)健設計工具箱，已實現(xiàn)上述過程的有機集成．

圖1 基于Kriging模型的分析性穩(wěn)健設計流程Fig.1 Flow chart of analytical robust design based on Kriging model

1.1 參數(shù)化有限元模型及正交試驗

設 X為設計參數(shù)向量，X =[x1, x2,… ,xn]；設Y為響應參數(shù)向量，Y =[y1, y2,… , yn]T．

根據(jù)正交試驗原理，采用均勻采樣的方式將所有設計參數(shù)分為若干水平，組合得到若干組試驗，然后利用建立好的參數(shù)化模型進行有限元計算，得出每組試驗對應的響應值．

設正交試驗組合中總樣本個數(shù)為 n， Xi、 Yi(i=1 ,2,…,n )分別表示第 i個樣本的變量參數(shù)和響應值，則 Xs=[X1, X2, … ,Xn]T、Ys=[Y1, Y2,… ,Yn]T表

示全體樣本的變量集合和響應值集合.

1.2 Kriging代理模型

當系統(tǒng)的響應參數(shù)只有 1個時，此處假設為 y，Kriging模型的表達式為

式中：()?y x為要估計的未知函數(shù)；f(x)是已知的回歸模型，本文采用二階多項式函數(shù)；γ?為一常數(shù)矩陣；β? 為回歸模型多項式的系數(shù)．r(x)是通過量化采樣點與高斯相關點的相關性創(chuàng)建的一個局部偏差；R是一個相關矩陣．

在 Matlab環(huán)境下通過定義符號變量，利用DACE工具箱對正交試驗得到的試驗數(shù)據(jù)進行處理，即可得到基于Kriging代理模型的響應參數(shù)和設計參數(shù)之間的擬合公式．

1.3 模型精度檢驗

精度檢驗是判斷代理模型是否可信的關鍵，若精度滿足要求，則該代理模型可以替代原優(yōu)化模型中的精確分析模型；否則需要修改試驗設計，更換近似技術，或者調(diào)整設計變量、設計范圍等，重新構建代理模型．

檢驗代理模型精度時，可以取設計空間中除建立代理模型用到的樣本點以外的其他一些樣本點作為檢驗點，計算相對均方根誤差R，根據(jù)R值的大小判斷模型精度是否滿足要求，R值越小，模型精度越高．

R的計算公式為

式中：yi和y?i分別為設計空間上各點的真值和響應面的估計值；nt為設計空間上檢驗點的數(shù)量．

1.4 考慮噪聲變量的分析性穩(wěn)健設計模型

將代理模型代入式(3)和(4)，即可得到待設計模型功能需求的均值、方差及靈敏度，進而可以建立方差穩(wěn)健設計模型為

式中：0f為功能需求 f的期望值；[g]為約束函數(shù)g的允許值；,lbid 、,ubid 分別表示第 i個設計變量的下限和上限．

穩(wěn)健設計模型建好以后，采用優(yōu)化算法對穩(wěn)健設計模型進行優(yōu)化求解．

1.5 穩(wěn)健優(yōu)化結果的有限元驗證

用所得的穩(wěn)健優(yōu)化解作為設計參數(shù)值代入?yún)?shù)化模型重建，并進行有限元分析，將所得響應值與穩(wěn)健優(yōu)化所得值進行校對，有限元驗證值與優(yōu)化結果相差較大時，需重新設計正交試驗，或提高擬合公式的精度，進而重新進行穩(wěn)健設計．

2 主軸箱穩(wěn)健設計實例

2.1 主軸箱的參數(shù)化有限元分析模型

高速銑齒機床主軸箱[1]是機床的關鍵部件，孔系緊湊，結構較復雜，受載不均勻．主軸箱體結構的靜、動態(tài)特性及其參數(shù)優(yōu)化等是機床設計的關鍵，它們直接影響整機的靜剛度和動態(tài)特性．主軸箱結構及與工件的位置關系如圖2所示．圖2中L1為主軸箱橫梁長度，L2為主軸箱豎梁長度，DW為齒輪毛坯內(nèi)孔直徑，HW為毛坯壁厚，BW為毛坯厚度．

圖2 主軸箱外形尺寸及與工件的幾何關系Fig.2 Dimensions of the headstock and its geometry relation with the workpiece

圖3(a)為橫梁截面，外壁和內(nèi)壁厚度分別為b0、b1，兩內(nèi)壁之間間隙為 d1，截面寬度為 B，高度為 H1．圖 3(b)為豎梁截面，外壁和內(nèi)壁厚度分別為 b0、b2，兩內(nèi)壁之間間隙為d2，截面寬度為B，高度為H2．

圖3 梁截面Fig.3 Beam sections

根據(jù)以上對主軸箱結構的分析，選取橫梁高度、豎梁高度、外壁厚度、內(nèi)壁厚度以及梁寬度為設計變量，如表 1所示．彈性模型 E為噪聲變量，E＝2.0×105,MPa，其標準差為 6,000．設計變量和噪聲變量統(tǒng)一定為設計參數(shù)．X方向變形δx(μm)、Z方向變形δz(μm)、質(zhì)量 m(kg)以及一階固有頻率 f0(Hz)為響應參數(shù)．

表1 設計變量Tab.1 Design variables

2.2 正交試驗

將各個變量參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)劃分為4個水平，如表2所示，并組合為4水平正交表L32(49)可得32組試驗．

表2 變量參數(shù)的4個水平劃分Tab.2 Four-level variable demacration

每次取4水平正交表L32(49)中的一組變量參數(shù)，在ansys中建立主軸箱的有限元模型，施加邊界條件和載荷，經(jīng)有限元計算后可得到32組試驗結果．

綜上所述，相較于常規(guī)骨科護理模式，在骨科護理中應用臨床護理路徑效果極好，有利于縮短患者的住院時間，提高患者的健康知識掌握程度，降低患者的并發(fā)癥發(fā)生幾率，患者的護理滿意度更高。所以臨床護理路徑可以在骨科臨床護理上推廣應用。

2.3 主軸箱代理模型建立及其精度檢驗

以 32組試驗數(shù)據(jù)為樣本點，利用自行開發(fā)的Robust Design 穩(wěn)健設計軟件中的 DACE模塊構建Kriging代理模型．選用二次回歸函數(shù) regpoly2，高斯校正函數(shù)corrgauss(如圖4所示)進行計算，即可構建δx、δz、m 及 f1的擬合公式.

式中ε表示校正項．

圖4 穩(wěn)健設計軟件的DACE模塊Fig.4 DACE module of the robust design software

另選取 4水平表(表 2)中各個元素相鄰元素之間的數(shù)建立3水平表，如表3所示．

表3 變量參數(shù)的3個水平劃分Tab.3 Three-level variable demacration

建立L18(37)正交表，將各組試驗值代入式(6)～式(9)，并重新進行有限元分析，對比二者結果．根據(jù)式(2)求得相對均方根誤差為

可見，各個響應變量的代理模型相對均方根誤差最大為5.89%，滿足工程問題的精度要求．

2.4 多目標穩(wěn)健優(yōu)化設計模型的建立

根據(jù)設計要求，設定主軸箱的x方向和z方向變形為功能需求，以功能需求的方差為目標函數(shù)，功能需求期望值為等式約束，主軸箱的質(zhì)量固有頻率和結構布局為性能約束，建立多目標穩(wěn)健優(yōu)化模型為

2.5 穩(wěn)健優(yōu)化及結果分析

設定 2個目標函數(shù)的權重分別為 0.8、0.2，代入穩(wěn)健優(yōu)化模型，借助自行開發(fā)的穩(wěn)健設計軟件進行穩(wěn)健優(yōu)化．穩(wěn)健優(yōu)化迭代曲線如圖 5所示，從圖中可看出優(yōu)化收斂性良好．

優(yōu)化結果如表 4所示．優(yōu)化解使得主軸箱在滿足基本性能約束的條件下，滿足了基本功能需求，即使變形穩(wěn)定在一個固定值上，且功能需求的方差最?。€(wěn)健優(yōu)化的目的還在于降低功能需求對各個設計變量的靈敏度，從而降低加工成本．

圖5 優(yōu)化迭代曲線Fig.5 Optimized iteration curve

表4 優(yōu)化結果Tab.4 Optimization results

圓整分析值是將優(yōu)化值圓整后重新進行穩(wěn)健分析而來的結果，對比發(fā)現(xiàn)，圓整后結果的穩(wěn)健性基本未發(fā)生變化，可以將此組圓整值視為最終的優(yōu)化值應用．

圖6為穩(wěn)健設計軟件界面，軟件采用模塊化思想，按功能分為數(shù)據(jù)編輯模塊、項目管理模塊、穩(wěn)健處理模塊、數(shù)據(jù)交換模塊和DACE模塊等．以上表格中的變量數(shù)據(jù)及優(yōu)化結果數(shù)據(jù)均可以在數(shù)據(jù)編輯區(qū)中直接查詢讀?。?/p>

圖6 穩(wěn)健設計軟件界面Fig.6 Interface diagram of the robust design software

2.6 優(yōu)化結果中性能變量的有限元驗證

噪聲變量值取 E＝2×105,MPa，設計變量取優(yōu)化結果的圓整值，重新構建有限元分析模型進行分析，得性能變量驗證值．比較穩(wěn)健優(yōu)化與有限元驗證所得性能變量結果，如表5所示．

表5 穩(wěn)健優(yōu)化結果的有限元驗證Tab.5 Finite element validation of robust optimization results

由表5可以看出，優(yōu)化值處以δx的誤差最大，為7.268%．根據(jù)設計要求，設計結果與實際偏差滿足要求，可作為最終結果應用到實際工程中去．

3 結 論

(1) 建立了基于Kriging代理模型的分析性穩(wěn)健設計方法，即“確定參數(shù)-正交試驗-代理模型-穩(wěn)健優(yōu)化-驗證”的設計過程．利用 DACE工具箱和自行開發(fā)的分析性穩(wěn)健設計工具箱，已實現(xiàn)上述過程的有機集成．

(2) 基于Kriging代理模型建立了考慮噪聲變量的多目標分析性穩(wěn)健設計模型．

(3) 基于Kriging代理模型的主軸箱分析性穩(wěn)健優(yōu)化結果表明，各個響應變量的代理模型最大相對均方根誤差5.89%；優(yōu)化結果在滿足各個性能約束的基礎上，使得功能需求方差最?。?/p>

(4) 有限元驗證結果表明基于 Kriging代理模型-分析性穩(wěn)健設計方法可以得到與實際情況吻合的穩(wěn)健分析及優(yōu)化結果．

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