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    含非線性色散項(xiàng)的Kadomtsev-Petrishvili方程的破缺行波解*

    2011-07-24 09:54:38高正暉
    關(guān)鍵詞:色散行波環(huán)狀

    高正暉,楊 柳

    (衡陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系,湖南 衡陽(yáng) 421008)

    自1981年Konno等[1]首次報(bào)告非線性振動(dòng)模型存在環(huán)狀孤波解以來(lái),引起了許多學(xué)者對(duì)非線性發(fā)展方程環(huán)狀孤波解的關(guān)注,現(xiàn)已發(fā)表了一些關(guān)于非線性發(fā)展方程的環(huán)狀孤波解的學(xué)術(shù)論文[2-4]。近年來(lái),李繼彬[5-8],劉正榮[9-10]等運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的分支理論對(duì)一些非線性發(fā)展方程的行波解的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)一些非線性發(fā)展方程的環(huán)狀孤波解不是一個(gè)真正的解,它是由三個(gè)破缺行波解所組成,并給出了一些非線性發(fā)展方程破缺行波解的參數(shù)表示。

    1970年,Kadomtsev等[ 11-12 ]首次提出如下二維的KdV方程,即KP方程

    (ut+uux+uxxx)x+εuyy=0

    (1)

    它是一個(gè)重要的非線性偏微分方程, 該方程有著廣泛的物理背景,常用來(lái)描述二維小振幅弱色散波,如二維淺水波、未磁化等離子體聲波等,在流體力學(xué)、等離子體物理、氣體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用,對(duì)它的深入研究將有利于實(shí)際物理問(wèn)題的解決。本文的目的是對(duì)含非線性色散項(xiàng)的Kadomtsev-Petrishvili方程

    (ut+uux+(u2)xxx)x+εuyy=0

    (2)

    進(jìn)行研究,運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論對(duì)方程(2)的行波系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析,根據(jù)這些分析,我們也獲得了該行波系統(tǒng)存在環(huán)狀孤波解,它也是由三個(gè)破缺行波解所組成,并給出了破缺行波解的參數(shù)表示。

    1 行波系統(tǒng)的分支相圖

    對(duì)于方程(2),我們作如下行波變換:ξ=x+ay+βt,u(x,y,t)=φ(ξ),其中α,β為待定常數(shù)。由此方程(2)約化為常微分方程

    (βφ′(ξ)+φ(ξ)φ′(ξ)+(φ2(ξ))?)′+

    εα2φ″(ξ)=0

    (3)

    對(duì)(3) 式積分并取積分常數(shù)為0,得

    βφ′(ξ)+φ(ξ)φ′(ξ)+(φ2(ξ))?+

    εα2φ′(ξ)=0

    (4)

    再對(duì)(4) 式積分并取積分常數(shù)為g,得

    2φ′2(ξ)+2φ(ξ)φ″(ξ)=g

    (5)

    令φ′=v,并令λ=β+εα2,則可得以下平面自治系統(tǒng)(行波系統(tǒng))

    (6)

    令dξ=2φdτ,則除奇異直線φ=0外,行波系統(tǒng)(6)與下面的可積系統(tǒng)有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

    (7)

    顯然,行波系統(tǒng)(7)的首次積分是

    (8)

    對(duì)于行波系統(tǒng)(7),其平衡點(diǎn)滿足方程組

    (9)

    圖1 行波系統(tǒng)(7)的平面相圖

    2 破缺行波解的參數(shù)表示

    1)當(dāng)Δ=λ2+2g>0且λ>0,g<0時(shí),方程的破缺行波解的參數(shù)表示。

    (11)

    由(11)式可得

    (12)

    由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個(gè)破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解

    (13)

    其中ξ0是積分常數(shù)。

    因此,得

    從而解得

    由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個(gè)破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解(如圖2)的參數(shù)表示

    (14)

    圖2 參數(shù)方程(14)的平面圖

    2)當(dāng)Δ=λ2+2g>0且λ<0,g<0時(shí),方程的破缺行波解的參數(shù)表示。

    (15)

    由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個(gè)破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解

    (16)

    其中ξ0是積分常數(shù)。

    因此,得

    從而解得

    由此得到行波系統(tǒng)(6)的由三個(gè)破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解(如圖3)的參數(shù)表示

    圖3 參數(shù)方程(18)的平面圖

    (θ為參數(shù))

    (18)

    參考文獻(xiàn):

    [1] KONNO K, ICHIKAWA Y H, WADATI M. A loop soliton propagating along a stretched rope [J]. J Phys Soc Japan, 1981, 50(3): 1025-1026.

    [2] VAKHNENKO V O, PARKES E J. The two loop soliton solution of the Vakhnenko equation [J]. Nonlinearity, 1998, 11: 1457-1464.

    [3] PARKES E J. Explicit solution of the reduced Ostrovsky equation [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2007, 37(3): 602-610.

    [4] PARKES E J. Some periodic and solitary traveling-wave solution of the short-pulse equation [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, 38(1): 154-159.

    [5] LI J B. Dynamical understanding of loop soliton solution for several nonlinear wave equations [J]. Science in China:A, 2007, 50(6): 773-785.

    [6] LI J B. Family of nonlinear wave equations which yield loop solutions and solitary wave solutions [J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2009, 24(3): 897-907.

    [7] 李繼彬. 兩非線性波方程真圈解的存在性和破缺性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2009, 30(5): 505-514.

    [8] LI J B, DAI H H. On the study of singular nonlinear traveling wave equations:dynamical approach[M]. Beijing: Science Press, 2007.

    [9] 劉正榮, Ali Mohammed Kayed. 分支方法與廣義CH方程的顯式周期波解 [J]. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2007, 35(10): 227-232.

    [10] 郭柏靈, 劉正榮. CH-r方程的尖波解[J]. 中國(guó)科學(xué):A輯, 2003, 33(4): 325-337.

    [11] KADOMTSEV B B, PETVIASHVILI V I. On the stability of solitary waves in weakly dispersive media [J]. Sov Phys Dokl, 1970, 15: 539-541.

    [12] 郭柏靈. 非線性演化方程[M]. 上海: 上??萍冀逃霭嫔? 1995.

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