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    Maximal Flow在京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)管理中的應(yīng)用

    2011-07-24 09:36:34王佳
    統(tǒng)計(jì)與決策 2011年22期
    關(guān)鍵詞:交通網(wǎng)絡(luò)徑路標(biāo)號(hào)

    王佳

    (燕山大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,河北秦皇島 066004)

    0 引言

    京津冀經(jīng)濟(jì)圈是繼珠三角和長(zhǎng)三角之后中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的第三大引擎,經(jīng)濟(jì)發(fā)展的活力日益增強(qiáng)。同時(shí),京津冀經(jīng)濟(jì)圈公路網(wǎng)絡(luò)運(yùn)輸能力和服務(wù)水平的不斷提升,對(duì)增強(qiáng)北京、天津、河北等核心城市的輻射帶動(dòng)作用,縮小地區(qū)與城鄉(xiāng)差別,促進(jìn)區(qū)域經(jīng)濟(jì)一體化發(fā)揮了重要作用。京津冀三地交通一體化已建立了良好的基礎(chǔ),基本形成了六條跨省市綜合運(yùn)輸大通道,即:以京滬高速公路為主干的京滬網(wǎng)絡(luò)體系;以京沈高速公路為主干的京沈網(wǎng)絡(luò)體系;以京珠高速公路為主干的京廣網(wǎng)絡(luò)體系;以京銀公路國(guó)道為主干的京蘭網(wǎng)絡(luò)體系;以京珠公路國(guó)道為主干的京九網(wǎng)絡(luò)體系;以石太高速公路為主干的石太網(wǎng)絡(luò)體系。但隨著京津冀經(jīng)濟(jì)圈經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展,本區(qū)域的公路交通系統(tǒng)已出現(xiàn)超飽和狀態(tài),已不能滿足甚至滯后于經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,怎樣與區(qū)域經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展直至拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)者們共同關(guān)注的焦點(diǎn)問(wèn)題。本文正是從這一角度出發(fā),利用網(wǎng)絡(luò)Maximal Flow(最大流)定理研究如何充分利用京津冀公路交通系統(tǒng)的配置能力,以取得最大的通行能力,確保完成本區(qū)域經(jīng)濟(jì)的暢通快速發(fā)展。

    1 京津冀經(jīng)濟(jì)圈公路交通網(wǎng)絡(luò)的通行能力

    1.1 超飽和狀態(tài)

    京津冀經(jīng)濟(jì)圈出口公路通行能力不足的矛盾日益突出,京津冀核心城市間交通壓力不斷增大,連接主要城市、服務(wù)主要經(jīng)濟(jì)發(fā)展走廊的干線公路通行能力嚴(yán)重不足,津冀60%以上的干線公路,北京市70%以上的干線公路常年處于擁擠狀態(tài)(見表1)。2005年全國(guó)年均交通擁擠程度為0.44,2006年降為0.4,2007年為0.42,2008年減為0.39,2009年減到0.37,而同一時(shí)間段內(nèi)的京津冀經(jīng)濟(jì)區(qū)單國(guó)道網(wǎng)交通擁擠度就已超過(guò)0.6,這種狀態(tài)一直到現(xiàn)在都沒(méi)有較大的改觀;交通京津塘高速公路最大客流量已超過(guò)13萬(wàn)輛,已達(dá)設(shè)計(jì)車流量的2.6倍,路段常年處于超飽和狀態(tài);旅游公路服務(wù)水平不高,休閑旅游勝地張家口和承德四級(jí)以下公路的比重分別占到61%和58%。京津冀經(jīng)濟(jì)圈交通網(wǎng)絡(luò)通行能力的嚴(yán)重受阻,已對(duì)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生了很大的負(fù)面影響。

    表1 京津冀公路國(guó)道網(wǎng)年交通通行情況表 (當(dāng)量標(biāo)準(zhǔn)小客車)

    1.2 節(jié)點(diǎn)間連通狀態(tài)差

    公路網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間連通狀態(tài)用平均徑路長(zhǎng)來(lái)衡量,也是統(tǒng)計(jì)節(jié)點(diǎn)間聯(lián)系難易程度的主要方法。其基本思路是:網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間如存在直接連線,記為1,沒(méi)有直接連線記為0,一對(duì)節(jié)點(diǎn)間的距離用沿最短路徑所介入的連線數(shù)表示,任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的行總數(shù)是根據(jù)距離量度而得出的其通達(dá)度量度,本交通網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的平均徑路長(zhǎng)是由行總數(shù)除以行內(nèi)正值節(jié)點(diǎn)數(shù)計(jì)算得出的。行總數(shù)值或平均徑路長(zhǎng)值越小,表明本節(jié)點(diǎn)的連通狀態(tài)越好,反之連通狀態(tài)越差。繼而得出行總數(shù)值或平均徑路長(zhǎng)值最小的節(jié)點(diǎn)就是本交通網(wǎng)絡(luò)的中心點(diǎn)。

    表2 京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)代碼

    表3 京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)連通狀態(tài)矩陣

    從表3中可以看出,京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)平均徑路長(zhǎng)為2.08(注:理想的交通網(wǎng)絡(luò)里每個(gè)旅游交通節(jié)點(diǎn)平均徑路長(zhǎng)為1),表明連通性不理想。其中V1點(diǎn)(北京)平均徑路長(zhǎng)為1.58,是京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)中連通狀態(tài)最好的節(jié)點(diǎn),成為該網(wǎng)絡(luò)的中心;V2(天津)、V7(石家莊)平均徑路長(zhǎng)為1.83,是本交通網(wǎng)絡(luò)中連通狀態(tài)較好的節(jié)點(diǎn);而V6(秦皇島)、V11(邢臺(tái))、V13(邯鄲)節(jié)點(diǎn)連通狀態(tài)明顯較差。這就表明京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)體系通達(dá)度有待提高,在提高每個(gè)節(jié)點(diǎn)承載量與通行量的基礎(chǔ)上,急需擴(kuò)大節(jié)點(diǎn)之間的連通性與聯(lián)貫性。

    2 Maximal Flow理論

    2.1 基本思想

    1955年,T.E.哈里斯在研究鐵路最大通量時(shí)首先提出在一個(gè)給定的網(wǎng)絡(luò)上尋求兩點(diǎn)間最大運(yùn)輸量的問(wèn)題。1956年,L.R.Ford福特和D.R.Fulkerson富克遜等人給出了解決這類問(wèn)題的算法,從而建立了網(wǎng)絡(luò)流理論。管道網(wǎng)絡(luò)中每邊的最大通過(guò)能力即容量是有限的,實(shí)際流量也并不一定等于容量,此問(wèn)題就是要討論如何充分利用現(xiàn)有配置條件使網(wǎng)絡(luò)具有最大的流量能力,以取得最好的效果,這就是現(xiàn)今意義上的最大流問(wèn)題。

    定義1:設(shè)有向連通圖G(V,E),在V中指定一點(diǎn)稱為發(fā)點(diǎn)s,和另一點(diǎn)稱為收點(diǎn)t,其余的稱為中間點(diǎn)?;?arc)集E中每條弧(i,j)上有非負(fù)數(shù)cij稱為這弧的容量,記容量集為c={cij},稱這樣的圖為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。記為G=(V,E,c)。(注:當(dāng)(i,j)不是弧時(shí)cij=0)

    定義2:在弧集E上的弧(i,j)定義一非負(fù)數(shù)fij,稱為弧(i,j)上的流量,流量的集合f={fij}稱為網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)流。稱滿足下列條件的流為可行流:

    (1)容量限制條件:所有的弧的流量fij不大于弧的容量cij,即0≤fij≤cij;

    (2)平衡條件:對(duì)所有的中間點(diǎn),流入的流量和等于流出的流量和,即;發(fā)點(diǎn)流出的總流量F等于流進(jìn)收點(diǎn)的總流量F。最大流問(wèn)題就是求總流量最大的可行流,是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問(wèn)題。它密切了圖論和運(yùn)籌學(xué),開辟了圖論應(yīng)用的新途徑。

    定義3:容量網(wǎng)絡(luò)G,若存在μ為網(wǎng)絡(luò)中從s到t的一條鏈,給μ定向?yàn)閺膕到t,μ上的邊凡與μ同向稱為正向邊,凡與μ反向稱為反向邊,其集合用μ+和μ-表示,f是一個(gè)可行流,如果滿足條件則稱μ為從s到t的一條可增廣鏈。(注:可增廣鏈?zhǔn)菍?shí)際意義:沿著這條鏈從s到t輸送的流量,還有潛力可挖,只需經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,就可以把流量提高,調(diào)整后的流,仍為一新的可行流,其流量比原可行流要大,重復(fù)這個(gè)過(guò)程,直到不存在關(guān)于該流的可增廣鏈時(shí)就得到了最大流,也就尋到了最佳的流量圖網(wǎng)絡(luò)。)

    2.2 解決方法

    解決最大流問(wèn)題的主要方法是Ford-Fulkerson標(biāo)號(hào)法。可分為兩步:第一步是標(biāo)號(hào)過(guò)程,即通過(guò)標(biāo)號(hào)來(lái)尋找可增廣鏈;第二步是調(diào)整過(guò)程,即沿可增廣鏈調(diào)整fij以增加流量。

    2.2.1 標(biāo)號(hào)過(guò)程

    (1)給發(fā)點(diǎn)s以標(biāo)號(hào)(▽,+∞)。

    (2)選擇一個(gè)已標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)vi,對(duì)于vi的所有未給標(biāo)號(hào)的鄰接點(diǎn)vj按下列規(guī)則處理:若邊(vi,vj)∈ E,且fij>0,由則令δj=min(fij,δi),并給vj以標(biāo)號(hào)(-vi,δj);若邊(vi,vj)∈E,且fij< cij時(shí),令δj=min(cij-fij,δi),并給vj以標(biāo)號(hào)(+vi,δj)。

    (3)重復(fù)(2)直到收點(diǎn)t被標(biāo)號(hào)或不再有頂點(diǎn)可標(biāo)號(hào)時(shí)為止。(注:若t得到標(biāo)號(hào),就說(shuō)明存在一條可增廣鏈,轉(zhuǎn)第2步調(diào)整過(guò)程。若t未得到標(biāo)號(hào),標(biāo)號(hào)過(guò)程已無(wú)法進(jìn)行時(shí),說(shuō)明fij已是最大流量。

    2.2.1 調(diào)整過(guò)程

    (2)去掉所有標(biāo)號(hào),回到第1步,對(duì)可行流f'ij重新標(biāo)號(hào)。

    3 實(shí)證分析

    京津冀經(jīng)濟(jì)區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)雖然很暢通,但是每個(gè)節(jié)點(diǎn)間的通行能力已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,如何利用現(xiàn)有的配置能力擴(kuò)大流通量,這將是本文運(yùn)用Maximal Flow(最大流)的基本思想重點(diǎn)解決的問(wèn)題。(京津冀經(jīng)濟(jì)區(qū)13個(gè)城市節(jié)點(diǎn)間的連通網(wǎng)絡(luò)圖如圖1所示)

    截取京津冀交通網(wǎng)絡(luò)中的v1—v6部分(因這段是本經(jīng)濟(jì)區(qū)中交通最繁忙的段落,也是京津冀經(jīng)濟(jì)圈中旅游最發(fā)達(dá)的段落。研究此段交通的最大流問(wèn)題對(duì)京津冀交通網(wǎng)絡(luò)中其他段最具有借鑒意義。)下面用Maximal Flow(最大流)問(wèn)題的Ford-Fulkerson標(biāo)號(hào)法解決此問(wèn)題。(說(shuō)明:每條弧上括號(hào)里的第一個(gè)數(shù)字為cij容量,fij為現(xiàn)通行流量。滿足0≤fij≤cij)

    首先給v1點(diǎn)標(biāo)號(hào)(▽,+∞)。

    檢查v1的鄰接點(diǎn)v2,v3,v5,發(fā)現(xiàn)此三點(diǎn)均滿足(vi,vj)∈ E。給v2以標(biāo)號(hào)(+v1,3),v3以標(biāo)號(hào)(+v1,2),v5以標(biāo)號(hào)(+v1,5)。

    檢查v2點(diǎn)的鄰接點(diǎn)v4,v6,發(fā)現(xiàn)此二點(diǎn)均滿足(vi,vj)∈E。給v4以標(biāo)號(hào)(+v2,2),給v6以標(biāo)號(hào)(+v2,5)。

    V4的接點(diǎn)v6為最終點(diǎn),得以標(biāo)號(hào)(+v4,3)。

    由于v6得以標(biāo)號(hào),說(shuō)明存在一條可增廣鏈:v1-v2-v4-v6(圖3中粗線條邊),所以此標(biāo)號(hào)過(guò)程結(jié)束。進(jìn)入調(diào)整過(guò)程,根據(jù)Maximal Flow中的定義,可知δt=2,從v6點(diǎn)開始按此條可增廣鏈反向調(diào)整。調(diào)整后的可行流見圖4。

    圖1 京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)圖

    圖2 京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)截圖:v1-v6

    重新開始標(biāo)號(hào)過(guò)程,重復(fù)以上步驟。直到標(biāo)號(hào)過(guò)程無(wú)法繼續(xù),而此時(shí)v6點(diǎn)并未得到標(biāo)號(hào),這時(shí)得到最大流F=42。算法結(jié)束。

    可以得出,從v1—v6路段中,最大的交通流量是42萬(wàn)輛,分為4條線路,分別是v1-v5-v6, v1-v3-v4-v6,v1-v2-v4-v6,v1-v2-v6。其中v1-v5-v6段流通流量未達(dá)到飽和,可以在調(diào)控的技術(shù)條件下增加流量:首先需要調(diào)整流量的是v1—v5段,從北京到承德段是旅游季節(jié)交通擁堵最嚴(yán)重的路段,加強(qiáng)京承高速公路的指揮調(diào)控力度,可以緩解交通流通的壓力;其次需要調(diào)整的是v5—v6段,從承德到秦皇島路段是“京承秦金三角”旅游圈的必經(jīng)之路,也是承建承秦高速公路的出發(fā)點(diǎn)所在,為促進(jìn)京承秦三地的交通通暢奠定良好的基礎(chǔ)。

    圖3 v1-v6的標(biāo)號(hào)過(guò)程及增廣鏈圖

    圖4 v1-v6的可行流示意圖

    4 結(jié)語(yǔ)

    網(wǎng)絡(luò)最大流理論的應(yīng)用在不斷發(fā)展,已遍及通訊、運(yùn)輸、電力、工程規(guī)劃、任務(wù)分派、設(shè)備更新以及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域。本文實(shí)例運(yùn)用了Maximal Flow理論,以京津冀公路交通網(wǎng)絡(luò)中最典型的路網(wǎng)從發(fā)點(diǎn)(北京)v1到收點(diǎn)(秦皇島)v6為例,驗(yàn)算了其路網(wǎng)的最大流量為42。同時(shí),也找到了影響整體流量的關(guān)鍵路段,或者叫咽喉路段:v1-v5,v5-v6,它們決定了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的最大通行能力,要提高整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的通行流量,必須首先改造關(guān)鍵路段的通行能力??梢缘贸?,除了解決京津冀經(jīng)濟(jì)圈公路交通網(wǎng)絡(luò)的通暢便達(dá)之外,為了使京津冀經(jīng)濟(jì)圈的交通網(wǎng)絡(luò)更為合理有效,必須在遵循京津冀交通一體化的原則下,著力提高高速公路、鐵路、港口、民航保障能力,形成“快捷、高效、安全的現(xiàn)代綜合交通網(wǎng)絡(luò)”,積極籌建以京津?yàn)橹鬏S,以石家莊、秦皇島為兩翼的區(qū)域快速路網(wǎng),推動(dòng)形成覆蓋京津冀地區(qū)主要城市的區(qū)域“2小時(shí)交通圈”,促進(jìn)各城市之間經(jīng)濟(jì)交流和社會(huì)的快速發(fā)展。

    [1] 2005~2009年度中國(guó)交通統(tǒng)計(jì)公報(bào),中國(guó)交通統(tǒng)計(jì)信息網(wǎng).

    [2] 王恒,李悅錚.大連市旅游交通空間結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化[J].海洋開發(fā)與管理,2009,(9).

    [3] 胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)教程(第三版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2007.

    [4] 海軍,高輝蘭,侯遠(yuǎn)達(dá).動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)最大能力路徑問(wèn)題算法研究[J].軍事交通學(xué)院學(xué)報(bào),2008,(9).

    [5] 劉瓊英,全華.網(wǎng)絡(luò)最大流模型在旅游管理中的應(yīng)用[J].中南林業(yè)科技大學(xué)學(xué)報(bào),2010,(6).

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